趙姣珍，許道云

(1.貴州民族大學(xué)人文科技學(xué)院 大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025；2.貴州大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025)

2020年，兩位數(shù)學(xué)家Joshua Evan Greene和Andrew Lobb解決了一個(gè)百年未解的數(shù)學(xué)難題——平面閉環(huán)上內(nèi)接矩形問(wèn)題[1-2]，問(wèn)題的最終解決與莫比烏斯帶和克萊因瓶嵌入到四維空間密切相關(guān)。所謂的內(nèi)接矩形問(wèn)題是指：對(duì)于平面上任何簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)(閉環(huán))，對(duì)任意給定的比值r，是否存在環(huán)上的4個(gè)點(diǎn)，以此形成的矩形其長(zhǎng)寬比為r？問(wèn)題于1911年提出，看似簡(jiǎn)單，其實(shí)解決起來(lái)困難。2019年，著名華人數(shù)學(xué)家陶哲軒用積分方法證明了內(nèi)接矩形是正方形時(shí)結(jié)論成立[3]，其論文長(zhǎng)達(dá)49頁(yè)。

早在1977年，數(shù)學(xué)家Herbert Vaughan在解決該問(wèn)題時(shí)曾經(jīng)引入一種方法[2]：將矩形表示轉(zhuǎn)化為兩條“長(zhǎng)度相等、中點(diǎn)重合”線(xiàn)段。這兩條線(xiàn)段就是矩形的對(duì)角線(xiàn)，對(duì)于一條線(xiàn)段AB，取中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，線(xiàn)段長(zhǎng)度為d，可以編碼AB到三維空間中的一個(gè)點(diǎn)(x,y,d)。Herbert Vaughan發(fā)現(xiàn)，如果在曲線(xiàn)上按每一對(duì)點(diǎn)并對(duì)其進(jìn)行繪制，得到一個(gè)令人驚訝的形狀——Mobius帶。

對(duì)于一條線(xiàn)段AB的編碼，進(jìn)一步考慮線(xiàn)段AB與X軸正向的夾角α。于是，平面上的一條線(xiàn)段AB可以編碼到四維空間中的一個(gè)點(diǎn)(x,y,d,α)。2019年，C.Hugelmeyer運(yùn)用Mobius帶嵌入到四維空間的方法證明了至少對(duì)1/3的長(zhǎng)寬比值，問(wèn)題的結(jié)論成立[4]。

Joshua Evan Greene和Andrew Lobb再次利用Herbert Vaughan的方法，運(yùn)用Mobius帶嵌入到四維辛空間，最終解決了這個(gè)百年未解的數(shù)學(xué)難題[5]，其論文一共只有6頁(yè)。當(dāng)他們把證明結(jié)果發(fā)表出來(lái)時(shí)，布朗大學(xué)數(shù)學(xué)家Richard Schwartz贊嘆[2]：萬(wàn)萬(wàn)沒(méi)想到，解決此問(wèn)題的正確方式是這樣的！

本文基于Herbert Vaughan的思路和方法，給出Klein瓶的一種簡(jiǎn)單生成方法。

1 基本原理

基于Herbert Vaughan的思路和方法[2]，由平面上一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)C(閉環(huán))和位于閉環(huán)C內(nèi)部的一條簡(jiǎn)單曲線(xiàn)段L可以構(gòu)成一條Mobius帶(圖1)。

圖1 環(huán)線(xiàn)掃描生成的Mobius帶

同一條Mobius帶，也可以認(rèn)為是由曲線(xiàn)段沿環(huán)線(xiàn)掃描生成(圖2)。

圖2 曲線(xiàn)段掃描生成的Mobius帶

基于上述原理，由平面上一條簡(jiǎn)單C閉環(huán)和位于閉環(huán)C內(nèi)部的另一條簡(jiǎn)單閉環(huán)C0就可以生成一個(gè)Klein瓶。

在圖3中，將內(nèi)環(huán)C0切分為兩條有向曲線(xiàn)段：AB和BA。兩條有向曲線(xiàn)段首尾相接，按圖1中的方式，AB和BA分別與外環(huán)C生成兩條Mobius帶。以A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)生成的環(huán)線(xiàn)作為兩條Mobius帶的“粘合”邊沿，從而形成一個(gè)Klein瓶。

圖3 生成Klein瓶的基本部件

2 數(shù)學(xué)描述

平面上一條連續(xù)曲線(xiàn)可以用如下參數(shù)方程表示：

x=x(t),y=y(t)(0≤t≤T)，

(1)

值得注意的是：用參數(shù)方程表示曲線(xiàn)時(shí)，以參數(shù)t從小到大(或從大到小)取值，隱示曲線(xiàn)段具有“方向”。

假定C為平面上一條閉環(huán)，L為位于C內(nèi)部的一條簡(jiǎn)單曲線(xiàn)，其參數(shù)方程分別為

C:x=φ(t),y=ψ(t)(0≤t≤T)；

L:x=φ0(τ),y=ψ0(τ)(0≤τ≤T0)。

(2)

我們先看平面上一個(gè)閉環(huán)與環(huán)內(nèi)部一點(diǎn)如何形成三維空間中一條閉環(huán)。

三維閉環(huán)：對(duì)于平面上C閉環(huán)，以及環(huán)內(nèi)部任意一點(diǎn)P0(a,b)，如下參數(shù)方程構(gòu)成三維空間一條閉環(huán)：

(3)

當(dāng)函數(shù)z(t)不是一個(gè)常函數(shù)時(shí)，存在一個(gè)平面π，該閉環(huán)投影到平面π上有交點(diǎn)。即該閉環(huán)在三維空間是簡(jiǎn)單封閉曲線(xiàn)(圖4)，當(dāng)投影到某個(gè)二維空間上后，可能不再是簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)。

