那奕君，李 寧，黃孝龍，翁春生

南京理工大學(xué)瞬態(tài)物理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210094

引 言

燃燒火焰的溫度及其組分濃度是燃燒過程中非常重要的兩個參數(shù)，表征了燃燒效率高低，發(fā)動機(jī)性能的優(yōu)劣等[1]。 開展燃燒場溫度和組分濃度的二維分布重建研究對提高燃燒效率，改良發(fā)動機(jī)設(shè)計等具有重要意義。 可調(diào)諧半導(dǎo)體激光吸收光譜技術(shù)(TDLAS)具有靈敏度高、響應(yīng)速度快、可靠性和環(huán)境適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)成功應(yīng)用于氣體溫度、組分濃度等參數(shù)測量，并通過與CT技術(shù)相結(jié)合實(shí)現(xiàn)氣體多參數(shù)二維重建。

代數(shù)迭代算法(ART)在不完全投影時依然能獲得較好的重建結(jié)果因而被廣泛用于研究燃燒場氣體二維分布[2]。 例如美國弗吉尼亞理工大學(xué)Ma等[3]采用50 kHz測量頻率，在垂直和水平方向分別布置15條光線對15×15網(wǎng)格J85航空發(fā)動機(jī)出口處300～2 300 K氣體(H2O)溫度進(jìn)行了重建。 Xia等[4]提出兩步迭代算法，采用5×6光線布置方法選取7 154.354/7 154.353 cm-1和7467.769 cm-1H2O吸收譜線對該重建算法進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明在無噪聲的情況下對于劃分成11×11網(wǎng)格的單峰燃燒場重建誤差小于0.1%。 Wang等[5]采用4個投影角度，每個投影角度6條光線的方式，測量了不同平面火焰溫度和濃度分布，數(shù)值分析表明在吸收信號存在3%的噪聲條件下仍可以得到重建結(jié)果。

在利用ART算法進(jìn)行燃燒場二維重建時，目前主要存在的難點(diǎn)在于： (1)由于測量條件的限制，測量光線數(shù)量遠(yuǎn)少于測量區(qū)域網(wǎng)格數(shù)量，即投影數(shù)量遠(yuǎn)小于未知數(shù)數(shù)量，因此重建方程對應(yīng)的矩陣條件數(shù)過大，如Ma等的對J85航空發(fā)動機(jī)進(jìn)行測量的光線布置條件下方程條件數(shù)為8.6×1014。 (2)采用平行光線投影時，平行光線的角度存在較大限制，造成重建結(jié)果與待重建燃燒場存在較大偏差，如重建過程中將雙峰燃燒場的重建為四峰燃燒場[6]。 (3)引入平滑處理機(jī)制[7]進(jìn)行重建時，平滑因子選擇不恰當(dāng)也會引入較大誤差。 由于針對不同的燃燒場模型平滑因子可選擇的范圍較大(0.01～0.1)[8]，在此范圍內(nèi)不同的平滑因子對應(yīng)的重建誤差可能會相差10%，而平滑因子通常需要人為確定從而造成重建結(jié)果過多的受到主觀因素的影響。

本文提出了針對有限投影數(shù)據(jù)的虛擬光線再投影二維重建算法。 利用差分虛擬光線實(shí)現(xiàn)病態(tài)方程組求解，通過多角度再投影方法解決差分過程相鄰網(wǎng)格數(shù)據(jù)不連續(xù)等問題，減少重建過程中燃燒場先驗(yàn)信息的人為因素影響，提升燃燒場重建質(zhì)量，具有重要理論研究意義和工程應(yīng)用前景。

1 理論與方法

將探測區(qū)域f離散為n×n的網(wǎng)格，認(rèn)為被測氣體在每個方格內(nèi)的溫度和組分濃度均勻分布。 任意第i條光線穿過待測區(qū)域的第j個網(wǎng)格的長度為Lij。 根據(jù)Beer-Lambert定律，當(dāng)波長為ν的光線i穿過測量區(qū)域時，氣體吸收方程可以表示為式(1)[9]。 式中I0和It分別表示入射和透射的激光光強(qiáng)；P為氣體總壓；S(T)為譜線強(qiáng)度；X為待測氣體體積濃度；L為光程；α為吸收率函數(shù)。 本文采用改進(jìn)型ART(MAART)算法[10]進(jìn)行重建。

(1)

當(dāng)采用平行光線投影時，若光線間距大于網(wǎng)格間距時導(dǎo)致在投影方向上存在網(wǎng)格無光線穿過，將造成重建得到的ανi誤差增大。 為降低該誤差，通過差分法加入虛擬光線[11]，如圖1所示。

其中虛擬光線的投影值由相鄰兩邊的實(shí)際光線的投影值進(jìn)行差分運(yùn)算得到

(2)

A(m+1)=HA(m)+A0

(3)

其中HA為作用于A的積分算子，A0為由差分虛擬光線法得到的投影值，A(m)表示第m次再投影后的光線投影值，利用A(m)求出第m次的重建結(jié)果并利用該結(jié)果再投影求出A(m+1)。 當(dāng)H的2范數(shù)滿足‖H‖<1，可以從理論上保證存在噪聲時相應(yīng)的重建結(jié)果是收斂和穩(wěn)定的[12]。 計算流程如圖2所示。

