四川省綿陽(yáng)實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 伍 欣

本文從開(kāi)普勒三定律出發(fā)，從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格地推導(dǎo)了萬(wàn)有引力定律。

一、開(kāi)普勒定律

開(kāi)普勒定律可以簡(jiǎn)單表述如下：（1）橢圓定律：所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。（2）面積定律：行星和太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間間隔內(nèi)掃過(guò)相等的面積。（3）周期定律：所有行星繞太陽(yáng)一周的時(shí)間（即周期）的平方與它們軌道長(zhǎng)軸的立方成正比。

運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候，首先需要將實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述出來(lái)。我們采用太陽(yáng)為原點(diǎn)的極坐標(biāo)系（r，θ）進(jìn)行問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述，將所有行星和太陽(yáng)本身都當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)處理，具體如圖1 所示。這是進(jìn)行數(shù)學(xué)描述時(shí)的一種近似或者理想化，這種近似是合理的，因?yàn)樘?yáng)的半徑比太陽(yáng)到行星的距離要小得多。

其中，T為行星運(yùn)動(dòng)的周期，K為一常數(shù)。

相比于（1）式和（3）式，（2）式的物理意義不是那么明顯。為了對(duì)（2）式的結(jié)果做出直觀的解釋，我們以太陽(yáng)所在的橢圓焦點(diǎn)為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸所在的直線為x軸，引進(jìn)笛卡爾坐標(biāo)系（x，y），具體如圖2所示：

顯然，r·s=0，即r⊥s。同樣，根據(jù)（4）式可得⊥s，那么我們可以得到 ∥r。

這就說(shuō)明面積定律如果成立，那么行星運(yùn)動(dòng)的加速度總是指向或者背向太陽(yáng)的，反之亦然。

二、萬(wàn)有引力定律

將上式代入（3）式中可得：

由牛頓第三定律，我們知道行星和太陽(yáng)之間的吸引力為大小相等，方向相反的作用力和反作用力，因此，取方向?yàn)檎牧?lái)表示它們之間的萬(wàn)有引力。

考慮到兩個(gè)太陽(yáng)的作用力是單個(gè)太陽(yáng)作用力的兩倍，即太陽(yáng)與行星之間的作用力與太陽(yáng)質(zhì)量成正比，令