秦 天，項(xiàng)鐵銘，李蓓蓓

(杭州電子科技大學(xué)電子信息學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

飛蛾撲火優(yōu)化(Moth-Flame Optimizer，MFO)算法是由澳大利亞學(xué)者S.Mirjalili提出的一種群智能優(yōu)化算法[1]。算法的設(shè)計(jì)來(lái)源于飛蛾圍繞火焰的飛行行為，在諸多工程優(yōu)化領(lǐng)域得到驗(yàn)證。例如，王光等[2]提出一種基于折射原理反向?qū)W習(xí)的飛蛾撲火算法，引入歷史最優(yōu)火焰平均值、反向?qū)W習(xí)策略和折射操作，使火焰間的信息能夠互相交流并具備跳出局部解的能力；S.Yasir等[3]以MFO算法為中心，提出聚類(lèi)算法來(lái)優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題；O.Ceylan等[4]使用MFO算法對(duì)電容器尺寸和分配進(jìn)行建模，改善了電壓分布問(wèn)題；N.Muangkote等[5]使用MFO算法來(lái)優(yōu)化衛(wèi)星圖像的最優(yōu)多級(jí)閾值。

隨著無(wú)線(xiàn)通信技術(shù)的廣泛應(yīng)用，微帶天線(xiàn)的理論和技術(shù)日益成熟。微帶天線(xiàn)具有剖面薄、體積小、重量輕、成本低和易集成等優(yōu)勢(shì)，廣泛應(yīng)用于各種移動(dòng)和小型化通信設(shè)備[6]。然而，微帶天線(xiàn)也存在損耗大、帶寬較窄等缺點(diǎn)，所以，采用優(yōu)化算法設(shè)計(jì)天線(xiàn)較傳統(tǒng)天線(xiàn)設(shè)計(jì)方法更有優(yōu)勢(shì)。本文采用佳點(diǎn)集、越界重置、引力搜索和柯西變異等策略，解決標(biāo)準(zhǔn)算法中尋優(yōu)速度慢、精度低等缺陷，提出一種改進(jìn)的飛蛾撲火算法，最后通過(guò)改進(jìn)算法實(shí)現(xiàn)對(duì)微帶天線(xiàn)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。

1 基礎(chǔ)理論

1.1 標(biāo)準(zhǔn)飛蛾撲火算法

MFO算法中，飛蛾根據(jù)火焰位置，采取橫向定位機(jī)制螺旋圍繞火焰飛行，先依靠火焰位置進(jìn)行全局搜索，然后逐漸減少火焰數(shù)量進(jìn)行深度挖掘，通過(guò)動(dòng)態(tài)調(diào)整火焰數(shù)量和自適應(yīng)路徑搜索系數(shù)來(lái)平衡全局和局部的開(kāi)發(fā)能力。

假設(shè)飛蛾的位置為M，火焰的位置為F，飛蛾圍繞火焰飛行的位置更新函數(shù)為：

S(Mi,Fi)=Dijeb δcos(2πδ)+Fj

(1)

式中，Dij為第i個(gè)飛蛾到第j個(gè)火焰的距離，Dij=|Fj-Mi|，b=0.5，其大小決定螺旋軌跡形狀的大小，δ為1個(gè)屬于[-1,1]的隨機(jī)數(shù)。

火焰數(shù)量隨著迭代次數(shù)增加而線(xiàn)性遞減，公式如下：

(2)

式中，N為初始火焰數(shù)量，T為迭代總數(shù)，l為當(dāng)前迭代數(shù)。

2 改進(jìn)飛蛾撲火算法

2.1 佳點(diǎn)集初始化

標(biāo)準(zhǔn)飛蛾撲火算法采用隨機(jī)的方法來(lái)初始化種群，盲目的初始化行為直接影響解的質(zhì)量，導(dǎo)致每次優(yōu)化的結(jié)果出現(xiàn)2個(gè)數(shù)量級(jí)的浮動(dòng)，甚至直接丟失較優(yōu)解。文獻(xiàn)[7]將佳點(diǎn)集理論和蜻蜓算法結(jié)合來(lái)改進(jìn)算法，使種群的分布有了很大的改善，尋優(yōu)效果取得顯著提升。為了彌補(bǔ)標(biāo)準(zhǔn)MFO算法中初始化的不足，本文引入文獻(xiàn)[8]提出的佳點(diǎn)集理論，將佳點(diǎn)集理論與飛蛾撲火算法結(jié)合。Gs為S維歐式空間中的單位立方體，且r∈Gs，則有：

