靳 穎

【背景】

教學這節(jié)課之前，學生已經(jīng)掌握了圓、長方體、正方體以及百分數(shù)的相關(guān)知識，并能綜合應用相關(guān)知識解決一些實際問題。圓的面積以及與圓有關(guān)的組合圖形面積的練習靈活多變、計算煩瑣，學生解題易錯。筆者認為，教師對于方與圓的教學不能囿于課本、淺嘗輒止，而應依據(jù)方與圓的組合中蘊含的數(shù)學思想方法與數(shù)學規(guī)律，設計相應的學習內(nèi)容，讓知識的本質(zhì)活起來，讓學生的思維動起來，從而使學生真正實現(xiàn)深度學習。因此，筆者將方與圓這兩個有著密切聯(lián)系的內(nèi)容整合設計成一節(jié)課——《神奇的方與圓》，引導學生由淺入深、由易到難、由薄到厚，循序漸進地進行探究，尋求方與圓之間“你中有我”“我中有你”的神秘關(guān)系，發(fā)現(xiàn)并找出規(guī)律。同時，將數(shù)學知識延伸至生活，將“生活中的數(shù)學”引入課堂，充分利用學習資源促進學生深度學習，激發(fā)學生的學習潛能，將知識生活化，讓數(shù)學思維化。

【教學過程及分析】

一、談話引入，提出問題

師（出示北京天壇照片）：這是老師假期出去旅游時拍攝的照片，知道是哪里嗎？（北京天壇）建筑師們在設計此建筑時考慮到哪些幾何元素？（方形、圓形……）（出示天壇的俯視圖）看到這張圖，你想到了什么？（沒有規(guī)矩不成方圓、外方內(nèi)圓、天圓地方……）你能和大家說說天圓地方是什么意思嗎？老師給大家?guī)砹藥讖垐D片，如果用數(shù)學的眼光來觀察，你看到了什么？

生：圓和正方形組合在一起，外圓內(nèi)方，外方內(nèi)圓……

師：這節(jié)課，我們就一起走進方與圓的世界，共同探究方圓之間的奧秘。

學生在欣賞北京天壇照片的過程中，感悟到中國自古以來就有“天圓地方”之說。在欣賞中國古代建筑中經(jīng)典造型圖案時，激起了學生探索方圓之間奧秘的欲望。

二、自主探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1.初步探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

（1）觀察發(fā)現(xiàn)問題

師（出示幾個具有正方形內(nèi)接圓特征的圖形）：這些圖形有什么共同特征？

生1：這些圖形都是由一個正方形和一個圓組成的。

生2：正方形里都有一個圓，都是正方形內(nèi)最大的圓。

師：觀察得真仔細！是的，正方形內(nèi)都有一個最大的圓。如果給出正方形的面積，你能求出正方形內(nèi)最大圓的面積嗎？

（2）探究解決問題（出示研究單1，如圖1）

學生獨立探究后匯報展示：

第一題：方法一是直接算出圓的半徑r 再求圓的面積；方法二是通過做輔助線，直觀看到這個正方形面積的四分之一就是r2，知道r2就能求出圓的面積。

第二題：用40÷4 把正方形的面積40cm2平均分成4 份，求出一個小正方形的面積是10cm2，一個小正方形的面積是r2即r2=10，從而算出圓的面積是10πcm2。

師：對比這三道題，第一題可以先直接求出r，也可以先直接求出r2，再計算圓的面積。后兩題能直接求出r 嗎？（不能）后兩題借助輔助線，可直接求出r2，再求出圓的面積。大家都很聰明，能根據(jù)具體問題，采用靈活變通的方法解決問題。

（3）探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：觀察比較表格中的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？（展示學習單并匯報）

生1：我發(fā)現(xiàn)正方形的面積與圓的面積之比是4∶π。

生2：圓的面積∶正方形的面積=π∶4。0.785）

例題的設計由易到難，層次分明。正方形的面積由36到40再到a，解題的難度逐步加大，學生發(fā)現(xiàn)正方形的面積是36時，可以求出r，也可以求出r2，但當正方形面積為40或a時，學生利用現(xiàn)有知識不能直接求出r，只能通過添加輔助線另辟蹊徑求出r2，再求出圓的面積，呈現(xiàn)出靈活多樣的解題思路。學生親歷操作、觀察、比較和歸納等活動過程，發(fā)現(xiàn)了方中圓兩者之間的奧秘。

