郭小農(nóng)，保文通，曾 強(qiáng)，徐 航

（同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海200092）

鋁合金單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)具有質(zhì)量輕、受力合理、造型美觀等優(yōu)點(diǎn)，在國(guó)內(nèi)外得到廣泛應(yīng)用［1］。板式節(jié)點(diǎn)是鋁合金單層網(wǎng)殼中應(yīng)用最為廣泛的節(jié)點(diǎn)形式，其力學(xué)性能研究相對(duì)完善。郭小農(nóng)等對(duì)鋁合金板式節(jié)點(diǎn)進(jìn)行了大量的試驗(yàn)研究和數(shù)值模擬［2-3］，并基于理論分析得到了節(jié)點(diǎn)承載力計(jì)算式和抗彎剛度的四折線模型［4-5］。

但是，上述研究主要針對(duì)平面板式節(jié)點(diǎn)進(jìn)行。為滿足網(wǎng)殼曲面造型的需求，板式節(jié)點(diǎn)上下蓋板通常需采用弧面板?；∶婀?jié)點(diǎn)板是在切割、鉆孔而成的平面圓盤(pán)的基礎(chǔ)上沖壓起拱成形的。在沖壓成形過(guò)程中，板件內(nèi)外表層材料進(jìn)入塑性階段，而中心區(qū)仍保持彈性狀態(tài)，卸載后存在嚴(yán)重的回彈現(xiàn)象。由于鋁合金材料延伸率小、屈服強(qiáng)度與彈性模量之比較大，與低強(qiáng)度鋼材相比回彈效應(yīng)更為明顯［6-7］，嚴(yán)重影響了節(jié)點(diǎn)板的加工精度。目前僅文獻(xiàn)［8］對(duì)鋁合金弧面板式節(jié)點(diǎn)的承載性能進(jìn)行了初步研究，尚未見(jiàn)文獻(xiàn)對(duì)弧面節(jié)點(diǎn)板在沖壓過(guò)程中的回彈特性展開(kāi)研究。

本文首先基于有限元軟件ABAQUS 建立了鋁合金節(jié)點(diǎn)板的數(shù)值模型，分別采用動(dòng)態(tài)顯式分析算法和靜態(tài)隱式算法模擬沖壓成形過(guò)程和卸載回彈過(guò)程，得到了節(jié)點(diǎn)板的回彈量，并通過(guò)與實(shí)際節(jié)點(diǎn)板的加工數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了模型的有效性。然后對(duì)鋁合金材料參數(shù)、沖壓拱度、節(jié)點(diǎn)板厚度和半徑及螺栓孔位對(duì)節(jié)點(diǎn)板回彈量的影響進(jìn)行了參數(shù)分析。最后基于理論推導(dǎo)和回歸分析得到了節(jié)點(diǎn)板回彈量的計(jì)算式，并通過(guò)計(jì)算結(jié)果和數(shù)值分析結(jié)果的對(duì)比驗(yàn)證了計(jì)算式的準(zhǔn)確性。

1 有限元模型的建立與驗(yàn)證

1.1 算法選取

根據(jù)節(jié)點(diǎn)板成形過(guò)程的受荷情況、邊界條件和變形特點(diǎn)，可將數(shù)值模擬過(guò)程分為沖壓成形階段和卸載回彈階段。相關(guān)研究指出，動(dòng)態(tài)顯式算法適用于求解有復(fù)雜接觸關(guān)系的成形問(wèn)題，但在求解回彈問(wèn)題時(shí)準(zhǔn)確度較低，計(jì)算成本較高；而靜態(tài)隱式算法雖然在求解成形問(wèn)題時(shí)收斂性較差，但在以彈性恢復(fù)變形為主的回彈階段更容易收斂［9-10］。因此，本文在沖壓成形階段選取ABAQUS/Explicit 進(jìn)行求解，而在卸載回彈階段選取ABAQUS/Standard 進(jìn)行求解［11］。

