葛寧靜 馬振明 宓 玲

(臨沂大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 臨沂 276000)

0 引言

群體決策是將若干決策者的個(gè)體偏好集成為集體偏好,然后根據(jù)集體偏好對一組方案進(jìn)行排序,從中選擇最優(yōu)方案.目前,將方案兩兩比較而得到的群體判斷矩陣是群體決策分析中的一個(gè)熱點(diǎn),從判斷矩陣元素的表示方式看,判斷矩陣有正互反判斷矩陣[1]和模糊判斷矩陣[2,3]兩種形式.但與正互反判斷矩陣相比,模糊判斷矩陣更符合人的心理習(xí)慣,更容易為決策者掌握和使用.判斷矩陣一致性能夠反映決策者判斷合理性,從而成為判斷矩陣研究的核心.目前,對模糊判斷矩陣一致性的研究已有一些成果[4-13].由于實(shí)際決策環(huán)境的復(fù)雜性,決策者給出的模糊判斷矩陣一般是難以達(dá)到完全一致性要求的,因此為了保證模糊判斷矩陣排序向量的可信度和準(zhǔn)確性,必須對其一致性程度作一定要求,并對不具有滿意一致性的模糊判斷矩陣進(jìn)行修正.有些學(xué)者在群體決策環(huán)境下研究模糊判斷矩陣一致性問題[8,9,12,14,15],但這些方法往往是對模糊判斷矩陣進(jìn)行全局修正,使得原始判斷矩陣中幾乎所有元素都發(fā)生了變化,不能很好反映原始判斷矩陣的信息.既然決策者是專家,其判斷元素大部分應(yīng)該是可靠的,只是少數(shù)元素不準(zhǔn)確,因此判斷矩陣的調(diào)整應(yīng)該局部進(jìn)行,即只涉及少量元素.

本文首先給出模糊判斷矩陣的偏序及其若干性質(zhì),然后討論群體決策中模糊判斷矩陣的加性一致性檢驗(yàn)與修正問題,提出一種群體決策中模糊判斷矩陣加性一致性局部修正算法,并與已有算法進(jìn)行對比,通過數(shù)值例子說明算法有效性.

1 預(yù)備知識(shí)

通常我們將取值于[0,1]的矩陣稱為模糊矩陣,或者模糊關(guān)系[12].

定義1[2]模糊矩陣P如果滿足pij=1-pji,則稱其為模糊判斷矩陣.明顯地,pii=0.5且記全體模糊判斷矩陣的集合為FPR.

定義2[3]模糊判斷矩陣P如果對任意i,j,k=1,2,…,n,滿足pij=pik+pkj-0.5,則稱其具有加性一致性.

定理1[3]模糊判斷矩陣P具有加性一致性當(dāng)且僅當(dāng)存在向量ω=(ω1,ω2,…,ωn)使得pij=0.5(ωi-ωj+1).

2 模糊判斷矩陣加性一致性局部修正算法

定義3設(shè)P,Q為兩個(gè)模糊判斷矩陣.如果對任意i

定義4設(shè)P,Q,R為三個(gè)模糊判斷矩陣.映射D:FPR×FPR→[0,1]如果滿足(1)D(P,P)=0; (2)D(P,Q)=D(Q,P);(3)P≤Q≤R蘊(yùn)涵D(P,Q)∨D(Q,R)≤D(P,R),則稱D為FPR上的距離測度.

對給定模糊判斷矩陣P,Q,我們定義如下具體的距離測度

設(shè)X={x1,x2,…,xn}為n個(gè)待選對象,E={e1,e2,…,es}為s個(gè)決策者.決策者el使用模糊判斷矩陣Pl來表達(dá)偏好信息.

定理2設(shè)P1,P2,…,Ps為一族模糊判斷矩陣.定義N=(nij)和M=(mij)如

則N,M為模糊判斷矩陣.

證明我們只證明N為模糊判斷矩陣,類似可證M為模糊判斷矩陣.容易驗(yàn)證

由定義1有N為模糊判斷矩陣.

定理3設(shè)P1,P2,…,Ps為一族模糊判斷矩陣,則N≤M.

證明顯然,故略.

通常情況下,由于客觀事物的復(fù)雜性和人們認(rèn)識(shí)的多樣性,決策者所給出的模糊判斷矩陣通常不具有完全一致性,因此往往希望將一個(gè)不一致的模糊判斷矩陣修正為具有可接受的加性一致性的模糊判斷矩陣.

定理4設(shè)P1,P2,…,Ps相對于加性一致模糊判斷矩陣K具有可接受加性一致性且Pl≤K,l=1,2,…,s.如果N相對于K具有可接受加性一致性,那么Pl相對于K具有可接受加性一致性.

證明由于Pl相對于加性一致模糊判斷矩陣K具有可接受加性一致性,即D(Pl,K)

上述定理保證了具有可接受加性一致模糊判斷矩陣集成后仍具有可接受加性一致性.我們通過如下算法給出加性一致模糊判斷矩陣K以及不具有可接受加性一致性的模糊判斷矩陣的修正算法

算法

步1 給出模糊判斷矩陣P(l0)l=1,2,…,s,h=0且a=0.1.

步2 由模糊判斷矩陣P(lh)構(gòu)造模糊判斷矩陣N(h)和M(h),其中l(wèi)=1,2,…,s.

步6 修正P(l0h)為P(l0h+1),其中

滿足N(h)≤N(h+1)和M(h+1)≤M(h).

步8 利用加權(quán)算術(shù)平均算子將P(lh)l=1,2,…,s集成為集體模糊判斷矩陣P(h).

上述定理表明本文提出的算法具有收斂性.

3 數(shù)值例子與對比分析

本節(jié)我們主要給出本文提出的修正不具有加性一致性的模糊判斷矩陣方法和已有方法進(jìn)行對比.我們通過下面數(shù)值例子演示提出的算法:

例 1設(shè) 4 個(gè)決策者E={e1,e2,e3,e4}對4個(gè)對象X={x1,x2,x3,x4}進(jìn)行評估,給出如下模糊判斷矩陣

假設(shè)4個(gè)決策者權(quán)重相同,取閾值a=0.1,通過數(shù)學(xué)軟件Sagemath計(jì)算,當(dāng)?shù)螖?shù)h=0時(shí),我們有

因此它們都具有可接受加性一致性.利用加權(quán)算術(shù)平均算子將P(1,13),P(2,13),P(3,13),P(4,13)集成為集體模糊判斷矩陣

表1 一致性修正算法迭代過程

通過數(shù)學(xué)軟件Sagemath計(jì)算,我們有

利用加權(quán)算術(shù)平均算子集成P1,P2,P(3,3),P(4,2)為集體模糊判斷矩陣P,其中

4 結(jié)論

本文以模糊判斷矩陣的偏序關(guān)系為工具,給出了基于模糊判斷矩陣的專家群體判斷加性一致性檢驗(yàn)與修正的局部算法,相比全局修正算法,更符合實(shí)際決策需要,為合理應(yīng)用模糊判斷矩陣評價(jià)和優(yōu)選決策方案奠定了較為堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).