薛邵文,林乃昌*

(1.瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，四川 瀘州 646005；2.四川省瀘州市智能制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 瀘州 646005)

0 引 言

在機(jī)械裝備運(yùn)動(dòng)副中，間隙的存在在所難免。由于過(guò)大或者過(guò)小的間隙都會(huì)引起運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)接觸的碰撞，從而也會(huì)引起系統(tǒng)穩(wěn)定性、精度和可靠性的降低，甚至使得系統(tǒng)失效或降低其使用壽命[1-2]。因此，運(yùn)動(dòng)副中存在間隙問(wèn)題帶來(lái)的負(fù)面影響需要加以研究和解決。

目前，有關(guān)運(yùn)動(dòng)副中間隙問(wèn)題的研究重點(diǎn)主要聚焦于含間隙系統(tǒng)建模以及誤差補(bǔ)償方面[3-6]。李研彪等[7]采用牛頓-歐拉法，并結(jié)合拉格朗日乘子建立了含間隙空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型,但該模型計(jì)算量龐大，搭建模型過(guò)程復(fù)雜；郭嘉楠等[8]針對(duì)機(jī)構(gòu)中旋轉(zhuǎn)鉸的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),建立了一種兼顧能量損失和粗糙接觸面動(dòng)力學(xué)特性的碰撞模型,因?yàn)榻．?dāng)中需要忽略一些有關(guān)間隙方面的參數(shù)，使得該模型不能很好地反應(yīng)機(jī)構(gòu)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況；宿月文等[9]針對(duì)多體系統(tǒng)，提出了一種基于查找表的間隙球鉸接觸區(qū)域檢索和磨損預(yù)測(cè)方法，但是這種方法要基于先驗(yàn)知識(shí)，存在一定的主觀性；孫東陽(yáng)[10]利用非線性彈簧阻尼模型，建立了諧波齒輪傳動(dòng)的含間隙機(jī)構(gòu)的接觸碰撞動(dòng)力學(xué)模型，但該模型不便于參數(shù)的辨識(shí)；陳渭等[11]提出了一種求解含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)副反力的靜態(tài)間隙桿算法，但此種算法建立的模型存在隨機(jī)性，不夠準(zhǔn)確。

通過(guò)以上的分析表明，盡管針對(duì)含間隙系統(tǒng)建模所進(jìn)行的研究已有很多，但是這些建模方法大都存在計(jì)算繁雜、模型搭建過(guò)程復(fù)雜、系統(tǒng)模型精度不高等特點(diǎn)。而目前針對(duì)間隙帶的誤差補(bǔ)償?shù)南嚓P(guān)研究還很少。

針對(duì)以上問(wèn)題，筆者以實(shí)際的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，在確定系統(tǒng)中間隙存在的位置之后，結(jié)合改進(jìn)的PSO算法進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，建立含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)模型，并運(yùn)用自適應(yīng)魯棒控制器，對(duì)間隙產(chǎn)生的誤差進(jìn)行補(bǔ)償。

1 PSO算法及改進(jìn)

1.1 PSO算法

粒子群優(yōu)化(PSO)算法是由美國(guó)的KENNEDY和EBERHART依據(jù)Boid模型而提出的一種基于群智能的并行全局優(yōu)化算法[12]。該算法將所有潛在解搜索空間處于D維空間中，假設(shè)粒子群中有N個(gè)粒子，每個(gè)粒子的位置和空間狀態(tài)分別用向量Xi(t)和Vi(t)表示；第i個(gè)粒子搜索到的最優(yōu)位置記作Pbesti(t)，而當(dāng)前搜索到的最優(yōu)位置可由Gbest(t)來(lái)計(jì)算。

第i個(gè)粒子的速度和位置可以根據(jù)以下兩式來(lái)進(jìn)行更新：

(1)

(2)

1.2 改進(jìn)的PSO算法

1.2.1 慣性因子w的改進(jìn)

為了增強(qiáng)算法的全局和局部最優(yōu)值的搜索能力，SHI等[13]研究了慣性因子w的線性調(diào)整方法，即在迭代過(guò)程中線性減小慣性權(quán)重值，如下式所示：

(3)

式中：t—當(dāng)前迭代次數(shù)；tmax—最大迭代次數(shù)；wstart—初始慣性因子；wend—最大迭代次數(shù)時(shí)的慣性因子。

SHI等[14]發(fā)現(xiàn)當(dāng)wstart=0.95,wend=0.4時(shí)，PSO算法的性能最好。但是，慣性因子并非一成不變，需要按照優(yōu)化對(duì)象自己的特點(diǎn)，進(jìn)行某種線性或是非線性減小，然而使用線性減小的慣性因子存在“早熟”收斂和收斂精度比較低的問(wèn)題。為了避免該問(wèn)題出現(xiàn)，需要尋找一條和優(yōu)化對(duì)象相適應(yīng)的慣性因子。