1.2 模型幾何尺寸和材料本構(gòu)關(guān)系

以南昌市某鋁網(wǎng)殼工程為背景，建立了鋁合金節(jié)點(diǎn)板的有限元模型。模型幾何尺寸與實(shí)際節(jié)點(diǎn)板完全相同，見(jiàn)圖1。節(jié)點(diǎn)板設(shè)計(jì)拱度為9 mm，所有螺栓孔直徑均為10. 5 mm，并在中心開(kāi)直徑為16. 0 mm的應(yīng)力釋放孔。節(jié)點(diǎn)板材料為6061‐T6鋁合金，采用Ramberg‐Osgood模型描述其本構(gòu)關(guān)系，彈性模量為E=70 GPa，名義屈服強(qiáng)度f(wàn)0.2=240 MPa，根據(jù)Steinhard 建議［12］硬化指數(shù)取n=f0.2/10=24。沖壓成形設(shè)備見(jiàn)圖2，節(jié)點(diǎn)板放置在上、下模具之間，并通過(guò)液壓千斤頂加載成形。由于上、下模具均為鋼材，其剛度明顯大于節(jié)點(diǎn)板剛度，建模時(shí)可按離散剛體考慮?？紤]到節(jié)點(diǎn)板幾何尺寸和荷載情況的對(duì)稱(chēng)性，為提高計(jì)算效率，建立了1/2模型，見(jiàn)圖3a。

1.3 網(wǎng)格劃分與接觸關(guān)系設(shè)置

圖1 弧面節(jié)點(diǎn)板幾何尺寸（單位：mm）Fig. 1 Dimensions of arched gusset plate（unit：mm）

圖2 節(jié)點(diǎn)板沖壓設(shè)備Fig. 2 Stamping forming device of gusset plate

采用減縮積分單元C3D8R［13］對(duì)節(jié)點(diǎn)板進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并在板厚方向上劃分6 層網(wǎng)格以提高計(jì)算精度；對(duì)上、下模具采用剛體單元R3D4 進(jìn)行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格尺寸略大于節(jié)點(diǎn)板網(wǎng)格尺寸，見(jiàn)圖3b。沖壓成形過(guò)程中，分別在上、下模具與節(jié)點(diǎn)板上之間設(shè)置表面與表面接觸，由于接觸面之間的相對(duì)滑動(dòng)較大，故設(shè)置為有限滑移；兩個(gè)接觸面法向設(shè)置為硬接觸，切向設(shè)置為罰摩擦，上模具與節(jié)點(diǎn)板間摩擦系數(shù)取0，下模具與節(jié)點(diǎn)板間摩擦系數(shù)取0. 1，見(jiàn)圖3c、3d。

1.4 約束關(guān)系設(shè)置與荷載施加

在沖壓成形階段，在Oxz平面內(nèi)施加對(duì)稱(chēng)約束，并設(shè)置兩個(gè)參考點(diǎn)（RP 點(diǎn)）分別與上、下模具耦合，以限制模具的運(yùn)動(dòng)，見(jiàn)圖4。實(shí)際節(jié)點(diǎn)板加工過(guò)程中多次試壓發(fā)現(xiàn)，為達(dá)到設(shè)計(jì)拱度9 mm，沖壓拱度應(yīng)取21 mm，故在數(shù)值模型中對(duì)上模具施加沿z軸負(fù)方向相同大小的位移荷載。為確保沖壓過(guò)程不受慣性效應(yīng)影響，經(jīng)多次試算取加載速度為1 m·s?1。

圖3 節(jié)點(diǎn)板及模具有限元模型Fig. 3 Finite element model of gusset plate and model

在卸載回彈階段，采用無(wú)模法求解回彈問(wèn)題，即不考慮模具與板材間的脫離過(guò)程，而將沖壓階段結(jié)束時(shí)節(jié)點(diǎn)板的幾何形狀和應(yīng)力狀態(tài)作為回彈階段的初始條件。為防止節(jié)點(diǎn)板在回彈過(guò)程中出現(xiàn)剛體位移，并最大程度地保證節(jié)點(diǎn)板自由變形，在應(yīng)力釋放孔中性面上選取三點(diǎn)設(shè)置固定約束，見(jiàn)圖5。