2.深入探究，內(nèi)化規(guī)律。

師：我們已經(jīng)探究出，在正方形內(nèi)畫一個最大的圓，圓的面積與正方形的面積之間的關(guān)系。如果在正方形內(nèi)畫四個盡可能大的等圓呢？（出示研究單2，如圖2）

師：我們通過多種方法證明了四個等圓的面積之和與正方形的面積之間的關(guān)系。其實，直接利用前面得出的結(jié)論就可以推理得到。一

生1：8個圓。

生2：8 個不行，必須是平方數(shù)，如32=9、42=16……36個、100個、10000個……

師：到現(xiàn)在為止，能用一句話來概括你們的發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：圖形中圓的面積之和與正方形的面積之比是π∶4。

生2：每個圖中圓的面積之和都是正方形面積的78.5%。

生3：圓的面積之和∶正方形的面積=π∶4=0.785。

…………

此環(huán)節(jié)從正方形內(nèi)切一個圓延伸到正方形內(nèi)切四個圓，學生再次探究發(fā)現(xiàn)四個圓的面積之和∶正方形的面積=π∶4，此時學生展開想象的翅膀，正方形內(nèi)切9 個圓、16 個圓、25 個圓、100 個圓、10000 個圓……同樣存在這樣的關(guān)系——圓的面積之和∶正方形的面積=π∶4。探究內(nèi)容從一般到特殊、由易到難、由少到多，學生積極主動地投入“大膽猜想—驗證數(shù)據(jù)—總結(jié)規(guī)律”的探究中，思維的大門逐步打開，促成了數(shù)學思考，提升了數(shù)學素養(yǎng)。

三、巧妙整合，融會貫通

1.巧妙對比，拓展規(guī)律。

師：研究了正方形內(nèi)切等圓的面積與正方形的面積之間的關(guān)系，你們還想探究什么？

生：圓內(nèi)畫最大的正方形。

師：如果給出這些正方形的面積，你能求出相應的外接圓的面積嗎？（出示研究單3，如圖3）

教師板書：S圓∶S小正=π∶2=1.57。

在學生探究出方中圓兩者間關(guān)系的基礎上，順應學生的思維接著探究圓中方兩者之間的關(guān)系，學生親歷從正、反兩個方向思考探究的過程，培養(yǎng)了從多角度思考問題的意識，同時培養(yǎng)了逆向思維能力。

2.有機整合，理解規(guī)律。

師：如果把兩次研究的圖形組合在一起，想象一下會是什么樣子？

生：圓里內(nèi)接一個正方形，正方形里又內(nèi)切一個圓；或者正方形里內(nèi)切一個圓，圓里又內(nèi)接一個正方形……

師（出示正方形里內(nèi)切一個圓，圓里又內(nèi)接一個正方形）：這三者之間有什么關(guān)系？

生：S大正∶S圓∶S小正=4∶π∶2，如果小正方形里再內(nèi)切一個圓，也能發(fā)現(xiàn)它們的面積之間的關(guān)系……

師：想象力真豐富，四者之間的關(guān)系我們課后接著研究。

皮亞杰認為，隨著學習者學習的知識越來越多，應引導他們認清所學知識之間的聯(lián)系，主動構(gòu)建認知圖式。因此，教師順應學生的思維發(fā)展，在探究方與圓兩者間關(guān)系的基礎上，讓學生大膽想象把上面兩次研究的圖形組合在一起是怎樣的圖形，并引導學生探究三者之間的關(guān)系，讓單一知識聚合成結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的知識整體。

3.由面到體，深化規(guī)律。

師：經(jīng)過探究我們發(fā)現(xiàn)，平面圖形之間存在著神奇的0.785和1.57倍的關(guān)系。這樣的圖形，一個一個把它疊加起來會得到什么圖形？（師演示疊加過程，由平面到立體）