在尋優(yōu)初期，為增加算法的全局搜索能力，慣性因子應(yīng)隨種群多樣性的增加而增加；在尋優(yōu)后期，為了增加算法的局部搜索能力，慣性因子則應(yīng)隨種群多樣的減少而遞減[15]。

按照以上原則，此處的慣性因子w不再是線性遞減，而是采用非線性遞減方式來(lái)進(jìn)行設(shè)置，即：

(4)

式中：wmin—慣性因子最小值；wmax—慣性因子最大值。

(5)

(6)

式中：M—較大的正數(shù)。

M為所有f(Xi)中最大的修正，此處M取為：

M=max(f(Xi))×1.01+0.01

(7)

2 改進(jìn)的PSO算法對(duì)含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)參數(shù)辨識(shí)

2.1 含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的參數(shù)辨識(shí)原理

含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的參數(shù)辨識(shí)就是僅僅知道含間隙系統(tǒng)的輸入和輸出，按照一定的準(zhǔn)則在一類曲柄滑塊機(jī)構(gòu)模型中，選擇一個(gè)與含間隙系統(tǒng)數(shù)據(jù)擬合得最好的模型，使得在辨識(shí)過(guò)程中通過(guò)不斷調(diào)用改進(jìn)的PSO辨識(shí)算法進(jìn)行參數(shù)修正，當(dāng)誤差函數(shù)的最小值滿足要求時(shí)，此時(shí)的參數(shù)就是最優(yōu)辯識(shí)系統(tǒng)的參數(shù)。

參數(shù)辨識(shí)原理圖如圖1所示。

圖1 參數(shù)辨識(shí)原理圖u(k)—輸入信號(hào)；yo(k)—未加干擾信號(hào)輸出；v(k)—干擾信號(hào)；z(k)—加入干擾信號(hào)后系統(tǒng)輸出；y(k)—辨識(shí)模型輸出；e(k)—誤差信號(hào)

2.2 辨識(shí)模型參數(shù)的思路

理想曲柄滑塊(忽略O(shè)、A和B3處間隙)示意簡(jiǎn)圖如圖2所示。

圖2 含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)示意圖θ2—曲柄轉(zhuǎn)角；θ3—連桿轉(zhuǎn)角；R2—曲柄長(zhǎng)度；R3—連桿長(zhǎng)度；R1—滑塊位移

該理想機(jī)構(gòu)的矢量方程式為：

R2+R3=R1

(8)

將該矢量方程分別在X軸和Y軸上進(jìn)行分解，可得：

R2cosθ2+R3cosθ3=R1

(9)

R2sinθ2+R3sinθ3=0

(10)

圖2中，O、A和B3點(diǎn)代表實(shí)際曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中存在的間隙位置，由于間隙的存在運(yùn)用傳統(tǒng)的方法建立含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的模型就過(guò)于復(fù)雜，也不利于實(shí)際應(yīng)用，因此，為了建立更加準(zhǔn)確的模型，降低建模難度，同時(shí)兼顧收斂速度，筆者采用改進(jìn)的PSO算法來(lái)對(duì)該機(jī)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。

在機(jī)構(gòu)運(yùn)行過(guò)程中，將O、A和B3處的間隙分解到連桿和曲柄，則連桿和曲柄的長(zhǎng)度就是以時(shí)間為變量的函數(shù)，通過(guò)相應(yīng)的傳感器進(jìn)行測(cè)量，就可以得到曲柄和連桿長(zhǎng)度隨時(shí)間的變化規(guī)律，最后運(yùn)用式(9，10)即可推導(dǎo)出滑塊位移R1的變化規(guī)律，如下式所示：

(11)

因此，為得到R2和R3的變化規(guī)律，就需要運(yùn)用傳感器測(cè)量曲柄轉(zhuǎn)角θ2和連桿轉(zhuǎn)角θ3的數(shù)據(jù)。

2.3 參數(shù)辨識(shí)所需實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的測(cè)量

參數(shù)辨識(shí)所需的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖3所示。

圖3 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

筆者依據(jù)圖3中搭建的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，進(jìn)行所需數(shù)據(jù)θ2和θ3的測(cè)量。

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中的相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)參數(shù)

傳感器用于采集曲柄轉(zhuǎn)角、連桿傾角和滑塊位移的輸入信號(hào)，采集頻率為0.005 s，時(shí)間為60 s，曲柄轉(zhuǎn)速為5 r/min，輸出電壓值為0.3 V[16]。