圖4 成形階段的約束設(shè)置Fig. 4 Constraints in stamping forming stage

圖5 回彈階段的約束設(shè)置Fig. 5 Constraints in springback stage

1.5 數(shù)值模擬結(jié)果與模型驗(yàn)證

節(jié)點(diǎn)板沖壓成形后及回彈變形后的應(yīng)力分布及變形情況見(jiàn)圖6和圖7。沖壓成形后，節(jié)點(diǎn)板上下表面材料大面積進(jìn)入了塑性階段，最大應(yīng)力達(dá)到260 MPa，但中心區(qū)仍保持彈性，見(jiàn)圖6a；節(jié)點(diǎn)板拱度為21. 408 mm，與沖壓拱度的誤差僅為2. 490%?；貜椬冃魏?，在螺栓孔附近存在較大的殘余應(yīng)力，其余區(qū)域殘余應(yīng)力均小于80 MPa，見(jiàn)圖7a；節(jié)點(diǎn)板殘余拱度為10. 993 mm，回彈量達(dá)到10. 415 mm。節(jié)點(diǎn)板回彈前后的豎向變形情況見(jiàn)圖8，節(jié)點(diǎn)板形狀整體基本保持為球面。

圖6 沖壓成型后節(jié)點(diǎn)板的應(yīng)力分布與變形情況Fig. 6 Stress distribution and deformation of gusset plate after stamping forming

圖7 回彈變形后節(jié)點(diǎn)板的應(yīng)力分布與變形情況Fig. 7 Stress distribution and deformation of gusset plate after springback

圖8 節(jié)點(diǎn)板回彈前后的豎向變形情況對(duì)比Fig. 8 Shape comparison of gusset plate before and after springback

為驗(yàn)證數(shù)值模型的正確性，采用游標(biāo)卡尺測(cè)量實(shí)際節(jié)點(diǎn)板中心（見(jiàn)圖9）的殘余拱度，同時(shí)采用三維掃描儀測(cè)量得到節(jié)點(diǎn)板回彈后的最終形狀。實(shí)測(cè)結(jié)果表明，節(jié)點(diǎn)板中心最終殘余拱度平均值為9. 50 mm，回彈量為11. 50 mm，數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果的誤差僅為?9. 345%，說(shuō)明所建立的有限元模型能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)節(jié)點(diǎn)板的回彈量。

圖9 節(jié)點(diǎn)板拱度測(cè)量Fig. 9 Measurement of gusset plate arch

2 節(jié)點(diǎn)板回彈量的影響參數(shù)分析

節(jié)點(diǎn)板成形過(guò)程中，鋁合金材料參數(shù)、沖壓拱度、節(jié)點(diǎn)板厚度和半徑及螺栓孔的布置等因素都對(duì)回彈量有較大的影響。為確定各項(xiàng)參數(shù)對(duì)節(jié)點(diǎn)板回彈量的影響，建立了5 個(gè)系列共計(jì)36 個(gè)模型進(jìn)行參數(shù)分析，數(shù)值模型的詳細(xì)信息見(jiàn)表1。表中，r、t分別為節(jié)點(diǎn)板半徑及厚度，h為沖壓拱度，db為螺栓孔直徑，ab為節(jié)點(diǎn)板開(kāi)孔面積率，SFE為數(shù)值分析得到的節(jié)點(diǎn)板回彈量，SEq為節(jié)點(diǎn)板回彈量，re為擬合結(jié)果與數(shù)值結(jié)果的相對(duì)誤差。表中，b系列模型選取了工程中常見(jiàn)的4 種構(gòu)造，每種構(gòu)造取10. 5 mm 和12. 5 mm兩種螺栓孔直徑，并增加無(wú)螺栓孔圓板和螺栓群中心線夾角不均勻的節(jié)點(diǎn)板，見(jiàn)圖10。

圖10 節(jié)點(diǎn)板構(gòu)造類(lèi)型Fig. 10 Construction types of gusset plate

2.1 鋁合金材料參數(shù)對(duì)回彈量的影響

表1 中m 系列數(shù)值模型研究了鋁合金材料參數(shù)［14］對(duì)節(jié)點(diǎn)板回彈量的影響，其中不同牌號(hào)鋁合金的材料特性如表2所示。節(jié)點(diǎn)板回彈前后的豎向變形見(jiàn)圖11。圖中，D為距節(jié)點(diǎn)板中心的距離。數(shù)值模擬結(jié)果表明，材料參數(shù)對(duì)沖壓成形過(guò)程的影響較小，所有模型回彈前的形狀基本保持一致；在回彈變形過(guò)程中，節(jié)點(diǎn)板回彈量隨著材料彈性模量E和名義屈服強(qiáng)度f(wàn)0.2的提高而增大。顯然，熱處理狀態(tài)為T(mén)4 的合金由于比T6 狀態(tài)的合金軟，因此其回彈也較小。