圖4 閉環(huán)內(nèi)一點(diǎn)與閉環(huán)生成的三維閉環(huán)

Mobius帶：對(duì)于平面上C閉環(huán)，以及位于閉環(huán)C內(nèi)部的簡(jiǎn)單曲線(xiàn)段

L:x=φ0(τ),y=ψ0(τ)(0≤τ≤T0)。

(4)

記簡(jiǎn)單曲線(xiàn)段起始點(diǎn)(φ0(0),ψ0(0))為A,終止點(diǎn)(φ0(T0),ψ0(T0))為B。動(dòng)點(diǎn)P(φ0(τ),ψ0(τ))從始點(diǎn)A開(kāi)始，沿曲線(xiàn)C0連續(xù)變動(dòng)到達(dá)終止點(diǎn)B。每個(gè)動(dòng)點(diǎn)P(φ0(t),ψ0(t))與閉環(huán)C分別作三維空間一條閉環(huán)：

(5)

由此生成一條Mobius帶(圖5)。

圖5 閉環(huán)內(nèi)曲線(xiàn)段與閉環(huán)生成的Mobius帶

離散化曲線(xiàn)段L參數(shù)方程的自變量區(qū)間[0,T0]:τ0=0<τ1<…<τn=T0。產(chǎn)生曲線(xiàn)L上離散點(diǎn)P0,P1,…,Pn(Pi=(φ0(τi),ψ0(τi),0≤i≤n)。對(duì)應(yīng)的三維閉環(huán)為CP0,CP1,…,CPn。生成的Mobius帶可以視為由這樣的閉環(huán)序列連續(xù)(掃描)生成。

3 Klein瓶的生成方法

如圖3所示，在平面上給定一個(gè)較大閉環(huán)C(大環(huán)), 在大環(huán)C內(nèi)部給定另一個(gè)較小閉環(huán)C0(小環(huán))。將小環(huán)C0切分為兩條有向曲線(xiàn)段：AB和BA。兩條有向曲線(xiàn)段首尾相接。

按上述原理，曲線(xiàn)段AB與大環(huán)C生成一條Mobius帶(左帶)；曲線(xiàn)段BA與大環(huán)C生成另一條Mobius帶(右?guī)?。由A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)生成的三維環(huán)線(xiàn)作為兩條Mobius帶的“粘合”邊沿。于是，由AB和BA分別與C閉環(huán)生成的兩條Mobius帶“粘合”成一個(gè)Klein瓶。

從方向上看：由A到B生成左帶；由B到A生成右?guī)?。以A、B點(diǎn)“粘合”，這相當(dāng)于動(dòng)點(diǎn)P在小環(huán)C0上從A點(diǎn)出發(fā)變動(dòng)一圈后回到A。

圖6中Klein瓶是取圓環(huán)生成的，其中：

圖6 Klein瓶及其Mobius左帶和Mobius右?guī)?/p>

C:x=2sin(t),y=2cos(t)(0≤t≤2π)；

C0:x=sin(τ),y=cos(τ)(0≤τ≤2π)。

(6)

左帶對(duì)應(yīng)單位圓C0的下半部分(曲線(xiàn))，右?guī)?duì)應(yīng)單位圓C0的上半部分(曲線(xiàn))。

4 討論

本文給出了Klein瓶的一種簡(jiǎn)單生成方法，其基本原理來(lái)源于平面上一個(gè)閉環(huán)與位于該閉環(huán)內(nèi)的一條曲線(xiàn)段可以生成一條Mobius帶。在作三維閉環(huán)時(shí)，XY平面上的(x,y)坐標(biāo)是取曲線(xiàn)上的點(diǎn)P到閉環(huán)C上的點(diǎn)Q的中點(diǎn)，z-坐標(biāo)是取P與Q之間的距離。其實(shí)，(x,y)坐標(biāo)可以取P、Q連線(xiàn)上任一個(gè)固定比例點(diǎn)λP+(1-λ)Q(0<λ<1)，z-值可以取為P與Q之間的距離d的一個(gè)單調(diào)非負(fù)函數(shù)都可以。

其次，兩個(gè)閉環(huán)C與C0之間的關(guān)系是取小環(huán)C0在大環(huán)C內(nèi)部。其實(shí)，C與C0之間的關(guān)系還可以取成“相交”“相離”等關(guān)系。

相交(圖7)：

圖7 閉環(huán)相交產(chǎn)生的曲面

C0:x2+y2=1，C:(x-1)2+y2=1。

相離(圖8)：

圖8 閉環(huán)相離產(chǎn)生的曲面

C0:x2+y2=1，C:(x-3)2+y2=1。

當(dāng)然，也可以在三維空間中考慮C與C0，以及不同位置關(guān)系，也許對(duì)理解某些物理現(xiàn)象有幫助。正如：太陽(yáng)、地球和月亮的運(yùn)行軌道、位置關(guān)系、引力函數(shù)、引力場(chǎng)等。太陽(yáng)、地球和月亮沿各自軌道運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的引力場(chǎng)所模擬圖可參見(jiàn)相關(guān)文獻(xiàn)。

Mobius帶和Klein瓶在拓?fù)鋵W(xué)中是一類(lèi)簡(jiǎn)單而有趣的幾何類(lèi)型，作為單側(cè)曲面尚有一些有意思的問(wèn)題值得研究。如：基于Mobius帶和Klein瓶定義函數(shù)的曲面積分等。涉及積分，首先得將曲面的表達(dá)式弄清楚。本文給出的Mobius帶和Klein瓶的生成有助于深入研究這方面的問(wèn)題。