蘇梅容 鄒涌濤 胡捷

摘 要：本文首先對自建點和國控點的數(shù)據(jù)進行探索性數(shù)據(jù)分析，利用主成分分析法和因子分析法分別對國控點和自建點的數(shù)據(jù)進行簡要的分析，得出一些初步的結(jié)論。其次對導(dǎo)致自建點數(shù)據(jù)與國控點數(shù)據(jù)造成差異的因素進行分析。對國控點和自建點的“兩塵四氣”建立一元線性模型進行一一對比，最后再利用多元線性回歸逐個分析每個因素的影響程度。但由于非常規(guī)氣態(tài)污染物（氣）濃度變化對傳感器會存在交叉干擾，所以我們接著用相關(guān)性分析對每個因素的交互干擾進行分析。最后，利用國控點數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型對自建點數(shù)據(jù)進行校準(zhǔn)。

關(guān)鍵詞：主成分分析;因子分析;相關(guān)性分析;線性回歸;校準(zhǔn)

一、問題假設(shè)和符號說明

（1）假設(shè)忽略空氣中其他污染物對微型空氣質(zhì)量檢測儀造成的影響。

（2）假設(shè)該地區(qū)各種影響空氣質(zhì)量的軟因素（如工業(yè)發(fā)展，人口數(shù)量）保持平穩(wěn)變化。

X1～X6分別表示自建點的PM2.5、PM10、CO、NO2、SO2、O3;X7～X11分別表示溫度、濕度、風(fēng)速、氣壓、降水;β0、β1、…βn是多元線性方程的參數(shù)。

Y1～Y6分別表示國控點PM2.5、PM10、CO、NO2、SO2、O3。

二、模型建立與求解

（一）主成分分析法

主成分分析[1]，是一種統(tǒng)計方法。通過正交變換將一組可能存在相關(guān)性的變量轉(zhuǎn)換為一組線性不相關(guān)的變量，轉(zhuǎn)換后的這組變量叫主成分。在用統(tǒng)計分析方法研究多變量的課題時，變量個數(shù)太多就會增加課題的復(fù)雜性。主成分分析是對于原先提出的所有變量，將重復(fù)的變量（關(guān)系緊密的變量）刪去多余，建立盡可能少的新變量。如第一主成分為：“PC1=a1X1+…+akXK”對國控點的數(shù)據(jù)進行主成分分析：

（1）首先判斷主成分的數(shù)目，這里使用Cattell碎石檢驗，表示了特征值與主成數(shù)目的關(guān)系。一般的原則是：要保留的主成分的個數(shù)的特征值要大于1且大于平行分析的特征值。前四個主成分的累積貢獻率已達到91%，另外三個主成分就可以舍去，達到降維的目的。從程序運行結(jié)果來看：第一主成分（PC1）的貢獻率將達到50%，起最大的作用，其中PM25、PM10和CO的系數(shù)都在0.5左右，也就是說，PM25、PM10和CO對空氣質(zhì)量的影響較大，可用來進行一般性評價的維度。

（2）運用主成分分析法對自建點的數(shù)據(jù)進行分析，分析結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)前七個主成分的累積貢獻率已達到92%，另外四個主成分就可以舍去，達到降維的目的。從程序結(jié)果來看：第一主成分（PC1）的占比較多，起較大的作用，其中PM2.5、PM10和CO的系數(shù)都在0.5左右。而國控點的影響因素也包含PM2.5、PM10和CO，初步推斷兩組數(shù)據(jù)比較吻合的，且PM2.5、PM10和CO對空氣質(zhì)量的監(jiān)測中有比較大的影響。

（二）因子分析法

因子分析[2]（factor analysis）是主成分分析的推廣和發(fā)展，它也是多元統(tǒng)計分析中降維的一種方法，是一種用來分析隱藏在表面現(xiàn)象背后的因子作用的一類統(tǒng)計模型.因子分析是研究相關(guān)陣或協(xié)方差陣的內(nèi)部依賴關(guān)系，它將多個變量綜合為少數(shù)幾個因子，以再現(xiàn)原始變量與因子之間的相關(guān)關(guān)系?？杀磉_為：“Xi=a1f+Ei，i=1，2，…，P，”。