2.2 沖壓拱度對(duì)回彈量的影響

表1 中h 系列數(shù)值模型研究了沖壓拱度對(duì)節(jié)點(diǎn)板回彈量的影響，節(jié)點(diǎn)板回彈前后的豎向變形和回彈量分別見(jiàn)圖12和圖13。數(shù)值模擬結(jié)果表明，當(dāng)沖壓拱度較小時(shí)，節(jié)點(diǎn)板大部分材料基本保持彈性狀態(tài)，回彈量隨沖壓拱度的增大而增大；當(dāng)沖壓拱度大于17 mm時(shí)，隨著沖壓拱度的增大，節(jié)點(diǎn)板中性面附近彈性區(qū)域逐漸減少，導(dǎo)致回彈量逐漸減小。值得注意的是，在沖壓拱度增大的過(guò)程中，節(jié)點(diǎn)板回彈量與沖壓拱度的比值始終保持降低趨勢(shì)，說(shuō)明節(jié)點(diǎn)板塑性變形發(fā)展程度逐漸提高。

表1 模型信息匯總表Tab. 1 Summary of model information

表2 材料參數(shù)Tab. 2 Material properties

2.3 節(jié)點(diǎn)板厚度對(duì)回彈量的影響

表1 中t 系列數(shù)值模型研究了節(jié)點(diǎn)板厚度對(duì)回彈量的影響，節(jié)點(diǎn)板回彈前后的豎向變形和回彈量分別見(jiàn)圖14和圖15。當(dāng)其他參數(shù)保持不變時(shí)，節(jié)點(diǎn)板回彈量隨著厚度的增大而減小，且回彈量減小的趨勢(shì)逐漸趨于平緩。主要原因是在沖壓拱度相同的情況下，節(jié)點(diǎn)板厚度越大，變形后板件上下表面的應(yīng)變?cè)酱?、材料的塑性發(fā)展程度越高，卸載回彈階段彈性恢復(fù)變形也越小。

圖11 m系模型回彈前后的豎向變形Fig. 11 Vertical deformation of group m before and after springback

圖12 h系模型回彈前后的豎向變形Fig. 12 Vertical deformation of group h before and after springback

圖13 h系模型的回彈量Fig. 13 Springback value of group h

2.4 節(jié)點(diǎn)板半徑對(duì)回彈量的影響

表1 中的r 系列數(shù)值模型研究了節(jié)點(diǎn)板半徑對(duì)回彈量的影響，節(jié)點(diǎn)板回彈前后的豎向變形和回彈量分別見(jiàn)圖16和圖17。當(dāng)其他參數(shù)保持不變時(shí)，節(jié)點(diǎn)板回彈量隨著半徑的增大而增大，且回彈量增大的趨勢(shì)基本保持線性。主要原因是節(jié)點(diǎn)板半徑越大，其彎曲變形能力越強(qiáng)，在達(dá)到相同沖壓拱度時(shí)彈性變形占總變形的比例越高，卸載后彈性恢復(fù)變形也越大。

圖14 t系模型回彈前后的豎向變形Fig. 14 Vertical deformation of group t before and after springback

圖15 t系模型的回彈量Fig. 15 Springback value of group t

圖16 r系模型回彈前后的豎向變形Fig. 16 Vertical deformation of group r before and after springback

