吳 春,劉冬兵

(1.重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331;2.攀枝花學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,四川 攀枝花 617000)

0 引言

本文考慮如下的含有Riesz-Feller位勢(shì)的變階非線性分?jǐn)?shù)階Lévy-Feller擴(kuò)散方程:

(1)

1 全隱式的有限差分格式

(2)

(3)

將式(2)和式(3)代入方程(1)可得到如下的差分格式:

(4)

(5)

格式(4)可改成如下的形式:

(6)

2 全隱式有限差分格式的穩(wěn)定性和收斂性

定理1 假設(shè)方程(1)的解u(x,t)是充分光滑的,則當(dāng)τ充分小時(shí),全隱差分格式(4)～(5)是穩(wěn)定的。

(7)

≤‖Ek‖∞+τL‖Ek+1‖∞

(8)

(9)

因此,全隱差分格式(4)～(5)是穩(wěn)定性的。

定理2 在定理1的條件下,差分格式(4)～(5)的解依L∞-范數(shù)收斂到方程(1)的解,收斂階為O(τ+h)。

(10)

(11)

‖ek+1‖∞≤(1+2τL)‖ek‖∞+C1τ(τ+h)≤(1+2τL)2‖ek-1‖∞+C1τ(τ+h)[(1+2τL)+1]≤(1+2τL)k+1‖e0‖∞+C1τ(τ+h)[(1+2τL)k+…+1]≤C1τ(τ+h)(ke2LT)=O(τ+h)

(12)

故定理2得證。

3 數(shù)值例子

考慮如下的變階非線性分?jǐn)?shù)階Lévy-Feller擴(kuò)散方程:

取定時(shí)間步長(zhǎng)τ=0.000 1,空間步長(zhǎng)h=0.02。圖1是t=0.01時(shí)刻由全隱差分格式(4)計(jì)算得到的數(shù)值解與精確解的平面圖,可以看出數(shù)值解收斂于精確解。圖2是全隱差分格式(4)計(jì)算得到的數(shù)值解與空間軸、時(shí)間軸之間的三維立體圖。

圖1 數(shù)值解與精確解比較圖 圖2 三維立體圖Fig.1 Comparison for numerical and exact solution Fig.2 Stereoscopic graphics

表1 在T=1時(shí)差分格式的誤差及收斂率Tab.1 Error and convergence rate of difference scheme when T=1

從圖1和表1可以看出，本文所提出的全隱式有限差分格式求解含有Riesz-Feller位勢(shì)的非線性變階分?jǐn)?shù)階Lévy-Feller擴(kuò)散方程是可靠的和有效地。