其中f是對所有x（=12，…，D）都起作用的公共因子（common fotor），它表示影響因素的因子，系數(shù)ai稱為因子載荷（loading），變量x特有的特殊因子這就是一個最簡單的因子模型進一步，可把簡單因子模型推廣到多個因子的情況，用這m個不可觀測的互不相關(guān)的公共因子f1，f2，…，fm（也稱為潛因子）和一個特殊因子c1來描述原始可測的相關(guān)變量X1，X2…，X，并解釋分析影響因素它們的系數(shù)a1，a2，…，am稱為因子載荷，這就是一個因子模型。根據(jù)結(jié)論進行分析：在國控點的數(shù)據(jù)中，因子分析的結(jié)果顯示在第一個公共因子中，系數(shù)絕對值較大的是PM2.5、PM10和CO，可以與主成分分析中的結(jié)論相對應(yīng)。

在自建點的數(shù)據(jù)中，因子分析的結(jié)果中顯示在第一公共因子中，系數(shù)絕對值較大的也是PM2.5和PM10，根據(jù)以上的模型結(jié)果，大致可以推出PM2.5和PM10對空氣質(zhì)量的監(jiān)測數(shù)據(jù)影響較大。

（三）一元線性回歸模型

在統(tǒng)計學(xué)中，線性回歸[3]是利用稱為線性回歸方程的最小平方函數(shù)對一個或多個自變量和因變量之間關(guān)系進行建模的一種回歸分析。只有一個自變量的情況稱為簡單回歸，大于一個自變量情況的叫做多元回歸。本題運用到一元線性回歸表示式如下：“Y=β0+β1X”中，Y代表國控點的PM2.5、PM10、CO、NO2、SO3、O3濃度;β0、β1代表一元線性回歸方程的參數(shù);X代表自建點的PM2.5、PM10、CO、NO2、SO3、O3濃度。

我們對自建點和國控點的“兩塵四氣”監(jiān)測數(shù)據(jù)做了一元線性回歸模型，根據(jù)題目的要求我們建立一元線性回歸模型，得出以下結(jié)果：

1.PM2.5（國控點）和PM2.5（自建點）的對比

建立一元線性回歸模型，得出兩者的函數(shù)關(guān)系式：Y1=1.27X1+3.37，從模型結(jié)果來看兩者之間的關(guān)系是顯著的，反映出國控點的PM2.5和自建點的PM2.5成線性關(guān)系，回歸系數(shù)也在置信區(qū)間內(nèi)，可知該模型是成立的。

2.PM10（國控點）和PM10（自建點）的對比

建立一元線性回歸模型，得出兩者的函數(shù)關(guān)系式：Y2=1.16X2+30.01，從模型結(jié)果來看兩者之間的關(guān)系是顯著的，反映出國控點的PM10和自建點的PM10的線性關(guān)系?；貧w系數(shù)也在置信區(qū)間內(nèi)，可知該模型是成立的。

3.CO（國控點）和CO（自建點）的對比

建立一元線性回歸模型，得出兩者的函數(shù)關(guān)系式：Y3=0.12X3+0.47，從模型結(jié)果來看兩者之間的關(guān)系是顯著的，反映出國控點的CO和CO的線性關(guān)系?；貧w系數(shù)也在置信區(qū)間內(nèi)，可知該模型是成立的。

4.NO2（國控點）和NO2（自建點）的對比

建立一元線性回歸模型，得出兩者的函數(shù)關(guān)系式：Y4=0.42X4+44.01，從模型結(jié)果來看兩者之間的關(guān)系是顯著的，反映出國控點的NO2和自建點的NO2的線性關(guān)系。回歸系數(shù)也在置信區(qū)間內(nèi)，可知該模型是成立的。

5.SO3（國控點）和SO3（自建點）的對比

建立一元線性回歸模型，得出兩者的函數(shù)關(guān)系式：Y5=0.03X5+15.67，從模型結(jié)果來看兩者之間的關(guān)xi不是很顯著的，但是國控點的SO2和自建點的SO2還是線性關(guān)系?；貧w系數(shù)也在置信區(qū)間內(nèi)，可知該模型是成立的。

6.O3（國控點）和O3（自建點）的對比

建立一元線性回歸模型，得出兩者的函數(shù)關(guān)系式：Y6=0.27X6+53.05，從模型結(jié)果來看兩者之間的關(guān)xi不是很顯著的，但是國控點的SO2和自建點的SO2還是線性關(guān)系。回歸系數(shù)也在置信區(qū)間內(nèi)，可知該模型是成立的。

