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        高考全國卷二項式定理命題動向分析

        2020-12-04 15:50:45廣東省汕頭市澄海華僑中學(xué)潘敬貞
        關(guān)鍵詞:展開式二項式通項

        ■廣東省汕頭市澄海華僑中學(xué) 潘敬貞

        二項式定理是高中數(shù)學(xué)中計數(shù)原理與多項式的概念及性質(zhì)緊密聯(lián)系的內(nèi)容,該內(nèi)容一直深受高考命題專家的青睞,一時成為高考熱門考點之一,主要考查二項式展開式的通項公式,求指定項的系數(shù)等有關(guān)問題,下面針對近年來全國卷有關(guān)二項式定理的試題,分析其考查特點及高考動向透視,主要目的是幫助同學(xué)們梳理二項式定理相關(guān)的必備知識、核心考點,讓同學(xué)們了解該內(nèi)容的命題動向,把握好高考方向,提高備考效益。

        一、試題特點分析

        在多年的高考全國卷中,二項式定理都是以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),試題難度不大,多數(shù)為容易題或中檔題。試題主要考查二項式展開式的通項公式,包括求展開式的指定項有關(guān)問題,特別關(guān)注兩個多項式乘積展開式中的指定項。年年歲歲花相似,歲歲年年題不同,試題千變?nèi)f化,但考查的重心主要落在通項公式的正向與逆向的應(yīng)用上。

        二、考查問題分析

        對近幾年高考全國卷的分析可以看出,二項式定理是高考必考的內(nèi)容之一,考查的題型和分值較為穩(wěn)定。高考考查的問題主要圍繞著二項式展開式進(jìn)行提問,包括求指定項的系數(shù)、常數(shù)項、系數(shù)最大項、奇(偶)數(shù)項、部分項或所有項的系數(shù)之和等問題,尤其要關(guān)注兩個二項式的積轉(zhuǎn)化為二項式問題,偶爾也考查三項式展開式的指定項問題或?qū)⑷検睫D(zhuǎn)化為二項式問題等,在此過程中考查二項式展開式的有關(guān)概念、性質(zhì)的理解和運用,考查分析問題與解決問題的能力、運算求解能力、邏輯推理能力,考查分類討論思想,考查數(shù)學(xué)運算、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

        三、高考透視

        1.二項式展開式中指定項問題

        (1)求二項式展開式中指定項的系數(shù)。

        例 1(2018年全國Ⅲ卷理5)的展開式中x4的系數(shù)為( )。

        A.10 B.20 C.40 D.80

        解析:由二項式展開式的通項公式得第r+1項依據(jù)題意可令x的指數(shù)10-3r=4,得r=2,所以x4的系數(shù)為。

        評注:本題主要考查二項式定理的基本概念,考查分析問題與解決問題的能力,考查數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)等,屬于容易題。

        例 2(2014年全國Ⅱ卷理13)已知(x+a)10的展開式中,x7的系數(shù)為15,則。

        解析:由二項式展開式的通項公式得第r+1項依據(jù)題意可令x的指數(shù)10-r=7,得r=3,所以=15x7,因此可得關(guān)于參數(shù)a的方程為。

        評注:本題是逆向應(yīng)用二項式展開式的通項公式列關(guān)于參數(shù)a的方程,再通過解方程即可求出參數(shù)a的值。

        (2)求二項式展開式中的常數(shù)項。

        例 3(2020年全國Ⅲ卷理14)的展開式中的常數(shù)項是____。

        解析:由二項式展開式的通項公式得第r+1項2rx-r=Cr62rx12-3r,依據(jù)題意可令x的指數(shù)12-3r=0,得r=4,所以的展開式中的常數(shù)項為。

