李德奎

(甘肅中醫(yī)藥大學(xué) 理科教學(xué)部，甘肅 定西 743000)

美國著名氣象學(xué)家Lorenz于1963年提出第一個三維連續(xù)混沌系統(tǒng)，稱之為Lorenz系統(tǒng)[1]，此后，大量的混沌系統(tǒng)相繼被提出，比較著名的連續(xù)混沌系統(tǒng)有Chen系統(tǒng)[1]、Lü系統(tǒng)[1]和Chua電路系統(tǒng)[2]，離散系統(tǒng)有Logistic映射[3]、Hénon映射[4]等。文獻[5]基于Lorenz混沌系統(tǒng)，利用增加狀態(tài)方程和反饋控制的方法，提出了一個新超混沌系統(tǒng)，由于其混沌吸引子形狀出現(xiàn)了數(shù)字“3”和“8”的樣式，為此將這個超混沌系統(tǒng)稱為“三八超混沌系統(tǒng)”。

混沌控制是混沌應(yīng)用的前提，比較著名的混沌控制方法有：參數(shù)微擾法[6]、時滯反饋控制法、自適應(yīng)控制法、滑模變結(jié)構(gòu)控制法等。時滯反饋控制法是一類重要的混沌控制方法，一方面時滯反饋控制法不需要知道精確的系統(tǒng)模型，這一點是參數(shù)微擾法方法無法比擬的；另一方面時滯現(xiàn)象在通信和生態(tài)系統(tǒng)中是普遍存在的[7]，例如通信過程中信號傳輸?shù)膿頂D阻塞，捕食者從出生到具有捕食能力，需要一定的成長時間等。因此, 有必要研究時滯反饋控制混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為。

許多學(xué)者在時滯動力系統(tǒng)方面做了大量工作。文獻[8]研究了Arneodo混沌動力系統(tǒng)的時滯反饋控制，分析了系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性及局部Hopf分岔的存在性。文獻[9]研究了時滯反饋控制R?ssler系統(tǒng)的平衡點的局部穩(wěn)定性和Hopf分岔的存在性。文獻[10]研究了一類食餌具有階段結(jié)構(gòu)的時滯捕食系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性與Hopf分岔。然而這些研究考慮的是三維混沌系統(tǒng)的時滯反饋控制或時滯依賴分析。目前，對時滯反饋控制的四維超混沌系統(tǒng)的動力學(xué)研究卻較少，同時超混沌系統(tǒng)是比混沌系統(tǒng)更加復(fù)雜的動力系統(tǒng)，能夠產(chǎn)生更加復(fù)雜的時間序列，在保密通信與圖像加密領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價值。

基于以上考慮，本文對三八超混沌系統(tǒng)進行了繼續(xù)研究，給出了時滯反饋控制的三八超混沌系統(tǒng)模型，分析了其平衡點的穩(wěn)定性以及平衡點失穩(wěn)時發(fā)生Hopf分岔的參數(shù)空間和時滯值。本文的研究可以看成是對文獻[8-10]研究成果的進一步推廣，具有一定的理論價值。

1 三八超混沌系統(tǒng)

文獻[5]基于著名的三維Lorenz混沌系統(tǒng)，利用線性反饋方法，構(gòu)造了三八超混沌系統(tǒng)，其動力學(xué)方程為：

(1)

其中，x,y,z,u為狀態(tài)變量，a,b,c,θ,k是系統(tǒng)參數(shù)。當參數(shù)a=10,b=28,c=2,θ=4，k=8時，系統(tǒng)處于超混沌運動狀態(tài)，具有如圖1所示的超混沌吸引子。

圖1 三八超混沌系統(tǒng)的混沌吸引子圖

2 時滯反饋控制三八超混沌系統(tǒng)

由于時滯是信號傳輸中不可避免的通信現(xiàn)象，同時也是生態(tài)系統(tǒng)平衡性分析必須考慮的問題，因此對三八超混沌系統(tǒng)進行時滯反饋控制，形成如下時滯微分動力系統(tǒng)：

(2)

其中d為時滯反饋系數(shù)，τ為時滯常數(shù)。易知系統(tǒng)(2)具有唯一的平凡平衡點E=(0,0,0,0)，其平衡點與系統(tǒng)(1)的平衡點相同，說明時滯反饋控制不改變系統(tǒng)的平衡點位置和數(shù)量。將系統(tǒng)(2)在平衡點E=(0,0,0,0)處線性化，可得線性系統(tǒng)為：

(3)

根據(jù)線性化系統(tǒng)(3)，得其特征方程為，

即，λ4+α3λ3+α2λ2+α1λ+α0+(β3λ3+β2λ2+β1λ+β0)e-λτ=0。

(4)

