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        探一道中考題與模擬題的相似之處

        2017-07-06 19:11:55謝賽琴
        關(guān)鍵詞:模擬題中考題

        謝賽琴

        [摘 要] 中考數(shù)學(xué)命題者最擔(dān)心的是壓軸題出現(xiàn)雷同題. 本文通過分析浙江省衢州市2016年一道中考題與模擬題的相似之處,警示我們——命題者最擔(dān)心的事也有可能很巧合地發(fā)生,要增強(qiáng)防范意識.

        [關(guān)鍵詞] 中考題;模擬題;相似;垂直四邊形

        筆者在翻閱寧夏人民教育出版社2016年7月出版發(fā)行的《2016年浙江中考試卷匯編·中考卷+模擬卷·數(shù)學(xué)》時驚奇地發(fā)現(xiàn),浙江省衢州市2016年數(shù)學(xué)中考試卷第23題(以下簡稱中考題)與衢州市菁才中學(xué)2016年數(shù)學(xué)中考模擬卷第23題(以下簡稱模擬題)有許多相似之處,故錄下以探討.

        題目呈現(xiàn)

        模擬題 定義:對角線互相垂直的凸四邊形叫作“垂直四邊形”.

        (1)理解:如圖1,已知四邊形ABCD是“垂直四邊形”,對角線AC,BD交于點O,AC=8,BD=7,則四邊形ABCD的面積為______;

        (2)探究:小明對“垂直四邊形”ABCD(如圖1)進(jìn)行了深入探究,發(fā)現(xiàn)其一組對邊的平方和等于另一組對邊的平方和,即AB2+CD2=AD2+BC2. 你認(rèn)為他的發(fā)現(xiàn)正確嗎?試說明理由.

        (3)應(yīng)用:①如圖2,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,動點P從點A出發(fā),沿AB方向以每秒5個單位長度的速度向點B勻速運動,同時點Q從點C出發(fā),沿CA方向以每秒6個單位長度的速度向點A勻速運動,運動時間為t秒(0

        ②如圖3,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=3AC,分別以AB,AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG,連接EG,請直接寫出線段EG與BC之間的數(shù)量關(guān)系.

        中考題 如圖4,我們把對角線互相垂直的四邊形叫作“垂直四邊形”.

        (1)概念理解:如圖5,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,問:四邊形ABCD是垂直四邊形嗎?請說明理由.

        (2)性質(zhì)探究:試探索垂直四邊形ABCD兩組對邊AB,CD與BC,AD之間的數(shù)量關(guān)系,猜想結(jié)論(要求用文字語言敘述)并寫出證明過程(先畫出圖形,寫出已知、求證).

        (3)問題解決:如圖6,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE的長.

        題目的相似之處

        1. 題干部分

        模擬題給出了“垂直四邊形”的定義,即對角線互相垂直的凸四邊形叫作“垂直四邊形”. 中考題給出的定義是:如圖4,我們把對角線互相垂直的四邊形叫作“垂直四邊形”. 中考題雖然沒有像模擬題那樣加上“凸四邊形”,但它加上了“如圖4”,已經(jīng)明確是凸四邊形,所以可以說題干部分兩題完全相同.

        2. 第(1)小題

        對于第(1)小題,兩道題都是對新概念的簡單理解,所不同的是,模擬題是利用垂直四邊形的性質(zhì)——對角線互相垂直,求四邊形的面積;中考題則是利用垂直平分線的判定證明四邊形ABCD的對角線互相垂直,從而得出四邊形ABCD是垂直四邊形.

        3. 第(2)小題

        兩題都是探究垂直四邊形的性質(zhì)——垂直四邊形一組對邊的平方和等于另一組對邊的平方和. 所不同的是,模擬題是直接給出這一性質(zhì),要求學(xué)生證明;中考題則是讓學(xué)生先探索,然后猜想結(jié)論,最后寫出已知、求證和證明過程. 其求解的基本思路是相同的,但難易有所不同.

        4. 第(3)小題

        兩題都是“垂直四邊形”性質(zhì)的應(yīng)用. 模擬題多了①,其②與中考題都是以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,這樣得到的圖3與圖6很相似. 不同的是,模擬題中的AB=3AC,中考題利用勾股數(shù)賦值A(chǔ)C=4,AB=5. 中考題連接了CE,BG,而模擬題沒有,故模擬題的EG與BC之間的數(shù)量關(guān)系更難求.