2.5 螺栓孔的布置和開(kāi)孔面積對(duì)回彈量的影響

表1 中的b 系列數(shù)值模型研究了螺栓孔的布置和開(kāi)孔面積對(duì)回彈量的影響。對(duì)比模型b‐1和b‐10，構(gòu)造相同時(shí)，螺栓群中心線夾角是否均勻?qū)?jié)點(diǎn)板回彈量的影響可忽略不計(jì)。構(gòu)造1和構(gòu)造2模型、構(gòu)造3 和構(gòu)造4 模型分別用于6 桿和4 桿兩類(lèi)節(jié)點(diǎn)，當(dāng)開(kāi)孔面積率相近時(shí)，6桿節(jié)點(diǎn)板的回彈量稍大于4桿節(jié)點(diǎn)板的回彈量，螺栓孔對(duì)回彈量有一定影響；但對(duì)于同類(lèi)型節(jié)點(diǎn)板，回彈量隨著開(kāi)孔面積率的增加而減少，且基本保持線性關(guān)系，見(jiàn)圖18。

圖17 r系模型的回彈量Fig. 17 Springback value of group r

圖18 b系模型的回彈量Fig. 18 Springback value of group b

3 弧形節(jié)點(diǎn)板回彈量計(jì)算式

3.1 回彈量計(jì)算式理論推導(dǎo)

由于鋁合金節(jié)點(diǎn)板的開(kāi)孔面積率一般在10%以下，可先忽略螺栓孔對(duì)節(jié)點(diǎn)板回彈量的影響，取無(wú)孔圓板進(jìn)行分析。同時(shí)，鋁合金材料本構(gòu)關(guān)系按理想彈塑性考慮，并假定節(jié)點(diǎn)板在沖壓成形后、回彈變形前與模具完全貼合（即節(jié)點(diǎn)板為一球面），節(jié)點(diǎn)板的形狀見(jiàn)圖19。

由圖19 可得，節(jié)點(diǎn)板半徑對(duì)應(yīng)的圓心角ψ及表面的徑向應(yīng)變?chǔ)舝為

式中：R0為模具曲率半徑。

由于節(jié)點(diǎn)板幾何尺寸和荷載的對(duì)稱(chēng)性，其表面的環(huán)向應(yīng)變?chǔ)纽葢?yīng)等于徑向應(yīng)變?chǔ)舝，即

圖19 沖壓成形后節(jié)點(diǎn)板幾何形狀Fig. 19 Shape of gusset plate after stamping forming

根據(jù)彎曲薄板的小撓度理論［15］，可得

式中：h為沖壓拱度。

將式（4）代入式（3）中，可得

沖壓成形后節(jié)點(diǎn)板沿厚度方向的應(yīng)變、應(yīng)力分布見(jiàn)圖20a、21a。其中，β為節(jié)點(diǎn)板彈性核高度系數(shù)，σe為材料保持彈性時(shí)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力。假設(shè)板內(nèi)垂直于板面的正應(yīng)力可忽略不計(jì)，即節(jié)點(diǎn)板表面上任意一點(diǎn)均處于平面應(yīng)力狀態(tài)，則σe可由如下廣義虎克定律和第四強(qiáng)度準(zhǔn)則求得：

式（6）～（7）中：σr、σθ分別為節(jié)點(diǎn)板的徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力；μ為節(jié)點(diǎn)板泊松比。

則根據(jù)比例關(guān)系可得彈性核高度系數(shù)β為

回彈過(guò)程中，節(jié)點(diǎn)板彈性恢復(fù)變形對(duì)應(yīng)的應(yīng)變和應(yīng)力均沿厚度方向線性變化［16］，見(jiàn)圖20b、21b?；貜椊Y(jié)束后的應(yīng)變和應(yīng)力即為沖壓成形后與回彈過(guò)程中對(duì)應(yīng)的應(yīng)變和應(yīng)力的差值，如圖20c、21c所示。其中α為回彈系數(shù)，其值等于回彈量與沖壓拱度的比值。根據(jù)回彈前和回彈階段板中應(yīng)力分布的力矩平衡關(guān)系，可得

圖20 沿厚度方向應(yīng)變分布Fig. 20 Distribution of strain along the thickness direction

圖21 沿厚度方向應(yīng)力分布Fig. 21 Distribution of stress along the thickness directionn

由于在推導(dǎo)過(guò)程中對(duì)沖壓變形后的節(jié)點(diǎn)板形狀及材料本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行了簡(jiǎn)化，且未考慮開(kāi)孔對(duì)回彈量的影響，可保留式（12）的形式，并引入待擬合系數(shù)k1、k2，以及開(kāi)孔面積率修正系數(shù)γ對(duì)回彈量計(jì)算式進(jìn)行修正，即

