莫云飛，周群益，侯兆陽(yáng)，周麗麗

(1.長(zhǎng)沙學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410022； 2.廣州理工學(xué)院，廣東 廣州 510540；3.長(zhǎng)安大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用物理系，陜西 西安 710064；4.贛南醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院，江西 贛州 341000)

無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電薄板的電場(chǎng)是電磁場(chǎng)理論中的一個(gè)典型問(wèn)題，一般教材只要求計(jì)算中垂線和薄板平面上的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度[1].有的文獻(xiàn)計(jì)算了全部空間的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度，其根據(jù)無(wú)限長(zhǎng)直線電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式和場(chǎng)強(qiáng)疊加原理[2].不過(guò)，教材和文獻(xiàn)缺乏可視的圖像，也沒(méi)有對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析.本文根據(jù)無(wú)限長(zhǎng)直線電荷的電勢(shì)公式和電勢(shì)疊加原理求電勢(shì)，再利用電場(chǎng)與電勢(shì)的關(guān)系簡(jiǎn)單地求出場(chǎng)強(qiáng)，并將公式無(wú)量綱化，計(jì)算和繪制了電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)的分布曲面以及二維電場(chǎng)線與等勢(shì)線，充分顯示了電場(chǎng)的分布規(guī)律.

1 無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電薄板的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)

無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線的電勢(shì)為[3-5]

(1)

其中，k為靜電力常數(shù)，λ是電荷的電密度，r是場(chǎng)點(diǎn)到直線的距離，r0是零勢(shì)點(diǎn)到直線的距離.

圖1表示無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電薄板的截面，設(shè)薄板的寬度為2L，電荷面密度為σ(> 0)，則電荷線密度為λ= 2Lσ.在截面上取一寬度為dl的線元，代表垂直紙面的無(wú)線長(zhǎng)直線，電荷的線密度為 dλ=σdl，到場(chǎng)點(diǎn)的距離為

(2)

產(chǎn)生的電勢(shì)為

薄板產(chǎn)生的電勢(shì)為

U=U(x,y)

利用分部積分法可得

(3)

取薄板中心線處的電勢(shì)為零，即：當(dāng)x→0，y→0時(shí)，U→0，可得r0=L/e，因此得

U=U(x,y)

(4)

其中

(5)

這里，r2和r1分別是場(chǎng)點(diǎn)P到薄板右端和左端的距離，k2和k1分別是角度θ2和θ1的正切.

場(chǎng)強(qiáng)的x分量為

(6a)

場(chǎng)強(qiáng)的y分量為

= 2kσ(arctank1- arctank2)

(6b)

合場(chǎng)強(qiáng)大小和方向分別為

(7)

[討論]①當(dāng)x= 0時(shí)，中垂線上的電勢(shì)為

(8)

當(dāng)y→0時(shí)，U(0,y)→0，說(shuō)明板的中心線是零電勢(shì)線.中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)的分量為

(9)

如果L<

(10)

這正好是無(wú)限長(zhǎng)帶電直線的電場(chǎng).如果L→∞，在y> 0的中垂線上，由式(9)可得

(11a)

在y< 0的中垂線上，由式(9)可得

(11b)

這正好是無(wú)限大帶電平面兩側(cè)的場(chǎng)強(qiáng)公式.

②當(dāng)y= 0時(shí)，帶電薄板平面上的電勢(shì)為

(12)

當(dāng)x→0時(shí)，U(x,0)→0，也說(shuō)明板的中心線是零電勢(shì)線.場(chǎng)強(qiáng)的一個(gè)分量為

(13a)

在帶電薄板外，|x| >L，當(dāng)y→0時(shí)，場(chǎng)強(qiáng)的分量為

Ey(x,y)→0

(13b)

在板面上，|x|

Ey(x,0+)→+2πkσ=σ/2ε0

(13c)

當(dāng)y→0時(shí)，場(chǎng)強(qiáng)的分量為

Ey(x,0-)→-2πkσ= -σ/2ε0

(13d)

正負(fù)號(hào)說(shuō)明薄板兩側(cè)場(chǎng)強(qiáng)y分量的方向相反.可見(jiàn)：薄板兩側(cè)場(chǎng)強(qiáng)的y分量接近于無(wú)限大帶電薄板產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng).

③當(dāng)|x| >>L且|y| >>L時(shí)，由式(5)可得

(14a)

(14b)

將r1和r2代入式(6a)，可得

Ex(x,y)=2kσ(lnr1-lnr2)

(15a)

由式(6b)可得

(15b)

將Ex和Ey代入式(7)，可得

(16)

薄板在遠(yuǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)接近于無(wú)限長(zhǎng)直線電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng).

2 電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)公式的無(wú)量綱化

取L為長(zhǎng)度單位，則無(wú)量綱的距離為r*=r/L.取U0=kλ= 2Lkσ為電勢(shì)單位，取r0=L/e處為勢(shì)能零點(diǎn)，將r0=L/e代入式(1)，可得無(wú)限長(zhǎng)直線電荷的無(wú)量綱的電勢(shì)為

(1*)

設(shè)E0=kλ/L= 2kσ，顯然，E0=U0/L.取E0為場(chǎng)強(qiáng)單位，則無(wú)限長(zhǎng)直線電荷的無(wú)量綱的場(chǎng)強(qiáng)為

(16*)

取無(wú)量綱的坐標(biāo)為x*=x/L，y*=y/L，則無(wú)量綱的距離與θ2和θ1的正切分別為

(5*)

取U0=kλ= 2Lkσ為電勢(shì)單位，則無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電薄板的無(wú)量綱電勢(shì)為

(4*)

取E0為場(chǎng)強(qiáng)單位，則無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電薄板的無(wú)量綱的場(chǎng)強(qiáng)分量為

(6a*)

(6b*)

無(wú)量綱的合場(chǎng)強(qiáng)大小和方向分別為

(7*)

中垂線和薄板平面上的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)也可以做無(wú)量綱化處理.

