莫云飛,周群益,侯兆陽(yáng),周麗麗
(1.長(zhǎng)沙學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410022; 2.廣州理工學(xué)院,廣東 廣州 510540;3.長(zhǎng)安大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用物理系,陜西 西安 710064;4.贛南醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院,江西 贛州 341000)
無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電薄板的電場(chǎng)是電磁場(chǎng)理論中的一個(gè)典型問(wèn)題,一般教材只要求計(jì)算中垂線和薄板平面上的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度[1].有的文獻(xiàn)計(jì)算了全部空間的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度,其根據(jù)無(wú)限長(zhǎng)直線電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式和場(chǎng)強(qiáng)疊加原理[2].不過(guò),教材和文獻(xiàn)缺乏可視的圖像,也沒(méi)有對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析.本文根據(jù)無(wú)限長(zhǎng)直線電荷的電勢(shì)公式和電勢(shì)疊加原理求電勢(shì),再利用電場(chǎng)與電勢(shì)的關(guān)系簡(jiǎn)單地求出場(chǎng)強(qiáng),并將公式無(wú)量綱化,計(jì)算和繪制了電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)的分布曲面以及二維電場(chǎng)線與等勢(shì)線,充分顯示了電場(chǎng)的分布規(guī)律.
無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線的電勢(shì)為[3-5]
(1)
其中,k為靜電力常數(shù),λ是電荷的電密度,r是場(chǎng)點(diǎn)到直線的距離,r0是零勢(shì)點(diǎn)到直線的距離.
圖1表示無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電薄板的截面,設(shè)薄板的寬度為2L,電荷面密度為σ(> 0),則電荷線密度為λ= 2Lσ.在截面上取一寬度為dl的線元,代表垂直紙面的無(wú)線長(zhǎng)直線,電荷的線密度為 dλ=σdl,到場(chǎng)點(diǎn)的距離為
(2)
產(chǎn)生的電勢(shì)為
薄板產(chǎn)生的電勢(shì)為
U=U(x,y)
利用分部積分法可得
(3)
取薄板中心線處的電勢(shì)為零,即:當(dāng)x→0,y→0時(shí),U→0,可得r0=L/e,因此得
U=U(x,y)
(4)
其中
(5)
這里,r2和r1分別是場(chǎng)點(diǎn)P到薄板右端和左端的距離,k2和k1分別是角度θ2和θ1的正切.
場(chǎng)強(qiáng)的x分量為
(6a)
場(chǎng)強(qiáng)的y分量為
= 2kσ(arctank1- arctank2)
(6b)
合場(chǎng)強(qiáng)大小和方向分別為
(7)
[討論]①當(dāng)x= 0時(shí),中垂線上的電勢(shì)為
(8)
當(dāng)y→0時(shí),U(0,y)→0,說(shuō)明板的中心線是零電勢(shì)線.中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)的分量為
(9)
如果L< (10) 這正好是無(wú)限長(zhǎng)帶電直線的電場(chǎng).如果L→∞,在y> 0的中垂線上,由式(9)可得 (11a) 在y< 0的中垂線上,由式(9)可得 (11b) 這正好是無(wú)限大帶電平面兩側(cè)的場(chǎng)強(qiáng)公式. ②當(dāng)y= 0時(shí),帶電薄板平面上的電勢(shì)為 (12) 當(dāng)x→0時(shí),U(x,0)→0,也說(shuō)明板的中心線是零電勢(shì)線.場(chǎng)強(qiáng)的一個(gè)分量為 (13a) 在帶電薄板外,|x| >L,當(dāng)y→0時(shí),場(chǎng)強(qiáng)的分量為 Ey(x,y)→0 (13b) 在板面上,|x| Ey(x,0+)→+2πkσ=σ/2ε0 (13c) 當(dāng)y→0時(shí),場(chǎng)強(qiáng)的分量為 Ey(x,0-)→-2πkσ= -σ/2ε0 (13d) 正負(fù)號(hào)說(shuō)明薄板兩側(cè)場(chǎng)強(qiáng)y分量的方向相反.可見(jiàn):薄板兩側(cè)場(chǎng)強(qiáng)的y分量接近于無(wú)限大帶電薄板產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng). ③當(dāng)|x| >>L且|y| >>L時(shí),由式(5)可得 (14a) (14b) 將r1和r2代入式(6a),可得 Ex(x,y)=2kσ(lnr1-lnr2) (15a) 由式(6b)可得 (15b) 將Ex和Ey代入式(7),可得 (16) 薄板在遠(yuǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)接近于無(wú)限長(zhǎng)直線電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng). 取L為長(zhǎng)度單位,則無(wú)量綱的距離為r*=r/L.取U0=kλ= 2Lkσ為電勢(shì)單位,取r0=L/e處為勢(shì)能零點(diǎn),將r0=L/e代入式(1),可得無(wú)限長(zhǎng)直線電荷的無(wú)量綱的電勢(shì)為 (1*) 設(shè)E0=kλ/L= 2kσ,顯然,E0=U0/L.