其中，

當τ=0時，系統(tǒng)(2)由泛函微分方程退化為常微分方程，其平衡點的穩(wěn)定性在文獻[5]中已有研究，并給出有關(guān)研究成果如下：

引理1當τ=0時，如果系統(tǒng)(2)的參數(shù)滿足下列2個條件中的任何一個，

那么系統(tǒng)(2)的唯一平衡點E(0,0,0,0)是漸進穩(wěn)定的。

本文考慮系統(tǒng)的延遲時滯反饋控制，所以僅考慮時滯常數(shù)為正的情況。當τ>0時，設(shè)λ=iω(ω>0)是特征方程(4)的一個純虛根，則由(4)式得ω滿足下列關(guān)系式，

ω4-α3ω3i-α2ω2+α1ωi+α0+(-β3ω3i-β2ω2+β1ωi+β0)(cosωτ-isinωτ)=0。

(5)

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念，對(5)的實部和虛部進行分離得方程組(6)，

(6)

方程組(6)可等價轉(zhuǎn)化為，

(7)

對于方程(7)給出下列結(jié)論。

定理1如果|α0|<|β0|，那么方程(7)至少有一個正實根。

證明：設(shè)v=ω2，則(7)可化為，

(8)

取輔助函數(shù)，

(9)

函數(shù)(9)可轉(zhuǎn)化為，

(10)

由(4)式、(9)式和(10)式，如果滿足，

(11)

假設(shè)方程(7)有l(wèi)(l≤4)個正實根，記為ωn(n=0,1,2,3)，根據(jù)方程組(6)可得，

(12)

將ω=ωn代入(12)式，可求得時滯τ的值為，

(13)

證明對特征方程(4)的兩邊關(guān)于時滯τ求微商，可得，

整理為，

λ(β3λ3+β2λ2+β1λ+β0)e-λτ。

(14)

根據(jù)(4)式可得，

-(λ4+α3λ3+α2λ2+α1λ+α0)=(β3λ3+β2λ2+β1λ+β0)e-λτ，

(15)

將(15)式代入(14)式可得，

(16)

(17)

(18)

根據(jù)歐拉公式e-iω0τ=cosω0τ-isinω0τ可知，|e-iω0τ|=1，所以由(18)式可得，

(19)

化簡(19)式可得，

(20)

由(17)式和(20)式可得

(21)

根據(jù)以上推導(dǎo)和時滯系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔的條件，給出如下結(jié)論。

定理4如果條件(H1),(H2)成立，那么當τ∈[0,τ0)時，系統(tǒng)(2)的平衡點E(0,0,0,0)是漸近穩(wěn)定的。如果條件(H1),(H2),(H3)成立，那么當τ∈τk(k=0,1,2,3…)時，系統(tǒng)(2)在平衡點E(0,0,0,0)附近發(fā)生Hopf分岔。

3 數(shù)值仿真

為了研究系統(tǒng)(2)在平衡點的穩(wěn)定性問題，檢驗定理4的三個條件。數(shù)值仿真在滿足條件(H1)中①的情況下進行，對于條件(H1)中②的情況與①的情況類似，這里不再贅述。

推論對于如下時滯微分系統(tǒng)，

(22)

(1)當τ∈[0,0.231 8)時，系統(tǒng)(22)的平衡點E(0,0，0，0)是漸近穩(wěn)定的；

(2)當τ=0.231 8+0.5nπ時，系統(tǒng)(22)的平衡點E(0,0，0，0)附近發(fā)生Hopf分岔，出現(xiàn)周期解。

任取系統(tǒng)的初值條件為[x(0),y(0),z(0),u(0)]=[2.5,0,0,0]，在不同的時滯常數(shù)下，對系統(tǒng)(22)的穩(wěn)定性進行數(shù)值仿真，仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。由圖2可以看出，系統(tǒng)(22)在平衡點E(0,0，0，0)附近發(fā)生Hopf分岔，出現(xiàn)了極限環(huán)。由圖3可以看出，系統(tǒng)(22)的平衡點E(0,0，0，0)是穩(wěn)定的，數(shù)值仿真的結(jié)果與理論分析的結(jié)果一致。

圖2 時滯τ=0.231 8時系統(tǒng)(22)的相圖

圖3 時滯τ=0.013 0時系統(tǒng)(22)的相圖

4 結(jié)論

本文對三八超混沌系統(tǒng)進行了時滯反饋控制，被控的超混沌系統(tǒng)是一個泛函微分動力系統(tǒng)，通過線性化系統(tǒng)的特征方程根的分布，分析了時滯值對系統(tǒng)平衡點的影響，給出了系統(tǒng)在平衡點附近發(fā)生Hopf分岔的參數(shù)和時滯條件。本文的研究成果可以看作是對被控三維混沌系統(tǒng)研究的進一步延伸，具有重要的理論意義和應(yīng)用價值。