圖1 虛擬光線法示意圖Fig.1 Scheme of virtual beam method

圖2 燃燒場重建算法流程圖Fig.2 Reconstruction flowchart of the combustion field

2 重建結(jié)果分析

為了研究虛擬光線再投影方法在燃燒場二維重建中的可行性，對不同模型進(jìn)行了數(shù)值仿真研究。 將重建區(qū)域離散為49×49的網(wǎng)格，包含氣體溫度和濃度共4 802個未知數(shù)，選取兩條H2O特征吸收譜線(7 185.6，7 444.35 cm-1)。 為了衡量重建質(zhì)量，定義溫度和濃度歸一化平均絕對誤差Et和Ex。 其中T和X代表溫度和濃度，orig和cal表示原始模型和重建結(jié)果。

(4)

2.1 相同投影數(shù)量條件下光路優(yōu)化

為了研究光線分布對二維重建結(jié)果的影響，對多種實(shí)際光線以及再投影虛擬光線在燃燒場中分布方式進(jìn)行分析研究。 測量燃燒場采用雙Gauss分布，分布模型如圖3所示。

圖3雙峰原始模型(a)： 溫度分布模型； (b)： 濃度分布模型Fig.3 Bimodal original model(a)： Temperature distribution model; (b)： Concentration distribution model

圖4 光線分布示意圖(a)： 方式A； (b)： 方式B； (c)： 方式C； (d)： 方式DFig.4 Schematic diagram of beam arrangement(a)： Mode A; (b)： Mode B; (c)： Mode C; (d)： Mode D

針對49×49的離散網(wǎng)格區(qū)域，選擇四種實(shí)際光線布置方式，分別為方式A實(shí)際光線成0°和90°各十條光線； 方式B實(shí)際光線成45°和135°各10條光線； 方式C實(shí)際光線成0°，60°和120°各7條光線； 方式D實(shí)際光線成0°，45°，90°和135°各5條光線。 對每個角度上實(shí)際光線進(jìn)行差分獲取虛擬光線投影數(shù)值，利用全部數(shù)據(jù)對燃燒場進(jìn)行重建，重建誤差如圖5所示。 可以看出方式A和B的溫度和濃度誤差均大于方式C，造成這一結(jié)果的原因是A和B兩種方式的光線投影角度過少，得到的有效數(shù)據(jù)較方式C少。 當(dāng)實(shí)際光線數(shù)量為20條時，兩角度投影重建結(jié)果可能無法準(zhǔn)確反映燃燒場真實(shí)分布情況[7]。 方式D濃度重建誤差相較方式C有明顯增加，這是由于方式D投影角度多，但在每個投影角度上的光線數(shù)量偏少同時相鄰平行光線之間的距離較大，經(jīng)過差分運(yùn)算后虛擬光線的投影值相較該位置實(shí)際投影值誤差較大，在個別網(wǎng)格上會出現(xiàn)不同角度虛擬投影值之間相互矛盾，由于濃度重建對該矛盾更加敏感，所以方式D的濃度重建誤差遠(yuǎn)大于方式C。 與其他方式相比，方式C通過增加投影角度抑制重建結(jié)果失真，同時每個投影角度合理的光線數(shù)量也減小了重建誤差，保證了足夠的空間分辨率。 由于以上原因，在本文之后計算過程中光線分布選擇方式C。

圖5 不同光線分布下的重建誤差Fig.5 Reconstruction error for differentbeam arrangements

研究再投影角度對重建結(jié)果的影響。 對方式C進(jìn)行再投影，第一組再投影角度選擇45°，90°和135°，第二組再投影角度選擇30°，90°和150°。 如圖6所示，重建誤差都隨著重建次數(shù)增加而減少，十次以后趨于穩(wěn)定。 第二組分布方式Et的減少量是第一組的82.5%，Ex的減少量是第一組53.8%。 分析其原因，由于網(wǎng)格劃分為正方形劃分方式，第一組分布方式虛擬光線經(jīng)過每個網(wǎng)格路程分布更為均勻，在迭代運(yùn)算過程中網(wǎng)格參數(shù)所占比重更為合理。

圖6 重建誤差的變化趨勢(a)： Ex隨再投影次數(shù)的變化趨勢； (b)： Et隨再投影次數(shù)的變化趨勢Fig.6 Variation trend of Reconstruction error(a)： Ex variation for reprojection number; (b)： Et variation for reprojection number