（四）多元線性回歸模型

在統(tǒng)計學(xué)中，線性回歸（Linear Regression）是利用稱為線性回歸方程的最小平方函數(shù)對一個或多個自變量和因變量之間關(guān)系進行建模的一種回歸分析。這種函數(shù)是一個或多個稱為回歸系數(shù)的模型參數(shù)的線性組合。只有一個自變量的情況稱為簡單回歸，大于一個自變量情況的叫做多元回歸。（這反過來又應(yīng)當(dāng)由多個相關(guān)的因變量預(yù)測的多元線性回歸區(qū)別，而不是一個單一的標(biāo)量變量）。本題運用到多元線性回歸[4]，多元線性表示式：“Yn=β0+β1X1+β1X2+……+βnan”式中，我們以自建點的濕度、溫度、風(fēng)速、氣壓、降水為自變量，分別以國控點的“兩塵四氣”為因變量，做多元線性回歸模型（程序見附錄四），根據(jù)題目的要求我們建立多元線性回歸模型。得出結(jié)果：除了風(fēng)速對PM2.5的影響不顯著，其他結(jié)果都很顯著。從結(jié)果看：濕度、溫度、風(fēng)速、氣壓、降水對自建點監(jiān)測的“兩塵四氣”的數(shù)據(jù)是有影響的。但是由于非常規(guī)氣態(tài)污染物（氣）濃度變化對傳感器會存在交叉干擾，所以我們接著用相關(guān)性分析[5]對每個因素的交互干擾進行分析。

研究結(jié)果顯示：AQI的六個指標(biāo)之間兩兩的相關(guān)性，即相關(guān)程度。現(xiàn)對其一一解釋：

（1）PM2.5與其余的五個指標(biāo)PM10，CO，NO2，SO2，O3的相關(guān)系數(shù)分別為0.8157，0.6624，0.2590，0.2713，-0.2690，可知PM2.5與PM10，CO相關(guān)性較大，而與PM10的相關(guān)程度超過80%，說明與PM10是強相關(guān)的，而與O3的相關(guān)性是負相關(guān)，而且值較小，所以是弱相關(guān)。

（2）PM10與其余指標(biāo)CO，NO2，SO2，O3的相關(guān)系數(shù)分別為0.5822，0.3064，0.3064，-0.1765，可知PM10與CO，NO2，SO2是正相關(guān)，而與O3是負相關(guān)，且相關(guān)性不強，相關(guān)系數(shù)為-0.1765。

（3）CO與NO2，SO2，O3的相關(guān)系數(shù)分別為0.2983，03119，-0.2737，可知CO與NO2，SO2的相關(guān)程度在30%以上為正相關(guān)，而與O3相關(guān)系數(shù)為-0.2737，說明為負相關(guān)，說明兩者相關(guān)性不高。

（4）NO2與SO2，O3的相關(guān)性系數(shù)是-0.3440，-0.2544，都為負相關(guān)，從數(shù)值上看，相關(guān)性都不是很強。

（5）SO2與O3的相關(guān)性系數(shù)為-0.2840，為負相關(guān)，從數(shù)值上看，相關(guān)性不強。

三、模型推廣與評價

模型的優(yōu)點：線性回歸模型較簡單，應(yīng)用較廣，容易操作;因子分析法能很好的涵蓋原始數(shù)據(jù)的各個項，同時將分析過程簡化為因子項的分析，變量比原始的變量少了很多，起到了降維的作用，為我們處理數(shù)據(jù)降低了難度，從而更加簡便。

模型的缺點：回歸分析中，選用何種因子和該因子采用何種表達式只是一種推測，這影響了因子的多樣性和某些因子的不可測性，使得回歸分析在某些情況下受到限制。未能完全考慮到其他各種因素。

參考文獻：

[1]陳立萍，薛毅.統(tǒng)計建模與R軟件（下冊）[M].清華大學(xué)出版社，2006，07.

[2]Abhishek Singh，Karthik Ramasubramanian.R語言機器學(xué)習(xí)[M].機械工業(yè)出版社，2018，06.

[3]洪錦魁，蔡桂宏.R語言[M].清華大學(xué)出版社，2016，06.

[4]司守奎，孫璽菁.數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用[M].國防工業(yè)出版社，2012，06.

[5]Andrie de Vries，Joris Meys.R語言可以很簡單[M].人民郵電出版社，2017，07.