將公式無(wú)量綱化就能做純數(shù)值計(jì)算.

3 電場(chǎng)的可視化

(1)無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電薄板電荷在中垂線上產(chǎn)生的電勢(shì)U(0,y)的曲線如圖2之上圖所示，U(0,y)是y的偶函數(shù)，離薄板越近，電勢(shì)越高，y= 0處是一個(gè)尖點(diǎn)；當(dāng)距離比較遠(yuǎn)時(shí)，其電勢(shì)接近于線電荷產(chǎn)生的電勢(shì).如圖2之下圖所示，中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)分量Ex(0,y) = 0，而分量Ey(0,y)是y的奇函數(shù)，說(shuō)明薄板兩邊場(chǎng)強(qiáng)的方向相反，離薄板越近，場(chǎng)強(qiáng)越大；場(chǎng)強(qiáng)在y= 0處發(fā)生跳躍，這是因?yàn)閁(0,y)在此處是尖點(diǎn)；當(dāng)距離比較遠(yuǎn)時(shí)，其場(chǎng)強(qiáng)接近于線電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng).

(2)薄板電荷在板平面產(chǎn)生的電勢(shì)U(x,0)的曲線如圖3之上圖所示，U(x,0)是x的偶函數(shù)，軸心的電勢(shì)最高，離軸心越遠(yuǎn)，電勢(shì)越低，說(shuō)明薄板不是一個(gè)等勢(shì)面，這是因?yàn)榫鶆驇щ姷木壒剩辉诎宓倪吘墄= ±L處的電勢(shì)是拐點(diǎn)；當(dāng)距離比較遠(yuǎn)時(shí)，其電勢(shì)接近于線電荷產(chǎn)生的電勢(shì).如圖3之下圖所示，薄板平面上的電場(chǎng)分量Ex(x,0)是x的奇函數(shù)，Ex在板內(nèi)是單調(diào)上升的曲線，在薄板外是單調(diào)下降的曲線，板的邊緣x= ±L處的場(chǎng)強(qiáng)在理論上是無(wú)窮大；當(dāng)距離比較遠(yuǎn)時(shí)，Ex接近于線電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng).

(3)薄板電荷的電勢(shì)U(x,y)分布面如圖4所示，點(diǎn)(0,0)的電勢(shì)最高，薄板不是等勢(shì)面；三維等勢(shì)線分布在曲面上，中垂線上的電勢(shì)U(0,y)的曲線和板平面上的電勢(shì)U(x,0)的曲線分布在曲面上.

(4)薄板電荷產(chǎn)生電場(chǎng)的x分量Ex(x,y)的曲面如圖5所示，Ex有一對(duì)對(duì)稱(chēng)的“峰”和“谷”，這是薄板邊緣的Ex，(±L,0)處的Ex在理論上是無(wú)窮大.中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)Ex(0,y) = 0的直線和板平面上場(chǎng)強(qiáng)Ex(x,0)的曲線分布在曲面上.

(5)薄板電荷產(chǎn)生電場(chǎng)的y分量Ey(x,y)的曲面如圖6所示，Ey有一個(gè)“峭壁”，位于薄板所在處，說(shuō)明薄板兩邊電場(chǎng)y分量Ey(x,y)的方向相反.中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)Ey(0,y)的曲線分布在曲面上，板平面上場(chǎng)強(qiáng)Ey(x,0)的分段直線也分布在曲面上.

(7)合場(chǎng)強(qiáng)E(x,y)的方向角α(x,y)曲面如圖8所示，α隨著極角的增加而增加.在y= 0，x>L的正軸上，α= 0；在x= 0，y> 0的正軸上，α= π/2；在x= 0，y< 0的負(fù)軸上，α= -π/2；在y= 0，x< -L的負(fù)軸上，α發(fā)生從π到-π的躍變，形成一個(gè)豎直矩形面；在y= 0，-L

(8)薄板電荷的等勢(shì)線和電場(chǎng)線如圖9所示，盡管薄板表面的場(chǎng)強(qiáng)不是均勻的，為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，電場(chǎng)線的起點(diǎn)仍然均勻取在薄板的表面上；在薄板附近，等勢(shì)線和電場(chǎng)線都比較密集，場(chǎng)強(qiáng)比較大，但是，電場(chǎng)線一般不與板面垂直，說(shuō)明薄板表面不是等勢(shì)面；電場(chǎng)線與等勢(shì)線垂直，遠(yuǎn)處的電場(chǎng)線接近于直線，等勢(shì)線接近于圓.

4 結(jié)論

本文建立了均勻帶電薄板在直角坐標(biāo)系中的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度公式，通過(guò)無(wú)量綱化處理，解決了有關(guān)的計(jì)算和可視化的問(wèn)題.可視化可以直觀顯示物理規(guī)律.電勢(shì)曲線和曲面顯示：均勻帶電薄板并不是等勢(shì)面.合場(chǎng)強(qiáng)曲面顯示：薄板邊緣的場(chǎng)強(qiáng)很大.二維等勢(shì)線和電場(chǎng)線顯示：電場(chǎng)線與板面一般不垂直，均勻帶電薄板不可能是金屬板.

利用本文的方法和結(jié)果可以深入討論均勻帶電平行板電容器的電勢(shì)和電場(chǎng)以及能量的分布規(guī)律.

作者設(shè)計(jì)了兩個(gè)MATLAB程序(見(jiàn)附錄)，解決了全部計(jì)算和繪圖問(wèn)題.掌握程序設(shè)計(jì)方法是提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的有效手段.