江蘇省江都中學 (225200) 潘艷梅

近幾年高考和?？贾?，與線段比有關的解析幾何綜合題頻頻出現(xiàn)，且?？汲Ｐ拢捎谶@類問題綜合性強，考生往往只是簡單地利用兩點間距離公式對線段之比作形式上的轉換,從而使得參數(shù)偏多，運算復雜冗長，許多考生望而生畏，迫于無奈而舍棄.因此，尋找減少運算量的方法和技巧，就顯得非常重要．本文舉例說明解幾中線段比問題常用的幾種轉化策略，供參考．

一、通過投影降維將線段比轉化為同一坐標軸上的射影比

(Ⅰ)求橢圓的方程；

評注：將斜線段AQ,PQ通過投影轉化為豎直線段，將線段比轉化為P,Q縱坐標之間的關系，回避了直接用兩點間距離公式計算AQ、PQ的繁瑣.在解析幾何中，對于復雜的線段比問題，一般將斜線段投影到坐標軸上或與坐標軸平行的直線上，將線段之比轉化為同一坐標軸上的射影之比.這種將二維坐標的數(shù)量關系“降”為一維坐標軸(直線)上的數(shù)量關系來處理的“降維”思想，能回避直接用兩點間距離公式帶來的繁瑣，計算快捷合理.

二、通過向量刻畫將線段之比轉化為共線向量

(Ⅰ)若m=2，求拋物線C的方程；

(Ⅱ)設直線l與拋物線C交于A,B兩點，過A,B兩點分別作拋物線C的準線的垂線，垂足分別為A1,B1,△AA1F,△BB1F的重心分別為G、H.求證：對任意非零實數(shù)m,拋物線C的準線與x軸的交點在以線段GH為直徑的圓外.

解析：(Ⅰ)易得拋物線C的方程為y2=8x.

-m4.

圖1

三、巧用定比分點將線段比轉化為坐標運算

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)當過點P(4,1)的動直線l與橢圓C相交于兩不同點A,B時，在線段AB上取點Q，滿足

評注：將線段等積式化為比例式，將問題轉化為線段之比問題，引入?yún)?shù)λ，巧用定比分點坐標公式寫出動點Q坐標滿足的參數(shù)方程，然后消參得動點Q軌跡方程，回避了直接求弦長，大大縮短了解題過程.利用定比分點來求解決點分二次曲線弦成比例問題，便于操作，簡潔明快.

四、巧用極坐標方程將線段比轉化為極徑比

(Ⅱ)若直線MN在y軸上的截距為2，且

|MN|=5|F1N|，求a,b.

(Ⅱ)由|MN|=

5|F1N|易知|MF1|=

圖2

評注：引入極坐標系，將線段MF1,NF1之比轉化為極徑之比，解法簡潔明快.涉及圓錐曲線焦點弦、焦半徑等相關問題時，若能靈活引入極坐標，使用圓錐曲線的極坐標方程，用極徑的幾何意義解題，會大大簡化計算過程，事半功倍.

五、巧用參數(shù)方程將線段比轉化為參數(shù)比

(Ⅰ)設l的斜率為1，求l的方程；

解析：(Ⅰ)易得l的方程為7x+7y-125=0.

(Ⅱ)設直線AB的參數(shù)方程為

評注：引入直線l的參數(shù)方程并代入雙曲線的方程，整理得關于t的一元二次方程，利用參數(shù)t的幾何意義，結合韋達定理快速找到了定值.在解決“過定點的直線與圓錐曲線相交的弦”相關問題時，若能引入直線參數(shù)方程，則可利用參數(shù)t的幾何意義，回避通過解方程組求交點坐標等繁瑣運算,使得解法簡捷明快.

六、活用平幾知識將線段比轉化為相似比

(Ⅰ)求動點P的軌跡方程；

(Ⅱ)設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

解析：(Ⅰ)用直接法易得動點P的軌跡方程動點P的軌跡方程為x2+3y2=4(x≠±1).

(Ⅱ)如圖3，連結BM,AN，若存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，則

圖3

在解析法下線段長度的代數(shù)刻畫時常還是有困難的，特別是線段長度的比值問題.關于線段之比的轉化策略并非僅此本文列舉的六種,本文中的例題有的多種方法都同時適用,且解法都簡明、優(yōu)美.同一個問題，由于算法不同，計算量的差異可能會很大，因此要注意選擇更好的運算途徑，多向轉化，在巧算中才能感受到數(shù)學的輕松和優(yōu)美.