趙千鈞，付興建

(北京信息科技大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京100192)

0 引言

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(NCS)是由控制器、傳感器和執(zhí)行器等部件通過通信網(wǎng)絡(luò)連接構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)。各學(xué)科領(lǐng)域之間相互交叉滲透，控制系統(tǒng)變得越來越復(fù)雜、被控對象越來越多元化，在此背景下網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)得到了快速的發(fā)展。但網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)在通過共享網(wǎng)絡(luò)信息資源實(shí)現(xiàn)控制而帶來各種優(yōu)越性的同時(shí)，也存在受網(wǎng)絡(luò)通訊帶寬限制而產(chǎn)生的網(wǎng)絡(luò)延遲、數(shù)據(jù)包丟失、網(wǎng)絡(luò)阻塞等問題。容錯(cuò)控制就是在控制系統(tǒng)發(fā)生故障的情況下設(shè)計(jì)控制器，使系統(tǒng)保持其穩(wěn)定性。

T-S模糊模型在逼近和描述非線性復(fù)雜系統(tǒng)方面是一種有力的工具。模糊理論的提出，開辟了用數(shù)學(xué)方法處理自然界中不確定現(xiàn)象的新途徑。近年來大量研究者利用T-S模糊模型對非線性系統(tǒng)進(jìn)行建模，在此基礎(chǔ)上研究非線性系統(tǒng)的容錯(cuò)控制問題具有重要的工程意義[1]。

與此同時(shí)，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的容錯(cuò)控制得到了高度重視并取得了一些成果[2-4]。文獻(xiàn)[5]針對不同的外部噪聲類型，選取不同的性能指標(biāo),逐步深入地對分布時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)魯棒控制器設(shè)計(jì)問題展開研究。文獻(xiàn)[6]研究了傳統(tǒng)容錯(cuò)控制方法難以保證非線性系統(tǒng)在執(zhí)行器和傳感器多故障并發(fā)情形下的穩(wěn)定性問題。文獻(xiàn)[7]考慮帶有執(zhí)行器故障和分布時(shí)滯的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，研究了一類魯棒容錯(cuò)H∞控制器的設(shè)計(jì)問題。文獻(xiàn)[8]針對具有時(shí)滯時(shí)變的非線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，研究了基于離散事件觸發(fā)方案的主動(dòng)和被動(dòng)容錯(cuò)控制問題。

目前的研究大都僅單一地分別針對執(zhí)行器或傳感器故障設(shè)計(jì)容錯(cuò)控制器以保障系統(tǒng)穩(wěn)定[9]。然而在復(fù)雜的實(shí)際控制系統(tǒng)中,多處執(zhí)行器和傳感器故障完全可能同時(shí)并存,因此針對單一類型故障設(shè)計(jì)得到的容錯(cuò)控制器就不一定能夠穩(wěn)定多類別故障并發(fā)系統(tǒng),存在較大安全隱患。文獻(xiàn)[10]考慮了狀態(tài)不可測時(shí)一類網(wǎng)絡(luò)切換系統(tǒng)的魯棒H∞控制問題，針對既有傳感器失效，又有執(zhí)行器失效的故障情況，設(shè)計(jì)了一種狀態(tài)反饋控制器。

本文針對含有數(shù)據(jù)丟包和時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，對執(zhí)行器以及傳感器同時(shí)出現(xiàn)故障的情況，建立了針對系統(tǒng)的故障模型。結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定理論和Schur補(bǔ)引理以及狀態(tài)反饋的有關(guān)知識，推出滿足傳感器和執(zhí)行器均出現(xiàn)故障但仍能穩(wěn)定運(yùn)行的條件，并通過LMI工具箱計(jì)算出關(guān)于狀態(tài)反饋的系數(shù)，設(shè)計(jì)出有效的具有魯棒特性的容錯(cuò)控制器。最后通過算例證明了方法的可行性。

1 T-S模糊模型的建立

考慮下述由T-S模糊模型近似描述具有參數(shù)不確定性的非線性時(shí)延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，第i條模糊規(guī)則可表示如下。

如果θ1(t)是Mi1，并且θs(t)是Mis,則:

(1)

式中：x(t)為狀態(tài)向量；u(t)為控制輸入向量；y(t)是被控輸出向量；ω(t)為外界擾動(dòng)；i=1，2,…,r,r為模糊規(guī)則數(shù)；θ1(t),θ2(t),…,θs(t)為前提變量，Mij(i=1,2,…,r;j=1,2,…,s)是和規(guī)則數(shù)相對應(yīng)的模糊集合；Ai,Bi,Ci,Di,Bli為有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)值常數(shù)矩陣；ΔAi和ΔBi是具有時(shí)變特征的不確定參數(shù)矩陣且具有如下結(jié)構(gòu)：