3.2 回彈量計(jì)算式系數(shù)回歸分析

根據(jù)參數(shù)分析結(jié)果，選取b 系列模型的計(jì)算結(jié)果對(duì)開(kāi)孔面積率修正系數(shù)γ進(jìn)行回歸，可分別對(duì)4桿節(jié)點(diǎn)板和6桿節(jié)點(diǎn)板采用不同的開(kāi)孔面積率修正系數(shù)，回歸結(jié)果如下：

在扣除開(kāi)孔面積率對(duì)節(jié)點(diǎn)板回彈量的影響后，選取除b系列模型外的其他模型對(duì)系數(shù)k1、k2進(jìn)行回歸。需要指出的是，由于模型h‐1、h‐2 和h‐3 的沖壓拱度較小，回彈后節(jié)點(diǎn)板接近平板，故其計(jì)算結(jié)果不參與回歸分析。最終得到的節(jié)點(diǎn)板回彈量計(jì)算式為

3.3 回彈量計(jì)算式驗(yàn)證

采用式（14）、（15）計(jì)算表1 中節(jié)點(diǎn)板模型的回彈量，并與數(shù)值分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，見(jiàn)表1。從表1可以看出，計(jì)算結(jié)果SEq與數(shù)值分析結(jié)果SFE吻合良好，絕大多數(shù)誤差在±10% 以?xún)?nèi)，最大誤差為18. 87%。當(dāng)板厚t≤8 mm 或t≥18 mm 及沖壓拱度h≥25 mm時(shí)，計(jì)算結(jié)果誤差較大，其主要原因是當(dāng)板厚和沖壓拱度超過(guò)一定范圍后，節(jié)點(diǎn)板與上下模具在沖壓成型過(guò)程中并不完全貼合，沖壓成形后節(jié)點(diǎn)板的整體形狀不再保持為球面，此時(shí)擬合公式將不再適用。

4 結(jié)論

基于某實(shí)際鋁合金網(wǎng)殼節(jié)點(diǎn)，建立了弧面節(jié)點(diǎn)板沖壓成形過(guò)程的數(shù)值模型，對(duì)影響節(jié)點(diǎn)板回彈量的各項(xiàng)影響因素進(jìn)行了參數(shù)分析，對(duì)節(jié)點(diǎn)板回彈量計(jì)算式進(jìn)行了理論推導(dǎo)和回歸分析，得出以下結(jié)論：

（1）數(shù)值模擬得到的節(jié)點(diǎn)板回彈量和變形形狀與實(shí)測(cè)結(jié)果吻合良好，數(shù)值模型具有良好的準(zhǔn)確性。

（2）沖壓成形后，節(jié)點(diǎn)板表層材料大面積進(jìn)入塑性階段，中心區(qū)材料仍保持彈性；卸載回彈后，節(jié)點(diǎn)板螺栓孔邊緣存在明顯的應(yīng)力集中，其余部分也存在較大的殘余應(yīng)力，應(yīng)進(jìn)一步研究節(jié)點(diǎn)殘余應(yīng)力場(chǎng)對(duì)弧面板式節(jié)點(diǎn)受力性能的影響。

（3）節(jié)點(diǎn)板回彈量隨材料彈性模量、硬化系數(shù)、節(jié)點(diǎn)板半徑的增大而增大；隨節(jié)點(diǎn)板厚度、沖壓拱度、螺栓孔開(kāi)孔面積率的提高而減??；螺栓孔的布置對(duì)節(jié)點(diǎn)板回彈量也有一定影響。

（4）基于理論推導(dǎo)，得到了節(jié)點(diǎn)板回彈量計(jì)算式的形式，并基于參數(shù)分析模型的計(jì)算結(jié)果對(duì)計(jì)算式的系數(shù)進(jìn)行回歸分析，得到了節(jié)點(diǎn)板回彈量的實(shí)用計(jì)算式。對(duì)比擬合公式和數(shù)值分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)，公式（14）、（15）能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)回彈量的大小，具有良好的工程使用價(jià)值。