■河南省平頂山市第一高級中學(xué) 王 瑋

作為高考必考內(nèi)容，復(fù)數(shù)在歷年的高考中一般都是以選擇題或者填空題的形式出現(xiàn)，涉及的知識點(diǎn)較多，比如與實數(shù)、向量及其他數(shù)學(xué)分支的綜合考查。2020年的高考結(jié)束后，筆者注意到全國卷對復(fù)數(shù)的考查相對往年有所變化，比如全國Ⅱ卷理科第15題對復(fù)數(shù)的考查就突破了往年既定模式，增強(qiáng)了同學(xué)們的思考反射弧，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)遷移的思想。而且課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）對復(fù)數(shù)也做了一些調(diào)整，增加了復(fù)數(shù)的三角表示，這些新的變化給新一輪的復(fù)習(xí)備考提供了新方向。讓大家再次清晰地認(rèn)識到，在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)時要更加注重概念理解的深刻性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，要在夯實基礎(chǔ)的同時，注重能力的提升。

一、疑難知識導(dǎo)析

（1）兩個實數(shù)可以比較大小，而不全是實數(shù)的兩個復(fù)數(shù)不能比較大小；

（2）若z∈R，則z2≥0；若z∈C，則z2≥0不一定成立，如z=i時i2=-1＜0。

（3）若z∈R，則|z|2=z2；若z∈C，則|z|2=z2不一定成立。

（4）若z1，z2，z3∈C，由 （z1-z2）2+（z2-z3）2=0不一定能推出z1=z2=z3。

（5）若z1，z2∈R，則|z1-z2|=，但若z1，z2∈C，則上式不一定成立。

二、題型預(yù)測及易錯分析

題型1：考查共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的運(yùn)算

例 1若z=i+1，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在（ ）。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

錯解：從而對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限。故選B。

分析：上述解題過程中，共軛復(fù)數(shù)z=1-i，應(yīng)該先將z=i+1改寫為z=1+i的形式，再進(jìn)行運(yùn)算，否則容易出錯。

正解：從而對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限。故選A。

評注：復(fù)數(shù)z=a+bi的共軛復(fù)數(shù)=a-bi，一定要注意復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的特點(diǎn)。

題型2：考查復(fù)數(shù)相等問題

若兩個復(fù)數(shù)相等，則兩個復(fù)數(shù)的實部與實部相等，虛部與虛部相等。在解題過程中，很多同學(xué)不能同時考慮兩個條件，往往只考慮實部相等或虛部相等，從而造成錯解。

例 2已知x是實數(shù)，y是純虛數(shù)，且滿足（2x+1）+i=y+（y-1）i，求x與y的值。

錯解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得，

分析：上述解法顯然誤把等式兩邊看成復(fù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式加以求解，從而導(dǎo)致解題錯誤。

正解：由題可設(shè)y=bi（b∈R，b≠0），則原式可變?yōu)椋?x+1）+i=-b+（b-1）i，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得，

評注：若a+bi=c+di（a，b，c，d∈R），則有a=b，c=d。在一些復(fù)雜的式子中，必須先將式子化為a+bi的標(biāo)準(zhǔn)形式，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件求解。

題型3：考查隱含條件問題

對任何數(shù)學(xué)式子，都要強(qiáng)調(diào)式子有意義的條件，復(fù)數(shù)也不例外。例 3實數(shù)a取什么值時，復(fù)數(shù)z=是純虛數(shù)？

錯解：因為復(fù)數(shù)z=a2-a-6+為純虛數(shù)，所以a2-a-6=0，解得a=-2或a=3。

分析：復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的條件是實部為零，虛部不為零，但同時要考慮定義域，上述解法正是忽視了這些條件，從而造成錯解。

正解：復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，除了要滿足a2-a-6=0，還要滿足a2-4a+3≠0和a+2＞0，綜上可知，滿足條件的實數(shù)a不存在。

評注：要正確求解本題，不僅要準(zhǔn)確了解復(fù)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則，還要了解復(fù)數(shù)中實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)成立的條件，在出現(xiàn)分式、根式等情況時，一定要注意式子有意義的條件。

題型4：利用軌跡法解決復(fù)數(shù)問題

四川長江職業(yè)學(xué)院學(xué)院于2017年7月獲得四川省教育廳批準(zhǔn)建設(shè)移動性生產(chǎn)性實訓(xùn)基地項目，該項目建設(shè)周期為2年，主要面向通信技術(shù)、移動通信技術(shù)、計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、移動互聯(lián)應(yīng)用技術(shù)4個專業(yè)。學(xué)院依托通信行業(yè)知名企業(yè)在原有實訓(xùn)室的基礎(chǔ)上，學(xué)院與企業(yè)共建“移動無線網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中心”一個，可容納100人同時進(jìn)行實訓(xùn)。經(jīng)過一年多的建設(shè)，基地已基本形成企業(yè)真實工作環(huán)境與職業(yè)環(huán)境。

復(fù)數(shù)集與平面坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系，任何一個復(fù)數(shù)a+bi都可以由一個有序?qū)崝?shù)對（a，b）唯一確定。建立起這種對應(yīng)關(guān)系后，很多復(fù)數(shù)問題就可以運(yùn)用復(fù)數(shù)的幾何意義去求解，很多同學(xué)由于對復(fù)數(shù)的幾何意義理解不透，在求軌跡相關(guān)問題中不能正確得出復(fù)數(shù)表示的曲線而造成錯解。

例 4若復(fù)數(shù)z滿足條件|2z-i|+則復(fù)數(shù)z在平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是（ ）。

A.橢圓 B.直線 C.線段 D.圓

錯解：先將的兩邊同除以2，得到此時如果把看作動點(diǎn)z到定點(diǎn)看作動點(diǎn)z到定點(diǎn)的距離，則表示z到兩個定點(diǎn)的距離之和為的點(diǎn)的軌跡，即橢圓。故選A。

分析：上述解法得到了動點(diǎn)的軌跡符合橢圓的定義，但是沒有注意橢圓定義中的條件，即兩定點(diǎn)間的距離小于定常數(shù)。

評注：要正確求解與復(fù)數(shù)相關(guān)的軌跡問題，必須加強(qiáng)對概念的理解，把握復(fù)數(shù)的幾何意義，認(rèn)真審題。

題型5：考查判別式的使用

例 5求使方程x2+（m+4i）x+1+2mi=0至少有一個實根時實數(shù)m的值。

錯解：因為方程至少有一個實根，所以Δ=（m+4i）2-4（1+2mi）=m2-20≥0，則。

正解：設(shè)a是方程的實數(shù)根，則a2+（m+4i）a+1+2mi=0，即a2+ma+1+（4a+2m）i=0，由于a，m都是實數(shù)，所以解得m=±2。

評注：實數(shù)集合是復(fù)數(shù)集合的真子集，所以在實數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不一定成立，必須經(jīng)過嚴(yán)格推廣后方可使用。一元二次方程根的判別式是對實系數(shù)一元二次方程而言的，而此題盲目地把它推廣到復(fù)系數(shù)一元二次方程中，造成解題錯誤。

要想在高考的考場里快而準(zhǔn)確地解答復(fù)數(shù)題，必須要注意細(xì)節(jié)，夯實基礎(chǔ)，還要注重思維的發(fā)散，關(guān)注復(fù)數(shù)與其他知識的結(jié)合，盡量使用合理的方法解決。相信如果每位同學(xué)在學(xué)習(xí)的過程中能做到細(xì)致入微，那么在高考的考場里就能得心應(yīng)手。常言道：功夫不負(fù)有心人！今日的歸納與整理，就是為了明日的展翅飛翔！