柯曉露

(福建教育學(xué)院理科研修部 福建 福州 350001)

陳藝君

(漳浦道周中學(xué) 福建 漳州 363200)

詹國(guó)榮

(漳浦縣教師進(jìn)修學(xué)校 福建 漳州 363209)

在外界條件維持不變的情況下，許多物理事件經(jīng)過(guò)發(fā)展變化最終會(huì)趨向某種穩(wěn)定狀態(tài)，如空中擺動(dòng)的懸球，空中下落的物體，在平面上滑動(dòng)的物體，汽車恒定功率下的運(yùn)行，電容器的充放電，導(dǎo)電桿在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)等等，這些過(guò)程終究會(huì)趨向一種穩(wěn)定的狀態(tài)：或靜止，或勻速運(yùn)動(dòng)，或勻變速運(yùn)動(dòng)，或電流為零，或電流恒定，或電流均勻增加.在從開(kāi)始至達(dá)到穩(wěn)定的過(guò)程中，所經(jīng)歷的時(shí)間有的是有限的，有的卻是漫長(zhǎng)無(wú)限的，前者所達(dá)到的穩(wěn)定狀態(tài)通常叫穩(wěn)態(tài)，后者在漫長(zhǎng)的時(shí)間過(guò)程中，逐漸趨近穩(wěn)定狀態(tài)而又永遠(yuǎn)不能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的過(guò)程通常稱為暫(漸)態(tài)過(guò)程[1].在中學(xué)物理教學(xué)中，教師經(jīng)常將這兩種過(guò)程混淆，造成對(duì)學(xué)生的誤導(dǎo)，甚至經(jīng)常編制錯(cuò)誤的試題進(jìn)行考查，影響考試的信度效能，干擾學(xué)生正確的思維，壓抑教師的專業(yè)進(jìn)取，給科學(xué)態(tài)度與科學(xué)責(zé)任的全面貫徹落實(shí)帶來(lái)影響.本文通過(guò)對(duì)一道省質(zhì)檢試題的分析，試圖：

(1)例舉被誤當(dāng)為穩(wěn)態(tài)的暫態(tài)現(xiàn)象；

(2)探究雙導(dǎo)電桿在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，給判別兩種不同過(guò)程予以示例；

(3)分析錯(cuò)誤對(duì)教學(xué)的影響，警示同行注意.

1 對(duì)2020年福建省高三畢業(yè)班質(zhì)檢理綜第21題的商榷

【原題】如圖1所示，水平面內(nèi)固定有兩根平行的粗糙長(zhǎng)直金屬導(dǎo)軌，兩根相同的導(dǎo)體棒AB，CD置于導(dǎo)軌上并與導(dǎo)軌垂直，整個(gè)裝置處于豎直方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中.從t=0時(shí)開(kāi)始，對(duì)AB棒施加一個(gè)與導(dǎo)軌平行的水平外力F，使AB棒從靜止開(kāi)始向右做加速度大小為a0的勻加速直線運(yùn)動(dòng).導(dǎo)軌電阻不計(jì)，兩棒均與導(dǎo)軌接觸良好，最大靜摩擦力近似等于滑動(dòng)摩擦力.下列關(guān)于CD棒的速度v、加速度a、安培力F安和外力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系圖像可能正確的是( )

圖1 桿在磁場(chǎng)中受力運(yùn)動(dòng)

命題者提供的參考答案是B,D.

顯然，從提供的參考答案看，命題者認(rèn)為CD桿經(jīng)歷一段有限的時(shí)間(如選項(xiàng)B中的t1)后，將會(huì)達(dá)到加速度恒定的穩(wěn)態(tài)；加在AB桿上的外力經(jīng)歷一定的時(shí)間(如選項(xiàng)D中的t1)后，其大小也可達(dá)到恒定的穩(wěn)態(tài).但事實(shí)是否如此呢？我們有必要對(duì)其進(jìn)行定量探究，以辨真?zhèn)?

