劉麗麗，姜偕富，尹宗明，郭娜娜

(杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

時(shí)滯現(xiàn)象普遍存在于網(wǎng)絡(luò)控制、化工、生物等實(shí)際應(yīng)用中，是造成系統(tǒng)性能下降或不穩(wěn)定的主要原因之一[1]。因此，時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析受到了眾多學(xué)者的關(guān)注。過去的二十多年中，廣大學(xué)者提出了許多研究時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，并取得了豐碩的研究成果[2-11]。例如，文獻(xiàn)[3]研究具有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，采用一階、二階零等式，取得較好結(jié)果，但計(jì)算較為復(fù)雜；文獻(xiàn)[5-6]研究一類線性時(shí)滯系統(tǒng)的區(qū)間時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性問題，用Wirtinger積分不等式和凸組合的方法處理積分項(xiàng)，得到保守性較小的穩(wěn)定性判據(jù)；文獻(xiàn)[7]分析了時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，構(gòu)造一種新的時(shí)滯乘積型L-K泛函，得到較好的結(jié)果。但是，上述文獻(xiàn)只考慮時(shí)變時(shí)滯的變化范圍和時(shí)滯變化率的信息，忽略了時(shí)滯的隨機(jī)特性。事實(shí)上，時(shí)變時(shí)滯往往是隨機(jī)的，如網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)中的誘導(dǎo)時(shí)滯。文獻(xiàn)[9]研究了具有隨機(jī)輸入時(shí)滯的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及控制器設(shè)計(jì)問題，采用自由權(quán)矩陣處理積分交叉項(xiàng)，取得較好結(jié)果；文獻(xiàn)[10]研究了具有隨機(jī)輸入時(shí)滯的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的觀測器控制問題，得到保守性較小的穩(wěn)定性準(zhǔn)則；文獻(xiàn)[11]研究了具有隨機(jī)時(shí)滯的多區(qū)間時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，利用Finsler’s引理，得出較好的結(jié)果。然而，文獻(xiàn)[9-10]中僅考慮時(shí)滯下界為零的情況，文獻(xiàn)[11]只采用Jensen不等式和凸組合的方法來處理積分項(xiàng)，仍有較大的改進(jìn)空間。本文研究一類具有隨機(jī)時(shí)滯的區(qū)間時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，構(gòu)造一個(gè)新的增廣型L-K泛函并充分利用時(shí)滯信息和區(qū)間時(shí)滯概率分布信息，給出保守性較小的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。

1 系統(tǒng)模型

假設(shè)線性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)模型如下：

(1)

式中，A，Ad為已知的具有適當(dāng)維數(shù)的常矩陣；x(t)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量；h(t)為系統(tǒng)的時(shí)滯函數(shù)且滿足h1≤h(t)≤h3，h1和h3為已知標(biāo)量；φ(t)為系統(tǒng)的初始值。

假設(shè)時(shí)滯h(t)在[h1,h2]和(h2,h3]上的概率分布是已知的。為了有效利用時(shí)滯的概率分布信息，定義如下2個(gè)隨機(jī)事件：

Ω1∶h(t)∈[h1,h2], Ω2∶h(t)∈(h2,h3]

引入1個(gè)隨機(jī)變量

定義2個(gè)函數(shù)h1∶R+→[h1,h2]和h2∶R+→(h2,h3]，則有

不難發(fā)現(xiàn)，δ(t)服從伯努利分布，滿足

Prob={δ(t)=1}=Prob{h1≤h(t)≤h2}=E{δ(t)}=δ,

Prob={δ(t)=0}=Prob{h2

其中δ∈[0,1]，δ和1-δ分別表示時(shí)滯h(t)在區(qū)間[h1,h2]和(h2,h3]上的概率。

綜上，通過引入隨機(jī)變量δ(t)和隨機(jī)輸入時(shí)變時(shí)滯h1(t)、h2(t)后，可以將系統(tǒng)(1)改寫為：

(2)

2 主要結(jié)果

(3)

(4)

(5)

