孫 鵬 郭 穎 劉 志

（吉林大學(xué)，吉林 長春 130000）

在矩陣的運(yùn)算中，乘法是經(jīng)常用到的一種計(jì)算，矩陣的乘法與數(shù)的乘法不一樣，是不滿足交換律的，但是如果矩陣A是一個(gè)方陣，那么則可以定義矩陣A 與自身的乘法，即矩陣的冪。矩陣的冪的形式如下：AK=A…AA，稱為A 的K 次冪。

求矩陣的冪如果按照通常矩陣的乘法計(jì)算是可以計(jì)算出來的，但是當(dāng)矩陣的冪比較大，通常K≥3 的時(shí)候，特別地，如果矩陣的階數(shù)也比較大的時(shí)候，計(jì)算量就很大了，不容易得出最后答案。本文針對(duì)幾種不同形式的矩陣結(jié)合例題給出求矩陣的冪的方法。

一、數(shù)學(xué)歸納法

如果一個(gè)矩陣的階數(shù)不高,并且通過低次冪的計(jì)算能夠容易找到An與n 的關(guān)系,可以用歸納法證明這種關(guān)系,并且用于計(jì)算。

例題：設(shè)矩陣

故n=k+1 時(shí),（*）式成立。因此，對(duì)任何正整數(shù)n（n≥2），（*）式恒成立。

二、乘法結(jié)合律法

我們知道，直接求矩陣的冪一般會(huì)相當(dāng)麻煩,但是如果一個(gè)矩陣可以分解成列向量乘以行向量的形式,再利用矩陣的結(jié)合律,就可以大大化簡矩陣的冪的計(jì)算.

例題：已知

如果一個(gè)矩陣的行與行直接和列與列直接成比例，就可以分解成列向量乘以行向量的形式，這樣就可以用上述方法求矩陣的冪，使得求解矩陣的冪變得容易計(jì)算.

三、矩陣對(duì)角化法

若矩陣A 可以相似對(duì)角化,則可以利用求出矩陣的特征值,求出A 的相似對(duì)角矩陣,進(jìn)而利用對(duì)角矩陣求冪,使得簡化計(jì)算的冪。

例題：已知

四、將矩陣做拆分計(jì)算

利用公式A=aI+bB 把矩陣拆為與單位矩陣相關(guān)的和的形式,其中a，b 是數(shù),且B 的方冪容易計(jì)算.

例題:設(shè)矩陣

以上幾種方法在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中,能夠幫助同學(xué)們比較好地了解方陣求冪的基本方法,熟練掌握會(huì)得到事半功倍的效果。