周玨良， 何郁波， 謝樂平

（懷化學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南懷化 418008）

1 引言

經(jīng)典整數(shù)階的微積分是現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析的基石，而于19世紀(jì)末興起的分?jǐn)?shù)階微積分的理論隨著科技的發(fā)展逐漸豐富起來，形成了現(xiàn)在的多種分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義.分?jǐn)?shù)階微積分可視為經(jīng)典整數(shù)階微積分的一種推廣，即將經(jīng)典意義下整數(shù)階的微積分運(yùn)算推廣到分?jǐn)?shù)階的微分和分?jǐn)?shù)階的積分，也可以稱之為“非整數(shù)階微積分”[1].由于分?jǐn)?shù)階微分算子不同于整數(shù)階微分算子而具非局部的特點(diǎn)，導(dǎo)致分?jǐn)?shù)階微分算子非常適合描述具遺傳和記憶特性的材料，因此其應(yīng)用的領(lǐng)域包含了反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)、彈性力學(xué)、生物流變學(xué)、生物傳熱學(xué)、非牛頓流體力學(xué)、多孔介質(zhì)力學(xué)和信號處理及自動控制等領(lǐng)域[2-8].

本文主要研究如下涉及Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的非線性微分方程在無限區(qū)間（0，+∞）上解的存在性和唯一性，

2 預(yù)備知識

下面給出本文將用到的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分、Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義和相關(guān)性質(zhì).

定義2.1[1]函數(shù)x（t）∶（0，+∞）→R的α＞0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

定義2.2[1]連續(xù)函數(shù)x（t）∶（0，+∞）→R的α＞0階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

當(dāng)α?N時，n=[α]+1，[α]表示實(shí)數(shù)α的整數(shù)部分；當(dāng)α∈N時，n=α.特別地，C=0，其中C為任意常數(shù).

引理2.1[1]設(shè)α＞0，x（t）∈Cn-1[0，+∞），則有

引理 2.2[1]設(shè)α＞0，x（t）∈C（0，+∞），則有

3 主要結(jié)果

首先給定本文將用到的空間

其中：λ＞1，定義其范數(shù)

易證（X，||·||X）是Banach空間[9].

下面給出本文所用到的假設(shè)條件

（H1）連續(xù)函數(shù)x，y，trf（t，x，y）∶J×X×X→X滿足

其中非負(fù)連續(xù)函數(shù)L1（t）、L2（t）滿足

（H2）存在常數(shù)M＞0，使得f（t，0，0）滿足

定理3.1 假設(shè)條件（H1）和（H2）成立，則初值問題（1.1）的解存在且唯一.

證明：定義算子T∶X→X，

事實(shí)上，對任意的u∈X，有

另一方面，

即對任意的 u∈X，可得 Tu（t）∈X，故算子 T ∶X→X.

對任意的 u，v∈X，有

故算子T∶X→X是嚴(yán)格壓縮的.

綜上，根據(jù)Banach壓縮映射原理得到算子T∶X→X在Banach空間中存在唯一點(diǎn)u，使得Tu=u，即問題（1.1）在Banach空間X中存在唯一解.