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        “數(shù)形結(jié)合”探秘絕對(duì)值

        2020-11-30 08:36:07張文珠
        初中生世界·七年級(jí) 2020年10期
        關(guān)鍵詞:原式探秘動(dòng)點(diǎn)

        張文珠

        著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說過:“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休?!睂?duì)絕對(duì)值的探究過程,“數(shù)軸”充當(dāng)了橋梁的作用。絕對(duì)值借助數(shù)軸來表達(dá),充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”的思想精髓。接下來,讓我們開始一場(chǎng)絕對(duì)值的探秘之旅。

        一、整裝待發(fā)——理解絕對(duì)值的幾何意義

        數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離,叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。

        “數(shù)a的絕對(duì)值”記作| a |,幾何意義為數(shù)軸上表示數(shù)a 的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。

        例1 如圖1,| -3|的幾何意義為數(shù)軸上表示-3的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。

        二、腳踏實(shí)地——探秘任務(wù)一:兩數(shù)差的絕對(duì)值

        “兩數(shù)差的絕對(duì)值”記作| a - b(| a、b是常數(shù)),幾何意義為數(shù)軸上表示數(shù)a 和數(shù)b 的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離。

        例2 如圖2,| 5 - 2|表示5與2的差的絕對(duì)值,實(shí)際上可以理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離;由計(jì)算可得| 5 - 2|=3;由數(shù)軸可得5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離是3,所以| 5 - 2|=3。

        如圖3,| 5 + 2|即| 5 -(-2)|,表示5與-2的差的絕對(duì)值,實(shí)際上可以理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離。由計(jì)算可得| 5 + 2|=7;由數(shù)軸可得5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離是7,所以| 5 + 2|=7。

        經(jīng)驗(yàn)升級(jí):用數(shù)學(xué)語言表示“兩數(shù)差的絕對(duì)值”,兩數(shù)之間要用運(yùn)算符號(hào)“-”號(hào)連接,若遇到兩數(shù)之間用“+”號(hào)連接,需要轉(zhuǎn)化為“-”號(hào)。

        三、登高望遠(yuǎn)——探秘任務(wù)二:兩距離之和的最小值

        “兩距離之和”記作| x - a |+| x - b(| x是未知數(shù),a、b 是常數(shù)),可以理解為數(shù)軸上表示x 的點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))分別與表示a、b 的點(diǎn)(定點(diǎn))之間的距離之和。

        例3 求| x + 1|+| x - 5|的最小值。

        【解析】原式寫成兩數(shù)差的絕對(duì)值為| x -(-1)|+| x - 5|,可以理解為數(shù)軸上表示x的點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))分別與表示-1、5的點(diǎn)(定點(diǎn))之間的距離之和。因?yàn)閤 的不確定性,可以利用數(shù)軸畫出表示-1、5的兩個(gè)定點(diǎn),然后分類討論如下:

        1. 表示數(shù)x 的點(diǎn)在表示-1的點(diǎn)左側(cè),兩距離長如圖4所示:

        2. 表示數(shù)x 的點(diǎn)在表示-1和5的兩點(diǎn)之間(包括兩點(diǎn)),兩距離長如圖5所示:

        3. 表示數(shù)x 的點(diǎn)在表示5的點(diǎn)右側(cè),兩距離長如圖6所示:

        由圖可知,當(dāng)數(shù)軸上表示數(shù)x 的點(diǎn)位于表示數(shù)-1 和5(包括-1 和5)兩點(diǎn)之間時(shí),| x + 1|+| x - 5|取得最小值,最小值就是表示數(shù)-1和5兩點(diǎn)之間的距離(| -1)- 5|=6(見“探秘任務(wù)一”所得結(jié)論)。所以| x + 1| +| x - 5|的最小值是6。

        經(jīng)驗(yàn)升級(jí):求兩距離之和的最小值,首先將原式寫成兩數(shù)差的絕對(duì)值;其次理解式子的幾何意義,借助數(shù)軸畫出定點(diǎn);最后利用數(shù)形結(jié)合對(duì)動(dòng)點(diǎn)的不同位置分類討論,得出最短距離和即為所求最小值。

        四、手摘星辰——探秘任務(wù)三:多個(gè)距離之和最小值

        “多個(gè)距離之和”記作| x - a1 |+ | x - a2 |+…+| x - a | n(x 是未知數(shù),a1、a2、……、an是常數(shù)),可以理解為數(shù)軸上表示x 的點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))分別與表示a1、a2、……、an的點(diǎn)(定點(diǎn))之間的距離之和。

        例4 求| x - 1| +| x + 2| +| x - 3|的最小值。

        【解析】原式寫成兩數(shù)差的絕對(duì)值為| x - 1| +| x -(-2)| +| x - 3|,可以理解為數(shù)軸上表示x 的點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))分別與表示1、-2、3的點(diǎn)(定點(diǎn))之間的距離之和。如圖7,因?yàn)閤 的不確定性,可以利用數(shù)軸畫出表示1、-2、3的三個(gè)定點(diǎn),然后分類討論,可得:當(dāng)x=1 時(shí),| x - 1|+| x + 2|+| x - 3|的最小值是5。

        例5 求| x - 1| + | x + 2| + | x - 3| +| x + 4|的最小值。

        【解析】數(shù)形結(jié)合分類討論后,如圖8從數(shù)軸上可以看出最小值就是表示數(shù)-2和1兩點(diǎn)之間的距離與表示數(shù)-4和3兩點(diǎn)之間的距離之和,記作| -2 - 1| +| -4 - 3|=10。所以,當(dāng)x在-2與1之間(包括-2和1)時(shí),| x - 1| +| x + 2|+| x - 3|+| x + 4|的最小值是10。

        經(jīng)驗(yàn)升級(jí):若數(shù)軸上有奇數(shù)個(gè)定點(diǎn),則當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在最中間的定點(diǎn)時(shí),原式有最小值,再借助數(shù)軸求出最小值;若數(shù)軸上有偶數(shù)個(gè)定點(diǎn),則當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在最中間兩個(gè)定點(diǎn)之間(包括這兩點(diǎn))時(shí),原式有最小值,再借助數(shù)軸求出最小值。

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