Ξ22=-Q1-R1-4R2，Ξ23=-2R2-U11-U12-U21-U22，Ξ24=U11-U12+U21-U22，

h12=h2-h1，h23=h3-h2。

證明構(gòu)造如下L-K泛函

V(xt)=V1(xt)+V2(xt)+V3(xt)+V4(xt)

(6)

為了簡化后續(xù)的推導(dǎo)過程，定義ξT(t)和ei分別如下:

沿系統(tǒng)軌跡(2)對(duì)V(xt)作無窮小算子

(7)

式中，

(8)

(9)

(10)

(11)

引入如下零等式

(12)

分別對(duì)式(10)中的R1相關(guān)積分項(xiàng)使用Jensen不等式處理，對(duì)R2和R3相關(guān)的積分項(xiàng)使用文獻(xiàn)[4]中的引理2.1和文獻(xiàn)[12]中的引理2處理，對(duì)式(11)中的Z相關(guān)的二重積分項(xiàng)使用文獻(xiàn)[13]中的引理2處理，結(jié)合式(7)—(12)，并對(duì)式(7)兩端同時(shí)求期望可得:

(13)

當(dāng)Ξ<0成立時(shí)，存在1個(gè)足夠小的常數(shù)λ>0，使得式(13)小于-λI，即

(14)

采用類似于文獻(xiàn)[14]中的方法，對(duì)任意的t≥0，可得:

(15)

3 數(shù)值示例

使用MATLAB中的LMI工具箱求解定理1中線性矩陣不等式(3)—(5)，求得所允許的最大時(shí)滯上界。選取2個(gè)數(shù)值示例來驗(yàn)證本文所得穩(wěn)定性準(zhǔn)則的有效性。

例1使用文獻(xiàn)[5]中系統(tǒng)模型

分別采用文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[6]及本文方法求出所允許的最大時(shí)滯上界h3，結(jié)果如表1所示。

表1 不同的h1下，最大允許時(shí)滯上界h3

從表1可以看出：根據(jù)本文定理1得到的時(shí)滯上界比文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[6]中的大，雖然本文的決策變量數(shù)比文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[6]多，但是所得結(jié)果較好，說明本文所用方法最終得出的穩(wěn)定性準(zhǔn)則具有較小的保守性。

例2使用文獻(xiàn)[11]中系統(tǒng)模型

時(shí)滯函數(shù)h(t)在2個(gè)區(qū)間上的概率分布是已知的。當(dāng)h2=0.1時(shí)，對(duì)不同的h1和δ求得時(shí)滯上界h3，結(jié)果如表2所示。

表2 當(dāng)h2=0.1時(shí)，不同的h1和δ下所允許的最大時(shí)滯上界h3

從表2可以看出：當(dāng)時(shí)滯下界h1不變時(shí)，增大時(shí)滯在區(qū)間[h1,h2]上的概率δ，時(shí)滯上界h3隨著概率增大而增大；當(dāng)區(qū)間[h1,h2]上的時(shí)滯概率δ不變時(shí)，增大下界h1的值，時(shí)滯上界h3隨著h1的增大而增大。通過與文獻(xiàn)[11]中的推論1對(duì)比，在h1,h2,δ取值相同的情況下，本文得到的時(shí)滯上界較大，驗(yàn)證了本文采用方法的有效性。

通過上面2個(gè)例子可知：時(shí)滯上界h3的取值范圍不僅與時(shí)滯下界大小有關(guān)，還與時(shí)滯概率δ分布有關(guān)。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)一類具有隨機(jī)時(shí)滯的區(qū)間時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題進(jìn)行研究。與以往文獻(xiàn)不同的是，本文不僅考慮了時(shí)滯信息，還考慮了時(shí)滯在區(qū)間上的概率分布。研究結(jié)果表明，在充分考慮了時(shí)滯在區(qū)間上的概率分布情況下，得到的最大時(shí)滯上界比僅考慮時(shí)滯信息情況下的大，說明本文所得結(jié)果具有較小的保守性。但是，本文只考慮2個(gè)概率區(qū)間，下一步將對(duì)多個(gè)概率區(qū)間的時(shí)滯系統(tǒng)保守性問題展開研究。