        思考:針對“二項式展開式中指定項問題”,除了“通項公式法”,還可以用“指數(shù)分配法”。我們可以將(a+b)n展開式中的通項公式理解為第r+1項中a的指數(shù)n-r和b的指數(shù)r是由(a+b)n中的指數(shù)n分配得到的。如例1要求的展開式中x4的系數(shù),首先需要思考怎樣產(chǎn)生x4的項,如何將指數(shù)5分配給x2和的指數(shù),當(dāng)x2分得的指數(shù)為3和a分得的指數(shù)為2時展開式中產(chǎn)生x4的項,即C25(x2)3,所以x4的系數(shù)為40。

        解決二項式展開式中指定項問題,通項公式法是通解,但指數(shù)分配法更靈活巧妙,達(dá)到小題快解的目的,利用指數(shù)分配法對二項式定理本質(zhì)的理解及數(shù)學(xué)運算等要求比較高,只有熟練掌握二項式定理并具有較高的數(shù)學(xué)運算能力方可達(dá)到指數(shù)分配法的核心要求。

        2.二項式展開式中二項式系數(shù)最大值問題

        例 4(2013年全國Ⅰ卷理9)設(shè)m為正整數(shù),(x+y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b。若13a=7b,則m=( )。

        A.5 B.6 C.7 D.8

        解析:由二項式展開式的二項式系數(shù)的性質(zhì)可得又因為13a=7b,所以解得m=6。

        評注:解決本題的關(guān)鍵是二項式系數(shù)的性質(zhì)“二項式展開式中最中間項的二項式系數(shù)最大”,同時結(jié)合13a=7b可列關(guān)于參數(shù)m的方程,再通過解方程即可求出參數(shù)m的值。

        3.二項式展開式中奇(偶)數(shù)次冪項問題

        例 5(2015年全國Ⅱ卷理15)已知(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32,則a=____。

        解析:由二項式定理得(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4,所以(a+x)(1+x)4=a(1+x)4+x(1+x)4=a(1+4x+6x2+4x3+x4)+x(1+4x+6x2+4x3+x4)=a+(4a+1)x+(6a+4)x2+(4a+6)x3+(a+4)x4+x5,故(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項分別為(4a+1)x,(4a+6)x3,x5,其系數(shù)之和為(4a+1)+(4a+6)+1=32,解得a=3。

        評注:處理此類問題的方法一般是運用二項式定理將其中一個因式展開,然后將兩個乘積展開,即可得出要研究的項。

        4.將兩個二項式的積轉(zhuǎn)化為二項式問題

        例 6(2020年全國Ⅰ卷理8)的展開式中x3y3的系數(shù)為( )。

        A.5 B.10 C.15 D.20

        解析:由于要求x3y3的系數(shù),只需分別求的展開式中x3y3的系數(shù)。要求x(x+y)5的展開式中x3y3的系數(shù),只需求(x+y)5的展開式中x2y3的系數(shù)即可,根據(jù)指數(shù)分配法可知,當(dāng)x分得的指數(shù)是2,y分得的指數(shù)是3時即可得含x2y3的項,即 C35x2y3,所以x(x+y)5的展開式中含x3y3的項為xC35x2y3,即10x3y3;同理,要求的展開式中x3y3的系數(shù),只需求(x+y)5的展開式中x4y的系數(shù)即可,根據(jù)指數(shù)分配法可知,當(dāng)x分得的指數(shù)是4,y分得的指數(shù)是1時即可得含x4y的項,即的展開式中含x3y3的項為所以的展開式中的含x3y3的項為10x3y3+5x3y3=15x3y3,所以展開式中x3y3的系數(shù)為15。

        二項式定理考查的題型比較穩(wěn)定,試題難度不大,多數(shù)為容易題或中檔題。同學(xué)們要理解好二項式定理的本質(zhì)內(nèi)涵及蘊含的思想方法,熟練掌握二項式定理的通項公式正向、逆向的應(yīng)用。針對考查的問題,選擇典型的試題通過訓(xùn)練掌握好其解決的方法,從而提高數(shù)學(xué)解題能力,最終達(dá)到提高備考效率的目的。

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