最后在實(shí)驗(yàn)平臺(tái)調(diào)試成功后，筆者開始進(jìn)行實(shí)測(cè)，并保存相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

所測(cè)得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是傳感器的輸出電壓信號(hào)，所以必須要轉(zhuǎn)換成θ2和θ3的角度，即：

θ3=π(0.25V-0.625)

(12)

式中：V—傾角傳感器的輸出電壓值。

轉(zhuǎn)換角度后，可以分別得到曲柄轉(zhuǎn)角θ2、連桿轉(zhuǎn)角θ3、滑塊位移R1與時(shí)間之間的關(guān)系。

2.4 含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)參數(shù)辨識(shí)過(guò)程

含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的參數(shù)辨識(shí)步驟如下：

(1)獲取曲柄轉(zhuǎn)角θ2、連桿轉(zhuǎn)角θ3、滑塊位移R1這3組數(shù)據(jù)量，根據(jù)采集測(cè)得的12 000組數(shù)據(jù)分別計(jì)算出θ2和θ3的正弦值和余弦值，作為樣本；

(2)在辨識(shí)所需數(shù)據(jù)選取結(jié)束后，執(zhí)行改進(jìn)的PSO算法。SHI[17]認(rèn)為一般種群規(guī)模M取50較好；模型的粒子維數(shù)D=2(求解的未知數(shù)個(gè)數(shù))，學(xué)習(xí)因子取k1=k2=2時(shí)，尋優(yōu)能力最好。

最大迭代次數(shù)tmax=200，wmax=0.6,wmin=0.4,適應(yīng)度函數(shù)f(x)為：

(13)

式中：yi—采樣數(shù)據(jù)輸出；f(ui,θ)—辨識(shí)參數(shù)的輸出；C—大于0的常數(shù)；ui，θ—待辨識(shí)系統(tǒng)的輸入?yún)?shù)；E—目標(biāo)函數(shù)。

在這里，E和f(x)互為倒數(shù)，誤差越小則適應(yīng)值越大，反映了該粒子性能越好，反之越差；

(3)將初始化的粒子個(gè)體代入式(5～7，13)中，計(jì)算出適應(yīng)度值，并通過(guò)比較得到局部最優(yōu)解Pbesti(t)和全局最優(yōu)解Gbesti(t)；

(4)按照適應(yīng)度值的高低對(duì)粒子個(gè)體進(jìn)行排序，并根據(jù)式(1，2)來(lái)更新個(gè)體粒子的速度和位置；

(5)依據(jù)更新后的粒子位置，計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)f(x)的值；當(dāng)?shù)趉代和k+1代的適應(yīng)度函數(shù)f(x)<5×10-4,E<10-6時(shí)，停止搜索，此時(shí)函數(shù)收斂；

(6)否則，返回步驟(3)，循環(huán)更新，進(jìn)行下一次迭代，直到達(dá)到需求的精度或種群最大迭代次數(shù)，算法結(jié)束；如此即可得到模型參數(shù)辨識(shí)后，曲柄長(zhǎng)度R2和連桿長(zhǎng)度R3的最優(yōu)參數(shù)。

2.5 辨識(shí)結(jié)果分析

將參數(shù)辨識(shí)后的曲柄長(zhǎng)度R2和連桿長(zhǎng)度R3代入式(11)中，得到滑塊位移R1的變化規(guī)律。

采用改進(jìn)的PSO參數(shù)辨識(shí)輸出結(jié)果和實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比如圖4所示。

圖4 辨識(shí)結(jié)果和實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比

由圖4可以看出，采用改進(jìn)的PSO所辨識(shí)的滑塊位移R3仿真結(jié)果與實(shí)測(cè)的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)軌跡的變化趨勢(shì)基本是一致的。但是在滑塊的最遠(yuǎn)和最近位置附近誤差偏大，計(jì)算得到的誤差的均方差為0.314 026 mm，處于合理范圍之內(nèi)。

為驗(yàn)證改進(jìn)的PSO算法以顯示其優(yōu)勢(shì)性，筆者同時(shí)采用傳統(tǒng)的PSO算法對(duì)含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)進(jìn)行辨識(shí)，傳統(tǒng)的PSO算法中的局部最優(yōu)值的搜索方法采用傳統(tǒng)方式進(jìn)行搜尋，慣性因子w采用式(3)設(shè)置，除此之外，其他參數(shù)都與改進(jìn)的PSO算法保持一致。