[ΔAiΔBi]=GP(t)[UaiUbi]

(2)

式中：G、Ua和Ub為已知適當(dāng)維數(shù)常值矩陣；P(t)為不確定矩陣，滿足：

PT(t)P(t)≤I

(3)

2 故障模型的建立

針對執(zhí)行器故障和傳感器故障，用矩陣F表示可能的執(zhí)行器故障模式，其形式為

F=diag{f1,f2,…,fm}

當(dāng)fi=0時(shí)，表示第i個(gè)執(zhí)行器完全失效；當(dāng)fi=1時(shí)，表示第i個(gè)執(zhí)行器正常工作；當(dāng)0

用矩陣M表示可能的執(zhí)行器故障模式，其形式為

M=diag{m1,m2, …,mn}

當(dāng)mj=0時(shí)，表示第j個(gè)執(zhí)行器完全失效；當(dāng)mj=1時(shí)，表示第j個(gè)執(zhí)行器正常工作；當(dāng)0

執(zhí)行器出現(xiàn)故障時(shí)，帶故障的狀態(tài)方程為

(4)

傳感器出現(xiàn)故障時(shí)，帶故障的狀態(tài)方程為

(5)

執(zhí)行器和傳感器同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)，帶故障的狀態(tài)方程為

(6)

則在網(wǎng)絡(luò)時(shí)延和丟包環(huán)境中，多故障并發(fā)時(shí)反饋控制器為

uf(t)=FKiMx(t)

(7)

采用單點(diǎn)模糊化、乘積推理以及加權(quán)平均反模糊化的方法，可得系統(tǒng)的整個(gè)狀態(tài)方程為：

t∈[qkh+τk,qk+1h+τk+1),k=1,2,…

(8)

式中：

θ(t)=[θ1(t),θ2(t),…,θs(t)]

從現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)環(huán)境出發(fā)，可以假設(shè)存在常數(shù)η≥0，使得

(qk+1-qk)h≤η

(9)

定義1考慮網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中，多故障系統(tǒng)滿足如下2個(gè)條件:

2)在零初始條件下，對給定的H∞擾動(dòng)抑制水平γ及任意的外界擾動(dòng)ω(t)∈L2[0,∞)，控制輸出y(t)滿足：

(10)

則稱系統(tǒng)式(6)是魯棒漸近穩(wěn)定的，且具有H∞范數(shù)界γ。

3 控制器設(shè)計(jì)

引理1[11]對矩陣Xi和Yj(1≤i≤r)，以及適當(dāng)維數(shù)矩陣S>0，下述不等式成立：

(11)

1)S<0

引理3[11]設(shè)x(t)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，對任意矩陣R=RT>0和M1、M2，以及標(biāo)量函數(shù)τ≥0，有以下不等式成立：

τξT(t)YTR-1Yξ(t)

(12)

式中：ξ(t)=[xT(t)xT(t-τ)]T，Y=[M1M2]。

(13)

式中：

Ξ44=

則存在控制器式(7)使得閉環(huán)系統(tǒng)式(8)魯棒漸近穩(wěn)定。

證明構(gòu)建Lyapunov-Krasovsk泛函

(14)

則V(t)的導(dǎo)數(shù)為

xT(t-τm)N1x(t-τm)-

t∈[qkh+τk,qk+1h+τk+1),k=1,2,...,n

(15)

對式(15)中積分項(xiàng)根據(jù)引理3，有下列積分不等式成立：

(16)

(17)

(18)

(19)

式中：

ξ1(t)=[xT(t)xT(t-τm)]T

ξ2(t)=[xT(t)xT(t-η)]T

ξ3(t)=[xT(t-τm)xT(qkh)]T

ξ4(t)=[xT(qkh)xT(t-η)]T

由引理1可知：

[Cix(t)+DiFKjMx(qkh)]

(20)

將式(16)～(19)代入式(15)，并結(jié)合式(20)可推出：

(21)

式中：

當(dāng)ω≡0時(shí)，可得

(22)

式中：

←xT(t-τm)xT(t-η)]T

ζ=[CiDiFKjM0 0]

(23)

由式(23)可知，φij<0時(shí)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

同時(shí)可得

(24)

從qkh+τk到t∈[qkh+τk,qk+1h+τk+1)對式(24)兩邊進(jìn)行積分，即:

(25)

令t→∞，在零初始條件下可得

(26)

綜上所述，根據(jù)定義當(dāng)Φij<0，系統(tǒng)魯棒漸近穩(wěn)定，且滿足H∞范數(shù)界γ。

下面證明式(13)成立和Φij<0等價(jià)。由Schur補(bǔ)定理可知Φij<0等價(jià)于:

(27)

式中:

β11=

(28)

式中：

φ1=[(WG)T0 0 0 0]T

φ2=[UaiUbiF0KjM00 0 0]

Λ1=[0KjM00 0 0]T

← 0 0 0 0]

根據(jù)引理4可知，存在α1>0,α2>0使得如下不等式成立:

(29)

不等式左側(cè)乘：

4 算例仿真

針對T-S模糊NCS模型，選取模糊數(shù)據(jù)：

現(xiàn)分幾種情況進(jìn)行討論。

故障類型1：考慮執(zhí)行器故障的情形，令反饋控制控制器uf(t)=FKiMx(t)中的M=I。無外部擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)仿真曲線如圖1所示；存在外部擾動(dòng)信號ω(t)=0.5 sin(2πt)時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)仿真曲線如圖2所示。

由圖1可以看出在執(zhí)行器發(fā)生故障且沒有外部擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)在1～2 s趨于穩(wěn)定;圖2是當(dāng)系統(tǒng)加入外部擾動(dòng)ω(t)=0.5 sin(2πt)時(shí)，設(shè)計(jì)的容錯(cuò)控制器同樣能使系統(tǒng)快速趨于穩(wěn)定，針對系統(tǒng)發(fā)生單一的執(zhí)行器故障，控制器具有很好的控制效果。

故障類型2：考慮傳感器故障的情形，令反饋控制控制器uf(t)=FKiMx(t)中的F=I。無外部擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)仿真曲線如圖3所示；存在外部擾動(dòng)信號ω(t)=0.5sin(2πt)時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)仿真曲線如圖4所示。

由圖3可以看出在傳感器發(fā)生故障且沒有添加外部擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)在2 s附近趨于穩(wěn)定；圖4是當(dāng)系統(tǒng)加入外部擾動(dòng)ω(t)=0.5sin(2πt)時(shí)，設(shè)計(jì)的容錯(cuò)控制器能使系統(tǒng)在2 s附近趨于穩(wěn)定，控制效果較理想。

故障類型3：考慮執(zhí)行器和傳感器同時(shí)失效故障的情形，令反饋控制控制器uf(t)=FKiMx(t)中的F=M=0.75。無外部擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)仿真曲線如圖5所示；存在外部擾動(dòng)信號ω(t)=0.5sin(2πt)時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)仿真曲線如圖6所示。

由圖5可以看出在執(zhí)行器和傳感器同時(shí)失效且沒有外部擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)在1～2 s趨于穩(wěn)定；圖6是當(dāng)系統(tǒng)加入外部擾動(dòng)ω(t)=0.5sin(2πt)時(shí)，設(shè)計(jì)的容錯(cuò)控制器能使系統(tǒng)在2～3 s趨于穩(wěn)定，具有很好的控制效果，滿足本文的設(shè)計(jì)要求，從而驗(yàn)證了結(jié)論的合理性和可行性。

從圖1～6可以看出，3種故障類型的狀態(tài)x1和狀態(tài)x2的響應(yīng)曲線都能達(dá)到收斂效果，最終穩(wěn)定。無論是考慮單一故障還是多故障，所設(shè)計(jì)的NCS的容錯(cuò)控制器均能達(dá)到很好的控制效果，使控制系統(tǒng)在出現(xiàn)故障的情況下仍然能夠達(dá)到穩(wěn)定的狀態(tài)，且具有一定的抗擾動(dòng)性能。

5 結(jié)束語

本文針對執(zhí)行器和傳感器同時(shí)失效的故障情況，建立了一類同時(shí)具有不確定時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)故障模型，研究了一類非線性 NCS 的模糊H∞容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì)問題；利用了網(wǎng)絡(luò)化 T-S 模糊模型去逼近此類非線性 NCS；給出了時(shí)延、丟包、執(zhí)行器和傳感器同時(shí)失效的故障情形下模糊控制器存在的充分條件。并對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的魯棒容錯(cuò)控制進(jìn)行了分析，給出了控制系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定的充分條件，設(shè)計(jì)了魯棒容錯(cuò)控制器。進(jìn)行了數(shù)值仿真驗(yàn)證了結(jié)論的合理性和可行性。