        解法的相似之處

        通過上述分析,我們發(fā)現(xiàn)兩題有很多相似之處,因而其解法也有許多相似之處.

        第(1)小題略.

        對于第(2)小題,兩道題的解法如下——

        模擬題 (2)正確. 理由如下:因為四邊形ABCD是垂直四邊形,所以AC⊥BD. 所以AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2. 所以AB2+CD2=AD2+BC2.

        中考題 (2)猜想結(jié)論:垂直四邊形的兩組對邊的平方和相等.

        已知:如圖7,在四邊形ABCD中,對角線AC⊥BD,垂足為O.

        求證:AB2+CD2=AD2+BC2.

        證明:因為AC⊥BD,所以AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2. 所以AB2+CD2=AD2+BC2.

        對于第(3)小題,模擬題①略. 模擬題②的解法隱藏得比較深,這里要上下聯(lián)系,要想到利用(2)中垂直四邊形的性質(zhì)進(jìn)行求解. 而圖3中找不到垂直四邊形,所以要去探索出隱藏的垂直四邊形,這就需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線. 結(jié)合以往的經(jīng)驗和直覺,連接BG和CE覺得可能垂直,于是給以證明,再連接BE,CG,垂直四邊形就有了. 接著利用(2)中的性質(zhì),就可以求得EG與BC的關(guān)系. 下面給出求解方法——

        模擬題 (3)②如圖8,連接BG,CE,BE,CG. 設(shè)CE與BG交于點M,與AB交于點N. 因為AB=3AC,設(shè)AC=a,則AB=3a. 因為∠ACB=90°,所以BC==2a. 在正方形ABDE和正方形ACFG中,AB=AE,AC=AG,∠BAE=∠CAG=90°,所以BE=3a,CG=a,∠BAG=∠CAE. 所以△AEC≌△ABG. 所以∠AEC=∠ABG. 又因為∠ANE=∠BNM,所以∠BME=∠BAE=90°. 所以EC⊥BG. 所以四邊形BCGE為垂直四邊形. 由(2)知BC2+EG2=BE2+CG2,即(2a)2+EG2=(3a)2+a2,因此EG2=12a2=BC2.

        中考題 (3)如圖9,連接BE,CG,設(shè)CE與BG交于點M,AC與BG交于點N. 接下來證四邊形BCGE為垂直四邊形(與上述模擬題最后一小問②相同,此處不再贅述). 由(2)知BC2+EG2=BE2+CG2,又因為BC2=52-42=9,BE2=52+52=50,CG2=42+42=32,所以9+EG2=50+32,因此EG2=73,EG=.

        反思

        中考數(shù)學(xué)命題權(quán)現(xiàn)在大部分省都下放到地級市,由此培養(yǎng)了一大批一線中考命題教師,通過這些教師的指導(dǎo)和帶動,初中教師整體的命題水平已得到提高. 但中考命題隊伍中也存在水平的高低,有些命題者有待進(jìn)一步磨煉. 本例中的中考題與模擬題如此高度相似,與中考命題者所選題的思路單一和撞車風(fēng)險意識不夠有關(guān). 中考命題者可能查閱有關(guān)成題沒有發(fā)現(xiàn)類似題,但不知道他們閉門命題時,有同行編題并朝著中考命題者同一思路編出了高度雷同題(這可能連模擬題的編制者也難以置信). 大家看到,本例定義對角線互相垂直的凸四邊形為垂直四邊形,這樣就易編出:新概念的簡單應(yīng)用;性質(zhì)探究,而這性質(zhì)也是比較單一的,大家都易想到垂直有直角,想到用勾股定理構(gòu)造題,于是就容易撞在一起;所編題怎樣應(yīng)用,也集中指向上一小題得到的性質(zhì),這就要有垂直四邊形,也就是有兩線段互相垂直并可進(jìn)一步求值,這些都有一定的指向性,于是又容易撞在一起. 模擬題和中考題第(3)小題的撞車嚴(yán)重影響了試卷的公平性. 通過本例,希望能給以后命題者在命題時有所警醒. 本文不妥之處,敬請各位同行和專家指出.

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