采用兩種辨識(shí)方法所得到的對(duì)比結(jié)果如表2所示。

表2 兩種算法對(duì)比

由表2可知：兩種PSO算法辨識(shí)模型產(chǎn)生的誤差都相對(duì)較少，尤其是采用改進(jìn)的PSO算法迭代快，收斂速度明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的PSO算法。

因此，與采用傳統(tǒng)的PSO算法相比，采用的改進(jìn)的PSO算法對(duì)含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)進(jìn)行辨識(shí)，其精度更高，模型也更為可靠。

3 含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的自適應(yīng)魯棒控制

3.1 自適應(yīng)魯棒控制器的設(shè)計(jì)

結(jié)合含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的參數(shù)辨識(shí)線性化的特點(diǎn)[18]，系統(tǒng)可以表示為：

(14)

式中：x—狀態(tài)變量；u—控制變量；f(x)—充分光滑的向量場(chǎng)；M—矩陣∈Rn×n；G(x)—g1(x),…,gm(x);W(x)—系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)M下的不確定性；F(x,t)—系統(tǒng)的不確定性輸入。

定理1對(duì)于如式(14)所示的系統(tǒng)，假設(shè)存在正定矩陣P=PT,Q=QT，X>0和矩陣K，可以使得：

(15)

則自適應(yīng)魯棒控制律為：

(16)

以上結(jié)果表明，該閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

其中，u1和u2分別為：

(17)

魯棒控制器模塊的輸入輸出關(guān)系可以表示為：

(18)

根據(jù)式(16-18)，筆者在MATLAB中編寫了相應(yīng)的M-Function函數(shù)文件，嵌入到Simulink系統(tǒng)子模塊中；并根據(jù)筆者所進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的具體參數(shù)，可以計(jì)算出曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的標(biāo)稱值：θ0=[θ2,θ3]=[6.53,2.17]；滑塊的期望軌跡為qd=36.72cos(6.53t)+244.16cos(2.17t)；滑塊的初始速度為0 rad/s，初始位置為1 rad。

自適應(yīng)魯棒控制器的參數(shù)設(shè)置為：K=diag(30,30),Λ=diag(4,4),ρ1=6,ρ2=10,ε1=ε2=1。

筆者組建的含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)自適應(yīng)魯棒控制系統(tǒng)仿真框圖，如圖5所示。

圖5 自適應(yīng)魯棒控制仿真平臺(tái)

為了更好地驗(yàn)證控制器的魯棒性，筆者在含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的輸入力矩中，加入如下式所示的干擾方波干擾信號(hào)，即：

(19)

3.2 控制結(jié)果及分析

通過(guò)自適應(yīng)魯棒控制后，含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的控制效果如圖6所示。

圖6 控制效果對(duì)比圖

從圖6可以看出：

由于自適應(yīng)魯棒控制器的加入，使得含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的誤差顯著降低，收斂速度更快，最大誤差由原來(lái)的2 mm降低為0.98 mm；控制的信號(hào)跟蹤精度平均提高了51%左右，有助于系統(tǒng)穩(wěn)定性的有效提高。

以上結(jié)果表明，筆者設(shè)計(jì)的自適應(yīng)魯棒控制器對(duì)提高含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的精度是有效的。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)曲柄滑塊機(jī)構(gòu)間隙引起的系統(tǒng)穩(wěn)定性、精度和可靠性降低的問(wèn)題，筆者運(yùn)用改進(jìn)的PSO算法對(duì)含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)進(jìn)行了辨識(shí)，并就間隙所產(chǎn)生的誤差，應(yīng)用自適應(yīng)魯棒控制器進(jìn)行了補(bǔ)償。

主要研究結(jié)論如下：

(1)與傳統(tǒng)的PSO算法相比，在對(duì)含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)的仿真實(shí)驗(yàn)中，采用改進(jìn)的PSO算法可以有效地加速迭代過(guò)程，提高對(duì)系統(tǒng)辨識(shí)的精度，對(duì)參數(shù)辨識(shí)所建立的模型和實(shí)測(cè)結(jié)果的誤差處于合理范圍之內(nèi)；應(yīng)用改進(jìn)的PSO算法進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)比傳統(tǒng)的復(fù)雜機(jī)理法建模更易實(shí)現(xiàn)，對(duì)工程實(shí)際中具有較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值，也為復(fù)雜的機(jī)電系統(tǒng)的建模提供了新思路；

(2)所提出的自適應(yīng)魯棒控制器對(duì)間隙帶來(lái)的誤差補(bǔ)償方法使得誤差顯著降低，收斂速度更快，控制的信號(hào)跟蹤精度平均提高了51%左右，為復(fù)雜的非線性含間隙系統(tǒng)的誤差補(bǔ)償提供了新的方法。