黃笠

[摘 要] 中考的命題趨向指導(dǎo)著初中教學(xué)的主要內(nèi)容，近年的中考題越來(lái)越貼近實(shí)踐探究，注重考查學(xué)生的動(dòng)手探究能力，本文就中考試卷中關(guān)于矩形折疊的綜合題進(jìn)行分析解讀，并開展教學(xué)研討，以通過(guò)試題解析和價(jià)值探究給初中教學(xué)提幾點(diǎn)建議，供同行探討、交流.

[關(guān)鍵詞] 中考；壓軸題；研究；教學(xué)

近年的中考題出現(xiàn)了一類以操作分析為主題的題型，此類題設(shè)計(jì)新穎，結(jié)構(gòu)巧妙，將書本知識(shí)與數(shù)學(xué)思想相結(jié)合，考查綜合實(shí)踐能力的同時(shí)考查學(xué)生研究、分析、猜想、論證的能力，其中以圖形變換為載體的問(wèn)題較為突出. 教學(xué)革新逐步推進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合實(shí)踐能力成為新的要求.

真題呈現(xiàn)

如圖1，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)D與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4），將矩形ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)A落在BC邊的點(diǎn)G處，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，AB上，且點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，4）.

（1）求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（2）求直線EF的解析式；

（3）已知點(diǎn)N在x軸上，則直線EF上是否存在一點(diǎn)M，使得以M，N，F(xiàn)，G為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

試題背景

此題是一道典型的將四邊形性質(zhì)運(yùn)用與折疊相結(jié)合的熱點(diǎn)問(wèn)題，本文將詳細(xì)解析此題的解法思路，立足本質(zhì)，探討教學(xué)啟示. 中考結(jié)束后，考生對(duì)此題的感慨多是：題目設(shè)問(wèn)簡(jiǎn)單，但缺乏解題思路；明知需要分類討論，但不易畫出圖形；即使能畫出圖形，也不一定能畫出所有可能情形并正確計(jì)算出結(jié)果. 因此，試題有一定的區(qū)分度，體現(xiàn)了讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上有不同的發(fā)展.

試題點(diǎn)評(píng)及解析

1. 試題點(diǎn)評(píng)

本題有三個(gè)小問(wèn)，以矩形的翻折為載體，將矩形與坐標(biāo)系相結(jié)合，主要考查矩形的性質(zhì)、三角函數(shù)、三角形全等的判定、直線解析式、平行四邊形的性質(zhì)等初中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)，考查了學(xué)生的分析理解能力、遷移能力和一定的空間想象能力. 第（1）（2）問(wèn)較容易，第（3）問(wèn)是本題的難點(diǎn)，需要學(xué)生動(dòng)手繪圖，采用分類討論思想探尋平行四邊形的位置，并利用全等三角形知識(shí)進(jìn)行計(jì)算.

2. 試題解析

（1）由已知可知FG=AF=2，F(xiàn)B=1，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以∠B=90°. 所以BG===. 所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3，4-）.

（2）設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，在Rt△BFG中，有cos∠BFG==，所以∠BFG=60°. 所以∠AFE=∠EFG=60°. 所以AE=AF·tan∠AFE=2tan60°=2. 所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為0，4-2. 又因?yàn)辄c(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，4），所以可用兩點(diǎn)法求得直線EF的解析式為y=x+4-2.

（3）需要對(duì)FG為平行四邊形的邊和對(duì)角線進(jìn)行分類討論，探討可能的平行四邊形的具體形狀. 如果以M，N，F(xiàn)，G為頂點(diǎn)的平行四邊形存在，則可能存在以下幾種情況.

①當(dāng)FG為平行四邊形其中一邊且點(diǎn)N在x軸正半軸上時(shí)，假如滿足條件的平行四邊形存在，則圖形如圖2. 過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H，則可以證得△MHN≌△GBF，于是有MH=GB=，即y=. 因?yàn)辄c(diǎn)M在直線EF上，且直線EF的解析式為y=x+4-2，所以可以求得x=，所以此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，.