2.2 算法對比

選取采用平滑處理機(jī)制的ART算法與本文算法進(jìn)行比較分析。 當(dāng)實(shí)際光線數(shù)目遠(yuǎn)小于待測區(qū)域網(wǎng)格數(shù)目時，采用平滑處理機(jī)制的ART算法只會對部分網(wǎng)格中的氣體參數(shù)進(jìn)行迭代，其余網(wǎng)格中的氣體參數(shù)只能通過平滑處理機(jī)制獲得。 當(dāng)平滑因子選為0.02時，重建結(jié)果溫度和濃度誤差最小，Et和Ex分別為9.88%和11.91%。 運(yùn)用本文重建算法并設(shè)置再投影次數(shù)為10次，重建誤差Et和Ex分別為3.77%和8.26%，如圖7所示。 網(wǎng)格劃分較細(xì)但測量光線數(shù)量不足時，采用平滑處理機(jī)制ART算法只能大致描繪出燃燒場溫度輪廓。 采用虛擬光線法能夠有效解決沒有測量光線經(jīng)過網(wǎng)格時導(dǎo)致重建偏差較大的問題，當(dāng)進(jìn)行再投影重建后相鄰網(wǎng)格溫度不連續(xù)的情況得到有效改善，重建結(jié)果更接近原始燃燒場模型。

2.3 重建結(jié)果分析

為了研究重建算法在實(shí)際測量條件下重建效果，對光線投影數(shù)值加入0.5%隨機(jī)噪聲，得到的重建結(jié)果由圖8給出。 溫度場與濃度場重建誤差最大值都出現(xiàn)在峰值位置附近，溫度最大相對誤差9.24%，濃度最大相對誤差19.13%。 得到重建誤差隨著再投影重建次數(shù)的變化規(guī)律由圖9給出。 隨著再投影運(yùn)算次數(shù)的增加，Et與Ex都呈現(xiàn)出下降趨勢并最終保持穩(wěn)定，經(jīng)過十次再投影重建后Et減少到3.55%，Ex減少到8.44%。

圖7 不同算法的溫度場重建結(jié)果(a)： 采用平滑機(jī)制的ART算法； (b)： 虛擬光線再投影法Fig.7 Reconstruction temperature field for different algorithms(a)： ART witi smoothing mechanism; (b)： Virtual beam and re-projection method

圖8 雙峰燃燒場重建結(jié)果(a)： 溫度場重建結(jié)果； (b)： 濃度場重建結(jié)果Fig.8 Reconstruction result for bimodal combustion field(a)： Reconstruction temperature field; (b)： Reconstruction concentration field

圖9 含0.5%噪聲時重建誤差的變化趨勢Fig.9 Variation trend of Reconstructionerror with 0.5% noise

圖10 隨機(jī)噪聲對重建誤差的影響Fig.10 Effect of random noise onreconstruction error

為了研究不同幅值噪聲對重建結(jié)果的影響，對實(shí)際光線分別添加0.5%，1%，2%和5%隨機(jī)噪聲并對重建結(jié)果進(jìn)行研究。 再投影10次時重建誤差如圖10所示。 當(dāng)噪聲不超過5%時，濃度重建誤差與溫度重建誤差均隨著噪聲的增大而增加，溫度重建誤差增加幅度更為明顯。

2.4 不同模型下重建結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文重建方法的通用性，選取多峰燃燒場進(jìn)行重建分析。 設(shè)置溫度如圖11所示的三峰燃燒場，溫度范圍600～1 134 K，H2O濃度范圍5%～18.34%。 燃燒場三個溫度峰值分別為1 134，1 006和937 K，濃度峰值為18.34%，15.16%和13.43%。 對實(shí)際光線投影值添加0.5%的隨機(jī)噪聲，十次再投影重建后Et為7.05%，Ex為15.11%。 圖12為溫度重建結(jié)果。

通過圖12可以看出，多峰燃燒場的重建質(zhì)量有所降低，重建誤差增大，但重建結(jié)果依然可以展現(xiàn)出燃燒場的主要特征，峰值位置、峰值數(shù)量等均未出現(xiàn)明顯失真。 結(jié)果表明當(dāng)燃燒場較為復(fù)雜時，本文重建方法依然可以提供有效的燃燒診斷信息，適用于溫度組分參數(shù)連續(xù)變化的燃燒場診斷分析。

圖11 三峰溫度分布模型Fig.11 Multimodal temperature distribution model

圖12 三峰溫度重建結(jié)果Fig.12 Multimodal temperature reconstruction results

3 結(jié) 論

基于激光吸收光譜技術(shù)采用修正的自適應(yīng)代數(shù)迭代算法對燃燒場溫度分布進(jìn)行二維重建。 為了實(shí)現(xiàn)在入射光線較少情況下對被測區(qū)域的細(xì)致刻畫，提出了一種基于虛擬光線與再投影方法的燃燒場二維重建方法。 該方法將虛擬光線與再投影技術(shù)相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了燃燒場溫度組分濃度的二維重建，無需對燃燒場先驗(yàn)信息進(jìn)行人為調(diào)整，提升了重建質(zhì)量。 通過對比不同方法的重建結(jié)果，該方法的重建結(jié)果對燃燒場的重建更為準(zhǔn)確，當(dāng)測量投影含有1%的隨機(jī)誤差時，溫度重建誤差為3.59%，濃度重建誤差為8.75%。 對于不同燃燒場模型，該方法依然能準(zhǔn)確的重建出燃燒場峰值的位置以及峰值大小，不出現(xiàn)明顯失真。 結(jié)果表明該方法能有效對二維燃燒場進(jìn)行更為細(xì)致的重建。