安徽省碭山中學(xué) (235300) 葛 敏

對(duì)一些典型的模擬試題進(jìn)行深入探究，追根溯源，找到其蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法，不僅可以提升高三復(fù)習(xí)備考效益，同時(shí)也可為復(fù)習(xí)備考指明方向．本文對(duì)2020年皖北協(xié)作區(qū)的一道解析幾何試題進(jìn)行了探究與推廣，以供參考.

1.試題再現(xiàn)

(1)求橢圓C的方程；

(2)試判斷λ1+λ2是否是定值.若是定值，求出該定值，并給出證明；若不是定值，請(qǐng)說明理由.

本題考查了向量、直線方程、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，通過研究直線與橢圓的位置關(guān)系探索定值問題.試題重點(diǎn)知識(shí)突出，綜合性強(qiáng)，解法靈活，不落俗套，是一道不折不扣的好題，對(duì)高三的復(fù)習(xí)備考具有重要的借鑒意義.

2.解法探究

當(dāng)直線l不是x軸時(shí),設(shè)直線l的方程為x=my+1，當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，不符合題意，故m≠0.

3.探究推廣

3.1 一般性探究

思考:λ1+λ2是定值，該定值與橢圓中a,b,c之間有何關(guān)系.

解析:由題意可知，直線l的斜率存在，設(shè)斜率為k，則直線l的方程為y=k(x-c)，令x=0，可得y=-kc，即E(0,-kc).

3.2 類比探究

將以上在橢圓中的探究方法類比到雙曲線和拋物線中，容易得到以下結(jié)論．

3.3 推廣

以上可以看出，通過對(duì)試題的探究不僅可拓展師生的數(shù)學(xué)視野，還有助于提升師生的學(xué)科素養(yǎng)，另外，清楚了試題的來龍去脈后，可以對(duì)試題觸類旁通、舉一反三，有效提升復(fù)習(xí)備考效率.