對(duì)AB和CD桿進(jìn)行受力分析，應(yīng)用牛頓第二定律和電磁感應(yīng)定律，有

AB桿

F-μmg-BIL=ma0

(1)

CD桿

BIL-f2=ma2

(2)

回路電流

(3)

式中m,R,μ為桿的質(zhì)量、電阻及其與導(dǎo)軌間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)，L為導(dǎo)軌間的距離，a2,v2為CD桿的加速度、速度.

1.1 CD桿的運(yùn)動(dòng)速度v2及加速度a2的計(jì)算

起初CD桿保持靜止.AB桿勻加速運(yùn)動(dòng)，其速度v1隨時(shí)間增大，產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢(shì)也增大，回路中的感生電流隨之增加，CD桿受到的安培力也隨之增加，但其大小在小于最大靜摩擦力μmg時(shí)，CD桿一直保持靜止，這段時(shí)間：a2=0，v2=0，代入式(2)和式(3)有

當(dāng)f2=μmg時(shí)，得

也就是說(shuō)，t在[0,t0]內(nèi)，v2=0，a2=0.

(2)當(dāng)t≥t0時(shí)，CD桿開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，其f2=μmg，a2，v2不再為零，將f2的值及式(3)代入式(2)并寫(xiě)成微分式

即

(4)

式(4)是變量不可分離的一階線性微分方程，無(wú)法直接進(jìn)行積分獲取其解，只能先通過(guò)其對(duì)應(yīng)的齊次方程求特解，再將帶有積分常數(shù)的特解通過(guò)參數(shù)變換求得該方程的通解.

(5)

對(duì)照式(4)，這里的

(6)

(7)

因?yàn)?/p>

d[texp(λt)]=exp(λt)dt+tdexp(λt)=

exp(λt)dt+λtexp(λt)dt

所以

λtexp(λt)dt=d[texp(λt)]-exp(λt)dt

因此，式(7)第一項(xiàng)為

(8)

式(7)第二項(xiàng)

(9)

將式(8)和式(9)代回式(7)得

(10)

將式(6)、(10)代回通式(5)得式(4)的通解為

(11)

(12)

(13)

代回上式，由此求得CD桿的速度v2為

(14)

(15)

起始時(shí)間歸零后的式(15)比式(14)更簡(jiǎn)潔，物理意義更顯而易見(jiàn)，式(15)表征CD桿開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后，其速度v2隨時(shí)間t′的變化情況，該式可看成由兩部分的分速度相加合成，即

v2=va+vb

(16)

其中

將va和vb及兩者合成后的v2畫(huà)成v-t圖像，如圖2所示.

圖2 va,vb,v2隨時(shí)間t′的變化圖像

由圖2可見(jiàn)：

(1)CD桿的速度v2隨時(shí)間t′變化的圖像永遠(yuǎn)不可能是一條直線，而是隨著時(shí)間的推移，逐步無(wú)限地迫近直線va.

至此，我們清楚看出，CD桿的速度v2隨時(shí)間t′的變化不可能達(dá)到穩(wěn)態(tài)，而是一種無(wú)限接近穩(wěn)態(tài)的暫態(tài)過(guò)程.

將式(15)對(duì)時(shí)間t′求導(dǎo)得

(17)

利用式(17)畫(huà)出a2-t′圖像，如圖3所示.

圖3 a2-t′圖像

從式(17)及圖3可以看出：a2的大小隨著時(shí)間t′的增加而增加，其值不斷迫近a0，但因增加的速度越來(lái)越慢，永遠(yuǎn)在接近的過(guò)程中而無(wú)法到達(dá)a0，是個(gè)暫態(tài)過(guò)程.

1.2 關(guān)于AB桿所受外力F的計(jì)算

要維持AB桿以加速度a0做勻加速運(yùn)動(dòng)，作用在其上的外力F應(yīng)滿足什么條件呢？

(18)

顯然，這段時(shí)間F的大小必須隨t均勻增加.

(19)

式(19)表征t′≥0之后，外力F隨時(shí)間變化的規(guī)律.同樣將式(19)看成由兩部分的力合成：F=F1+F2.其中F1=2(ma0+μmg)，這是一大小恒定的力，其物理意義非常明顯，是用于克服兩桿所受的摩擦及獲得相同的加速度a0所需的

這是與F1方向相反的力，其物理意義反映了CD桿在趨向加速度a0時(shí)是遲滯的.在尚未達(dá)到a0時(shí)，外力F自然要在F1的基礎(chǔ)上扣除遲滯部分(F2)，指數(shù)部分是遲滯因子，反映CD桿加速度距目標(biāo)a0的滯后程度，在這里，物理學(xué)的美體現(xiàn)的淋漓盡致，每個(gè)物理公式似乎都在演繹著自然的歷程，述說(shuō)宇宙之道.