(3)

若式(4)偏差滿(mǎn)足

φ(n)=C(r,ε)n-1+ε

(4)

2.2 越界重置策略

位于邊界上的飛蛾容易在之后的迭代中飛出邊界產(chǎn)生無(wú)效解[9]，標(biāo)準(zhǔn)飛蛾撲火算法對(duì)越界飛蛾的處理方法是將越界個(gè)體拉回邊界[10]。本文在處理越界飛蛾時(shí)，將處于解空間之外的飛蛾進(jìn)行隨機(jī)重置，重新進(jìn)行解空間的探索，提高算法效率。改進(jìn)的個(gè)體位置更新公式如下：

Xnew=l+C×(u-l)

(5)

式中，u和l分別為解空間的上界和下界，C∈[0,1]是一個(gè)隨機(jī)變量。

2.3 混合引力搜索算法

引力搜索算法(Gravitational Search Algorithm, GSA)[11]的主要機(jī)制是不同粒子有不同的質(zhì)量，適應(yīng)度值越小的粒子其質(zhì)量越大，根據(jù)粒子間的距離與質(zhì)量決定引力關(guān)系。本文算法將GSA算法與MFO結(jié)合，在引力搜索過(guò)程中，通過(guò)火焰之間由質(zhì)量(適應(yīng)度值)引起的相互引力產(chǎn)生信息傳遞，對(duì)火焰位置進(jìn)行改變，該運(yùn)動(dòng)遵循萬(wàn)有引力定律。

適應(yīng)度值間接代表火焰的慣性質(zhì)量，火焰慣性質(zhì)量越大，吸引力越強(qiáng)，并且火焰運(yùn)動(dòng)變慢，表明火焰附近有更優(yōu)的解。設(shè)火焰i在t時(shí)刻的質(zhì)量為Mi(t)，火焰j對(duì)火焰i之間的萬(wàn)有引力定義為：

(6)

式中，火焰之間的歐式距離用Rij(t)表示，為了防止式中分母為0，加入一個(gè)非常小的ε常數(shù)，G(t)為t時(shí)刻的引力系數(shù)。式(6)為標(biāo)準(zhǔn)引力搜索算法對(duì)應(yīng)的飛蛾撲火模型公式，為了找到下一代合適的火焰?zhèn)€體位置，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)引力系數(shù)進(jìn)行修改，重新定義的公式如下：

(7)

為了在迭代后期平衡算法的探索能力和開(kāi)發(fā)能力，本文加入質(zhì)量衰減算子γi(t)，質(zhì)量更新為：

(8)

式中，f(Fbest)表示目前最佳適應(yīng)度值，f(Fi)表示種群中火焰?zhèn)€體的適應(yīng)度值。當(dāng)飛蛾適應(yīng)度值較差時(shí)，γi(t)小于1，進(jìn)而降低火焰在群體中的權(quán)重，使目標(biāo)向權(quán)重大的火焰前進(jìn)。

假設(shè)火焰的初始速度為0，那么火焰i的位置更新公式如下：

(9)

式中，randj為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)，F(xiàn)i(t)為當(dāng)前火焰的位置。

2.4 柯西變異策略

標(biāo)準(zhǔn)MFO算法中，算法本身不具備跳出局部最優(yōu)的能力，導(dǎo)致算法早熟，收斂精度差。本文采用一種柯西變異的方法[12]，當(dāng)?shù)^(guò)程中，飛蛾的位置停滯不前時(shí)，個(gè)體進(jìn)行柯西變異，繼續(xù)向全局最優(yōu)靠近，此時(shí)飛蛾群體中最優(yōu)個(gè)體不進(jìn)行變異以保證當(dāng)前最優(yōu)不被丟失。

柯西變異在每次迭代計(jì)算時(shí)，通過(guò)柯西分布函數(shù)產(chǎn)生1個(gè)均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的柯西變異矩陣，將得到的結(jié)果點(diǎn)乘待變異飛蛾的每一維作為更新步長(zhǎng)。本文在式(1)基礎(chǔ)上引入變異公式：

Xnew=ω×Cauchy(1,0)×[Dieb δcos(2πδ)+Fj]