②當(dāng)FG為平行四邊形其中一邊且點(diǎn)N在x軸負(fù)半軸時(shí)，圖形如圖3. 類似①的解法，可以求得此時(shí)滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為，-.

③當(dāng)FG為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，圖形如圖4. 過(guò)點(diǎn)M作MH⊥FB，交FB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H. 容易證得△MFH≌△GNC，則有MH=CG=4-，所以此時(shí)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為8-，代入直線EF的解析式，可以得到點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，所以此時(shí)滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為，8-.

綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)M，且點(diǎn)M的坐標(biāo)為，或，-或，8-.

試題研究?jī)r(jià)值

1. 把握命題方向——源于教材，立足實(shí)踐

新課標(biāo)注重考查學(xué)生的動(dòng)手操作能力和實(shí)踐探究能力，倡導(dǎo)對(duì)學(xué)生自我實(shí)踐能力的培養(yǎng). 這幾年，中考數(shù)學(xué)命題通常是圍繞大綱，結(jié)合教材知識(shí)點(diǎn)命題，基本的折疊問(wèn)題在蘇科版教材八（上）中心對(duì)稱圖形的復(fù)習(xí)題中出現(xiàn)過(guò). 中考考題多以翻折、旋轉(zhuǎn)、平移等圖形變換為載體，融入勾股定理、三角形全等、三角形相似、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法. 各地中考對(duì)學(xué)生活動(dòng)過(guò)程的考查也越來(lái)越多，趨勢(shì)是源于課本但立足于實(shí)踐，題目新穎但不背離教材，貼近生活，學(xué)生在解題時(shí)不會(huì)感到陌生，但實(shí)際題目綜合性強(qiáng)，難度也不小，對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、綜合實(shí)踐能力的考查要求較高. 以本題為例，以矩形的折疊為載體，考查學(xué)生的推理判斷能力，所以想要取得好的教與學(xué)的效果，關(guān)注中考、把握命題方向是關(guān)鍵. 因此，教師在平時(shí)要將教材概念與例題相結(jié)合，重視教材與試題的整合與拓展，進(jìn)行引申教學(xué)，針對(duì)中考新命題趨勢(shì)備課講授，在認(rèn)真研讀中考“源”題的基礎(chǔ)上，開展豐富有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓數(shù)學(xué)課堂注重培養(yǎng)學(xué)生的能力發(fā)展.

2. 探究試題遷移——變化萬(wàn)千，滲透思想

對(duì)于折疊四邊形為背景的試題，在平時(shí)的教學(xué)和復(fù)習(xí)中，我們也經(jīng)常遇到，各地中考題也多次出現(xiàn).

例如2013年江蘇蘇州中考試題：如圖5，點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，AB=10 cm，BC=12 cm，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別從A，B，C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針?lè)较騽蛩龠\(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為1 cm/s，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為3 cm/s，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為1.5 cm/s. 當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C（即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng). 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△EBF關(guān)于直線EF對(duì)稱的圖形是△EB′F，設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)，G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）.