F，F(xiàn)1，F(xiàn)2隨時(shí)間t,t′的變化規(guī)律可畫(huà)成圖像，如圖4所示.

圖4 F,F1,F2隨時(shí)間t,t′的變化圖像

從式(19)及圖4均可見(jiàn)：作用在AB桿上的外力F一直隨著時(shí)間的增加而無(wú)限接近恒定值2(ma0+μmg)，但永遠(yuǎn)無(wú)法達(dá)到這一穩(wěn)態(tài)的過(guò)程.F的變化也是個(gè)暫態(tài)過(guò)程.至此，我們通過(guò)嚴(yán)格的計(jì)算證明了CD桿的運(yùn)動(dòng)與加在AB桿的外力變化過(guò)程均為暫態(tài)過(guò)程，原題答案中將其當(dāng)成穩(wěn)態(tài)是不妥的.

2 問(wèn)題的啟示

在中學(xué)物理教學(xué)中，將暫態(tài)過(guò)程誤當(dāng)成穩(wěn)態(tài)的現(xiàn)象經(jīng)常出現(xiàn)，如前面提到的汽車恒功率運(yùn)行，空氣中下落物體的運(yùn)動(dòng)，電容器的充放電過(guò)程等常有類似的錯(cuò)誤.造成這一現(xiàn)象的原因是：(1)有的混淆穩(wěn)態(tài)與暫態(tài)的區(qū)別；(2)有的分不清哪些現(xiàn)象可達(dá)到穩(wěn)態(tài)，哪些現(xiàn)象是無(wú)窮漸近的暫態(tài)；(3)有的則是無(wú)原則不加說(shuō)明地忽略兩者的區(qū)別.這些現(xiàn)象對(duì)物理教學(xué)的影響是顯見(jiàn)的.一是不符合客觀事實(shí)，有違科學(xué)真理；二是誤導(dǎo)學(xué)生正確的思維，尤其是對(duì)尖子生，這些學(xué)生憑著他們的聰明才智或通過(guò)提前自學(xué)，完全有可能區(qū)分暫態(tài)與穩(wěn)態(tài)的不同過(guò)程，教師如混淆兩者，勢(shì)必干擾他們正確的思考，打擊其特長(zhǎng)的發(fā)展；三是如出現(xiàn)在試題上，會(huì)影響考試的信度和效能，如是選擇性的考試，還會(huì)嚴(yán)重影響學(xué)生的未來(lái)；四是不利于鼓勵(lì)教師深入鉆研學(xué)科知識(shí)，壓制教師的專業(yè)發(fā)展，長(zhǎng)期以來(lái)，許多練習(xí)、試卷甚至重要的考試出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤，卻鮮有人提出異議，大家習(xí)慣成自然，以訛傳訛，結(jié)果發(fā)展到：“假作真時(shí)真也假”的地步.大家如果抱著人云亦云的態(tài)度，缺乏主動(dòng)探索的意識(shí)和熱情.久而久之，可能對(duì)專業(yè)素養(yǎng)追求就會(huì)越來(lái)越淡薄.

科學(xué)態(tài)度與科學(xué)責(zé)任是我們對(duì)學(xué)生的核心素養(yǎng)要求，作為教師，本身必須先具備這種素養(yǎng)，正所謂給學(xué)生一點(diǎn)亮光，自己必須吸進(jìn)光的海洋，一絲不茍，精益求精，是科學(xué)態(tài)度的精髓.堅(jiān)持真理，實(shí)事求是，不人云亦云，是科學(xué)責(zé)任的重要體現(xiàn).教給學(xué)生的知識(shí)，教師必須先想通弄明，知微見(jiàn)著.也只有這樣，才能切實(shí)落實(shí)好核心素養(yǎng).