(10)

式中，Cauchy(1,0)表示γ=1,x0=0的柯西分布，F(xiàn)j為待變異飛蛾的位置，ω影響柯西變異的范圍，ω更新公式如下：

ω=α(ub-lb)

(11)

式中，α為一個(gè)隨迭代次數(shù)變化而變化的參數(shù)，ub和lb分別表示解空間的上界和下界?？梢钥闯觯w蛾進(jìn)行柯西變異的范圍隨迭代次數(shù)的增加而增加，所以，可以在算法停滯期為飛蛾擴(kuò)展更大的搜索空間，增加種群的多樣性。

3 設(shè)計(jì)實(shí)例

本文通過(guò)窄縫開(kāi)槽微帶天線(xiàn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，驗(yàn)證改進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)MFO算法后的效果。窄縫開(kāi)槽微帶天線(xiàn)設(shè)計(jì)要求為：天線(xiàn)在4.7～5.3 GHz頻段內(nèi)的回波損耗盡可能低，并且端口隔離度應(yīng)在-35 dB以下。因此，將待優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)設(shè)置為：

(12)

(13)

(14)

式中，S11i和S22i分別為端口1、端口2在第i個(gè)頻率采樣點(diǎn)的回波損耗，k為3，即每個(gè)端口在4.7 GHz，5.0 GHz和5.3 GHz頻率處的采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)回波損耗在-10 dB以下時(shí)，適應(yīng)度函數(shù)采用回波損耗實(shí)際值，有利于找到更優(yōu)解，當(dāng)回波損耗在-6～-10 dB之間時(shí)，解相對(duì)較差，因此給適應(yīng)度函數(shù)賦0，令其評(píng)價(jià)結(jié)果變差，小于-6 dB時(shí)，結(jié)果不理想，拋棄該解，因此適應(yīng)度值很大。S21i為采樣點(diǎn)i處的端口隔離度值，μ為懲罰因子，當(dāng)端口隔離度較差時(shí)，應(yīng)將適應(yīng)度值變差，故μ的值應(yīng)盡量大，經(jīng)測(cè)試這里設(shè)為103較合適。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

4.1 算法對(duì)比分析

本文在Windows10 R5-3500U，MATLAB R2019b環(huán)境下，選用表1中的3個(gè)測(cè)試函數(shù)，分別對(duì)蜻蜓算法(Dragonfly Algorithm，DA)、標(biāo)準(zhǔn)飛蛾撲火算法MFO和本文提出的改進(jìn)飛蛾撲火算法MSMFO進(jìn)行測(cè)試對(duì)比，3種算法均采用相同設(shè)置：維度D=10，種群數(shù)40，迭代次數(shù)500次，對(duì)每個(gè)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行30次獨(dú)立運(yùn)行。

運(yùn)行后的適應(yīng)度值如表2所示。

表2 不同算法測(cè)試結(jié)果對(duì)比

從表2可以看出，在整個(gè)測(cè)試過(guò)程中，DA算法性能較差，收斂不足且易陷入局部最優(yōu)，而MFO算法優(yōu)于DA算法，能在收斂精度和速度上優(yōu)于DA算法，MSMFO算法在3個(gè)測(cè)試函數(shù)中均取得相對(duì)滿(mǎn)意的結(jié)果。

圖1 開(kāi)槽微帶天線(xiàn)結(jié)構(gòu)

4.2 窄縫開(kāi)槽微帶天線(xiàn)

文獻(xiàn)[6]采用傳統(tǒng)天線(xiàn)設(shè)計(jì)方式設(shè)計(jì)了一款雙端口開(kāi)槽天線(xiàn)，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。為了構(gòu)造具有高端口隔離度的緊湊型縫隙天線(xiàn)，端口1為同軸饋電，端口2為共面波導(dǎo)饋電，并將開(kāi)放式的縫隙嵌入到共面波導(dǎo)的內(nèi)導(dǎo)體中。該天線(xiàn)工作于5 GHz頻段，介質(zhì)基板采用FR4環(huán)氧樹(shù)脂板，相對(duì)介電常數(shù)ε=2.2，厚度h=1.8 mm，輻射貼片和基板的尺寸相同，均為60 mm×30 mm，輻射貼片的右側(cè)中心處開(kāi)有一開(kāi)端開(kāi)放的矩形縫隙，長(zhǎng)L2=19 mm，寬L2=19 mm；輻射貼片的左側(cè)開(kāi)有2個(gè)一端開(kāi)放的L形縫隙，尺寸大小相同，且關(guān)于矩形縫隙軸對(duì)稱(chēng)設(shè)置。L形縫隙的水平臂長(zhǎng)L2=19 mm，寬W2=1 mm，垂直臂長(zhǎng)L3+W2=19 mm，寬W3=3 mm，與邊界間距WV=8 mm。