生1：長方體或正方體中有一個最大的圓柱。（生邊疊加演示邊講解）

生2：圓柱中有一個最大的長方體或正方體，它們等高。（生疊加演示）

師：你為什么會想到一個長方體或正方體？為什么要加一個“或”字？

生1：因為這是方中圓，往上不斷疊加的話，當圓柱的高度大于或者小于這個正方形的邊長，就是一個長方體；如果圓柱的高度等于這個正方形的邊長就是一個正方體；圓柱和長（正）方體等高。

師：猜想一下，里面的這個圓柱體和外面的這個長（正）方體之間會有怎樣的關(guān)系？

生1：已經(jīng)知道長方體和正方體等高，它們的體積比就是底面積的比。同理，長（正）方體和內(nèi)部的最大圓柱體也是等高的，它們的體積比就是底面積的比，所以圓柱體積∶長（正）方體體積=0.785。

生2：根據(jù)我們前面得出的正方形中內(nèi)切1 個、4 個、9 個、16 個、25 個、100 個……更多個圓，都存在圓的面積之和∶正方形的面積=π∶4這樣的關(guān)系，可以推出長（正）方體中內(nèi)切1 個、4 個、9 個、16 個、25 個、100 個……更多個這樣的圓柱體，圓柱體積∶長（正）方體體積=π∶4=0.785。（出示圖4）

生3：根據(jù)前面得出的結(jié)論——圓的面積∶圓內(nèi)接正方形的面積=π∶2=1.57，可以推出圓柱體內(nèi)有一個最大長（正）方體，兩者等高。圓柱體積∶長（正）方體體積=1.57。

師：同學們的想象力真豐富，雖然圓柱體的體積還沒有學，但你們根據(jù)等高的長（正）方體的體積比就是底面積的比及今天探究所得的規(guī)律，推導出等高長（正）方體與圓柱體的體積比就是它們底面積的比。正如大家所想，不但平面圖形之間存在著0.785和1.57倍的關(guān)系，立體圖形之間也存在這樣神奇的關(guān)系。在以后的學習中，大家可以利用相關(guān)的知識來驗證我們今天發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

圓柱體的體積還沒有學習，但隨著教師的追問，學生展開想象的翅膀，借助已有長（正）方體的相關(guān)知識和課中得出的規(guī)律推理出：正方體內(nèi)切1 個、4 個、9 個……更多個最大的圓柱體，圓柱體積∶長（正）方體體積=0.785；反之，圓柱體里內(nèi)接最大長（正）方體，圓柱體積∶長（正）方體體積=1.57。從面到體，從二維到三維，學習由淺入深，學生的思維得到了跨越式提升。

四、應用規(guī)律，升華延伸

師：生活中也有一些神奇的數(shù)字，誰來說說？

生：0.618。

師：這是大自然的杰作——黃金分割點，美麗的蒙娜麗莎、東方明珠中都有黃金分割點，芭蕾舞演員踮起腳尖跳舞也是為了出現(xiàn)黃金分割點，給觀眾帶來美的享受。在生活中，我們不能只看表面現(xiàn)象，還要透過表象看到蘊藏在其中的數(shù)學奧秘。

結(jié)合生活中一些神奇的數(shù)，如0.618，使學生感悟到數(shù)學來源于生活并應用于生活，體會數(shù)學的無窮魅力，激發(fā)學生熱愛數(shù)學的情感。

上述案例，筆者主要從以下兩方面進行教學：一是精心選用素材，挖掘教育價值。三組學習素材（方中圓、圓中方和平面到立體）新穎且順應學生的思維特征。整個探究過程由簡到繁、由易到難、由少到多、由面到體，學生經(jīng)歷了由薄到厚積累知識的過程，這符合學生的認知規(guī)律和思維發(fā)展順序，促進了他們思維的提升和進階。二是倡導深度教學，培育核心素養(yǎng)。這節(jié)課并不滿足于學生會求“方中圓”和“圓中方”的面積，通過“方中圓”和“圓中方”的相應圖形的面積表象進一步研究深層次的問題，巧妙整合進而拓展到三者、四者之間的關(guān)系，學生的探究逐步深入，思維的火花在不斷碰撞中自然迸發(fā)，學生自然步入深度學習、深度思考、深刻理解。