（1）當(dāng)t=______s時(shí)，四邊形EBFB′為正方形；

（2）若以點(diǎn)E，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值；

（3）是否存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

上述中考題中出現(xiàn)了△EBF關(guān)于直線EF對(duì)稱的圖形△EB′F，實(shí)際上就是以矩形折疊問(wèn)題為背景，研究的方法具有相似性和通用性. 在教學(xué)中，要達(dá)到使學(xué)生會(huì)做這類題，不僅在于學(xué)生要多練，還在于教師要重視題目本質(zhì)的講解. 對(duì)于折疊問(wèn)題，需要有效地將圖形與坐標(biāo)進(jìn)行結(jié)合，在折疊過(guò)程中需要將軸對(duì)稱性質(zhì)、全等三角形、相似三角形等基本幾何知識(shí)置于坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和想象力. 通過(guò)不同題目的對(duì)比，能讓學(xué)生逐步體會(huì)數(shù)學(xué)方法在解題中遷移的重要性，達(dá)到舉一反三. 在本題的翻折問(wèn)題中，緊緊抓牢翻折前后對(duì)應(yīng)邊相等和對(duì)應(yīng)角相等是解題的前提，要在圖形變化中尋找不變要素，最后運(yùn)用分類討論思想、三角形相似的知識(shí)進(jìn)行解答. 分類討論思想作為數(shù)學(xué)的基本思想之一，要不斷地在練習(xí)中滲透并運(yùn)用. 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，也是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁. 因此，在平時(shí)的教學(xué)中，教師要講透題目中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)題組教學(xué)和變式訓(xùn)練，不斷提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的遷移能力.

3. 尊重命題趨向——注重過(guò)程，凸顯方法

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)教育活動(dòng)必須建立在學(xué)生的知識(shí)水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法. 歷年的中考題都是中考的指向標(biāo)，中考的趨勢(shì)逐漸貼近學(xué)生實(shí)際生活，注重對(duì)學(xué)生綜合實(shí)踐能力的考查，這也提醒教師，在教學(xué)過(guò)程中不能過(guò)分依賴題海戰(zhàn)術(shù)，一定要重視數(shù)學(xué)方法的掌握和積累，這樣才能讓教學(xué)更有效，才能充分保證學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和積極性. 對(duì)于以翻折為載體的題目，也經(jīng)常難住一批學(xué)生，比如下面這道2016年江蘇蘇州中考題：

如圖6，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，點(diǎn)D，E分別在AB，BC上，且BD=BE=4. 將△BDE沿DE所在直線折疊，得到△B′DE（點(diǎn)B′在四邊形ADEC內(nèi)），連接AB′，則AB′的長(zhǎng)為______.

學(xué)生在平時(shí)的練習(xí)中接觸過(guò)不少翻折問(wèn)題，但是遇到此題缺乏解題思路的學(xué)生不在少數(shù)，部分學(xué)生對(duì)于翻折的條件不會(huì)運(yùn)用，不能順利發(fā)現(xiàn)四邊形BEB′D為菱形，由此陷入解題困境. 另外一個(gè)瓶頸是學(xué)生沒(méi)有熟練掌握求線段長(zhǎng)度的三種方法：勾股定理、相似三角形和面積法，所以不會(huì)自主構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解. 究其原因還在于學(xué)生對(duì)翻折過(guò)程中前后不變的量不清晰，對(duì)勾股定理的應(yīng)用范圍不清晰，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中走馬觀花，缺乏參與度和方法的提煉. 學(xué)生對(duì)于一些數(shù)學(xué)方法的理解和掌握確實(shí)有一定的困難，而數(shù)學(xué)活動(dòng)正好是解決這一困難的有效手段. 學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中會(huì)慢慢地接受新知識(shí)、探究新知識(shí)、感悟新知識(shí)，比起傳統(tǒng)的死記硬背概念公式更為有效. 教師要積極引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)變化中“不變”的本質(zhì)，給予學(xué)生充分的觀察和思考時(shí)間. 在“四基”的教學(xué)中，教師既要注重知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，又要重視問(wèn)題的抽象表征，使得所學(xué)的知識(shí)容易被激活和提取，而不是對(duì)傳統(tǒng)知識(shí)方法的簡(jiǎn)單羅列和記憶.

結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)教學(xué)要緊緊圍繞中考命題趨勢(shì)，結(jié)合教材和大綱，透徹分析有價(jià)值有意義的考題，結(jié)合生活，注重實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)親身實(shí)踐發(fā)掘問(wèn)題的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、抽象和猜想等方面的能力，讓學(xué)生從根本上認(rèn)清問(wèn)題，消化吸收知識(shí)，在實(shí)踐探究中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，掌握數(shù)學(xué)思想方法.