4.3 實(shí)例分析

采用改進(jìn)算法MSMFO對(duì)天線(xiàn)進(jìn)行優(yōu)化，天線(xiàn)尺寸參數(shù)作為待優(yōu)化目標(biāo)，設(shè)置種群規(guī)模為30，空間維度為5，迭代次數(shù)為500次，經(jīng)算法尋優(yōu)迭代后得到參數(shù)L1,L2,L3,WV,W2與優(yōu)化前數(shù)據(jù)對(duì)比，結(jié)果如表3所示。

表3 算法優(yōu)化結(jié)果

將改進(jìn)算法優(yōu)化后的數(shù)據(jù)、文獻(xiàn)[6]數(shù)據(jù)和MFO算法優(yōu)化后的數(shù)據(jù)進(jìn)行HFSS建模仿真，得到端口1和端口2的回波損耗曲線(xiàn)如圖2所示。

由圖2可看出，端口1中，改進(jìn)算法優(yōu)化后的回波損耗在5 GHz附近有所降低，達(dá)到-26.933 1 dB，比文獻(xiàn)[6]的回波損耗好很多，并且遠(yuǎn)優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)MFO算法，-10 dB和-20 dB處的帶寬均有所展寬，中心頻率處的回波損耗有6 dB左右的下降。端口2中，改進(jìn)算法的回波損耗達(dá)到約-31.537 6 dB，在-20 dB處的帶寬較文獻(xiàn)[6]有明顯改善，總體上，改進(jìn)算法的回波損耗和帶寬比文獻(xiàn)[6]有很大的改善，并且優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)MFO算法優(yōu)化的結(jié)果。改進(jìn)算法優(yōu)化后的天線(xiàn)在5 GHz諧振頻率下的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射圖如圖3所示，H面近似為橢圓形，E面為“8”字形，天線(xiàn)全向性較好。

圖3 端口的遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖

雙端口天線(xiàn)在優(yōu)化過(guò)程中雖然可以取得較好的方向圖效果，但是仍需要考慮一個(gè)重要的因素即端口隔離度，由于天線(xiàn)的一個(gè)端口嵌入到另一端口的對(duì)稱(chēng)開(kāi)口槽臂空隙中，因此極易導(dǎo)致端口間的干擾，隔離度降低進(jìn)而影響天線(xiàn)性能。文獻(xiàn)[6]數(shù)據(jù)、MFO算法和改進(jìn)算法優(yōu)化后的天線(xiàn)隔離度對(duì)比如圖4所示。由圖4可知，天線(xiàn)在5 GHz處，文獻(xiàn)[6]數(shù)據(jù)中的隔離度值在-26 dB附近，MFO算法優(yōu)化后的結(jié)果有所提升，而改進(jìn)算法優(yōu)化后的值可以達(dá)到-40.5 dB左右，降低了14.5 dB，有更高的端口隔離度，天線(xiàn)具備更好的輻射性能。

圖4 天線(xiàn)端口隔離度對(duì)比曲線(xiàn)

5 結(jié)束語(yǔ)

本文采用佳點(diǎn)集、越界重置策略、引力搜索算法和柯西變異策略改進(jìn)了標(biāo)準(zhǔn)飛蛾撲火算法，并將改進(jìn)算法應(yīng)用于窄縫微帶天線(xiàn)的優(yōu)化，一定程度上提升了天線(xiàn)的性能，解決了傳統(tǒng)優(yōu)化方法低效率和低精度的問(wèn)題。然而，改進(jìn)算法在尋優(yōu)迭代時(shí)耗費(fèi)的時(shí)間不可忽略，后期研究將考慮采用代理模型和改進(jìn)算法相結(jié)合的方式，發(fā)揮精度和速度的優(yōu)勢(shì)的同時(shí)，提升算法的尋優(yōu)效率。