重慶市第八中學(xué)校 (400030) 羅 毅

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》指出：“數(shù)學(xué)教材為‘教’與‘學(xué)’活動(dòng)提供學(xué)習(xí)主題、基本線(xiàn)索和具體內(nèi)容，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)重要的教學(xué)資源”[1]。教材不僅是教師開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)藍(lán)本，也是教師進(jìn)行教學(xué)研究的重要資源。教材中的例題、習(xí)題看似簡(jiǎn)單平淡，但如果仔細(xì)思考、深入挖掘，卻令人回味無(wú)窮。筆者以人民教育出版社出版的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修2-1》(A版)第62頁(yè)B組第4題為基礎(chǔ)，探究得出一些有趣的結(jié)論，整理成文，以饗讀者。

1.源問(wèn)題及其解析

2.一般化猜想與論證

猜想觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P位于雙曲線(xiàn)的右支與其漸近線(xiàn)之間，即圖1中陰影部分區(qū)域，本文將該區(qū)域記為開(kāi)區(qū)域Λ(不包含邊界)．猜想當(dāng)點(diǎn)P位于開(kāi)區(qū)域Λ時(shí)，雙曲線(xiàn)不存在以P為中點(diǎn)的弦．下對(duì)該猜想進(jìn)行論證．

圖1

4a2b2[(y0-kx0)2+(b2-a2k2)]③．

當(dāng)y0=0或x2=x1時(shí)，易知直線(xiàn)AB與雙曲線(xiàn)也沒(méi)有交點(diǎn)．從而結(jié)論成立．

3.開(kāi)區(qū)域Λ的其他性質(zhì)探究