取E0為場(chǎng)強(qiáng)單位,則無(wú)限長(zhǎng)直線電荷的無(wú)量綱的場(chǎng)強(qiáng)為 (16*) 取無(wú)量綱的坐標(biāo)為x*=x/L,y*=y/L,則無(wú)量綱的距離與θ2和θ1的正切分別為 (5*) 取U0=kλ= 2Lkσ為電勢(shì)單位,則無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電薄板的無(wú)量綱電勢(shì)為 (4*) 取E0為場(chǎng)強(qiáng)單位,則無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電薄板的無(wú)量綱的場(chǎng)強(qiáng)分量為 (6a*) (6b*) 無(wú)量綱的合場(chǎng)強(qiáng)大小和方向分別為 (7*) 中垂線和薄板平面上的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)也可以做無(wú)量綱化處理. 將公式無(wú)量綱化就能做純數(shù)值計(jì)算. (1)無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電薄板電荷在中垂線上產(chǎn)生的電勢(shì)U(0,y)的曲線如圖2之上圖所示,U(0,y)是y的偶函數(shù),離薄板越近,電勢(shì)越高,y= 0處是一個(gè)尖點(diǎn);當(dāng)距離比較遠(yuǎn)時(shí),其電勢(shì)接近于線電荷產(chǎn)生的電勢(shì).如圖2之下圖所示,中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)分量Ex(0,y) = 0,而分量Ey(0,y)是y的奇函數(shù),說(shuō)明薄板兩邊場(chǎng)強(qiáng)的方向相反,離薄板越近,場(chǎng)強(qiáng)越大;場(chǎng)強(qiáng)在y= 0處發(fā)生跳躍,這是因?yàn)閁(0,y)在此處是尖點(diǎn);當(dāng)距離比較遠(yuǎn)時(shí),其場(chǎng)強(qiáng)接近于線電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng). (2)薄板電荷在板平面產(chǎn)生的電勢(shì)U(x,0)的曲線如圖3之上圖所示,U(x,0)是x的偶函數(shù),軸心的電勢(shì)最高,離軸心越遠(yuǎn),電勢(shì)越低,說(shuō)明薄板不是一個(gè)等勢(shì)面,這是因?yàn)榫鶆驇щ姷木壒剩辉诎宓倪吘墄= ±L處的電勢(shì)是拐點(diǎn);當(dāng)距離比較遠(yuǎn)時(shí),其電勢(shì)接近于線電荷產(chǎn)生的電勢(shì).如圖3之下圖所示,薄板平面上的電場(chǎng)分量Ex(x,0)是x的奇函數(shù),Ex在板內(nèi)是單調(diào)上升的曲線,在薄板外是單調(diào)下降的曲線,板的邊緣x= ±L處的場(chǎng)強(qiáng)在理論上是無(wú)窮大;當(dāng)距離比較遠(yuǎn)時(shí),Ex接近于線電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng). (3)薄板電荷的電勢(shì)U(x,y)分布面如圖4所示,點(diǎn)(0,0)的電勢(shì)最高,薄板不是等勢(shì)面;三維等勢(shì)線分布在曲面上,中垂線上的電勢(shì)U(0,y)的曲線和板平面上的電勢(shì)U(x,0)的曲線分布在曲面上. (4)薄板電荷產(chǎn)生電場(chǎng)的x分量Ex(x,y)的曲面如圖5所示,Ex有一對(duì)對(duì)稱(chēng)的“峰”和“谷”,這是薄板邊緣的Ex,(±L,0)處的Ex在理論上是無(wú)窮大.中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)Ex(0,y) = 0的直線和板平面上場(chǎng)強(qiáng)Ex(x,0)的曲線分布在曲面上. (5)薄板電荷產(chǎn)生電場(chǎng)的y分量Ey(x,y)的曲面如圖6所示,Ey有一個(gè)“峭壁”,位于薄板所在處,說(shuō)明薄板兩邊電場(chǎng)y分量Ey(x,y)的方向相反.中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)Ey(0,y)的曲線分布在曲面上,板平面上場(chǎng)強(qiáng)Ey(x,0)的分段直線也分布在曲面上. (7)合場(chǎng)強(qiáng)E(x,y)的方向角α(x,y)曲面如圖8所示,α隨著極角的增加而增加.在y= 0,x>L的正軸上,α= 0;在x= 0,y> 0的正軸上,α= π/2;在x= 0,y< 0的負(fù)軸上,α= -π/2;在y= 0,x< -L的負(fù)軸上,α發(fā)生從π到-π的躍變,形成一個(gè)豎直矩形面;在y= 0,-L (8)薄板電荷的等勢(shì)線和電場(chǎng)線如圖9所示,盡管薄板表面的場(chǎng)強(qiáng)不是均勻的,為了簡(jiǎn)單起見(jiàn),電場(chǎng)線的起點(diǎn)仍然均勻取在薄板的表面上;在薄板附近,等勢(shì)線和電場(chǎng)線都比較密集,場(chǎng)強(qiáng)比較大,但是,電場(chǎng)線一般不與板面垂直,說(shuō)明薄板表面不是等勢(shì)面;電場(chǎng)線與等勢(shì)線垂直,遠(yuǎn)處的電場(chǎng)線接近于直線,等勢(shì)線接近于圓. 本文建立了均勻帶電薄板在直角坐標(biāo)系中的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度公式,通過(guò)無(wú)量綱化處理,解決了有關(guān)的計(jì)算和可視化的問(wèn)題.可視化可以直觀顯示物理規(guī)律.電勢(shì)曲線和曲面顯示:均勻帶電薄板并不是等勢(shì)面.合場(chǎng)強(qiáng)曲面顯示:薄板邊緣的場(chǎng)強(qiáng)很大.二維等勢(shì)線和電場(chǎng)線顯示:電場(chǎng)線與板面一般不垂直,均勻帶電薄板不可能是金屬板. 利用本文的方法和結(jié)果可以深入討論均勻帶電平行板電容器的電勢(shì)和電場(chǎng)以及能量的分布規(guī)律. 作者設(shè)計(jì)了兩個(gè)MATLAB程序(見(jiàn)附錄),解決了全部計(jì)算和繪圖問(wèn)題.掌握程序設(shè)計(jì)方法是提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的有效手段.2 電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)公式的無(wú)量綱化
3 電場(chǎng)的可視化
4 結(jié)論