莫云飛，周群益，侯兆陽，周麗麗

(1.長沙學院電子信息與電氣工程學院，湖南 長沙 410022； 2.廣州理工學院，廣東 廣州 510540；3.長安大學理學院應用物理系，陜西 西安 710064；4.贛南醫(yī)學院信息工程學院，江西 贛州 341000)

無限長均勻帶電薄板的電場是電磁場理論中的一個典型問題，一般教材只要求計算中垂線和薄板平面上的電勢和電場強度[1].有的文獻計算了全部空間的電勢和電場強度，其根據(jù)無限長直線電荷的場強公式和場強疊加原理[2].不過，教材和文獻缺乏可視的圖像，也沒有對結果進行分析.本文根據(jù)無限長直線電荷的電勢公式和電勢疊加原理求電勢，再利用電場與電勢的關系簡單地求出場強，并將公式無量綱化，計算和繪制了電勢和場強的分布曲面以及二維電場線與等勢線，充分顯示了電場的分布規(guī)律.

1 無限長均勻帶電薄板的電勢和場強

無限長均勻帶電直線的電勢為[3-5]

(1)

其中，k為靜電力常數(shù)，λ是電荷的電密度，r是場點到直線的距離，r0是零勢點到直線的距離.

圖1表示無限長均勻帶電薄板的截面，設薄板的寬度為2L，電荷面密度為σ(> 0)，則電荷線密度為λ= 2Lσ.在截面上取一寬度為dl的線元，代表垂直紙面的無線長直線，電荷的線密度為 dλ=σdl，到場點的距離為

(2)

產(chǎn)生的電勢為

薄板產(chǎn)生的電勢為

U=U(x,y)

利用分部積分法可得

(3)

取薄板中心線處的電勢為零，即：當x→0，y→0時，U→0，可得r0=L/e，因此得

U=U(x,y)

(4)

其中

(5)

這里，r2和r1分別是場點P到薄板右端和左端的距離，k2和k1分別是角度θ2和θ1的正切.

場強的x分量為

(6a)

場強的y分量為

= 2kσ(arctank1- arctank2)

(6b)

合場強大小和方向分別為

(7)

[討論]①當x= 0時，中垂線上的電勢為

(8)

當y→0時，U(0,y)→0，說明板的中心線是零電勢線.中垂線上的場強的分量為

(9)

如果L<

(10)

這正好是無限長帶電直線的電場.如果L→∞，在y> 0的中垂線上，由式(9)可得

(11a)

在y< 0的中垂線上，由式(9)可得

(11b)

這正好是無限大帶電平面兩側的場強公式.

②當y= 0時，帶電薄板平面上的電勢為

(12)

當x→0時，U(x,0)→0，也說明板的中心線是零電勢線.場強的一個分量為

(13a)

在帶電薄板外，|x| >L，當y→0時，場強的分量為

Ey(x,y)→0

(13b)

在板面上，|x|

Ey(x,0+)→+2πkσ=σ/2ε0

(13c)

當y→0時，場強的分量為

Ey(x,0-)→-2πkσ= -σ/2ε0

(13d)

正負號說明薄板兩側場強y分量的方向相反.可見：薄板兩側場強的y分量接近于無限大帶電薄板產(chǎn)生的場強.

③當|x| >>L且|y| >>L時，由式(5)可得

(14a)

(14b)

將r1和r2代入式(6a)，可得

Ex(x,y)=2kσ(lnr1-lnr2)

(15a)

由式(6b)可得

(15b)

將Ex和Ey代入式(7)，可得

(16)

薄板在遠處產(chǎn)生的場強接近于無限長直線電荷產(chǎn)生的場強.

2 電勢和場強公式的無量綱化

取L為長度單位，則無量綱的距離為r*=r/L.取U0=kλ= 2Lkσ為電勢單位，取r0=L/e處為勢能零點，將r0=L/e代入式(1)，可得無限長直線電荷的無量綱的電勢為

(1*)

設E0=kλ/L= 2kσ，顯然，E0=U0/L.取E0為場強單位，則無限長直線電荷的無量綱的場強為

(16*)

取無量綱的坐標為x*=x/L，y*=y/L，則無量綱的距離與θ2和θ1的正切分別為

(5*)

取U0=kλ= 2Lkσ為電勢單位，則無限長均勻帶電薄板的無量綱電勢為

(4*)

取E0為場強單位，則無限長均勻帶電薄板的無量綱的場強分量為

(6a*)

(6b*)

無量綱的合場強大小和方向分別為

(7*)

中垂線和薄板平面上的電勢和場強也可以做無量綱化處理.

將公式無量綱化就能做純數(shù)值計算.

3 電場的可視化

(1)無限長均勻帶電薄板電荷在中垂線上產(chǎn)生的電勢U(0,y)的曲線如圖2之上圖所示，U(0,y)是y的偶函數(shù)，離薄板越近，電勢越高，y= 0處是一個尖點；當距離比較遠時，其電勢接近于線電荷產(chǎn)生的電勢.如圖2之下圖所示，中垂線上的場強分量Ex(0,y) = 0，而分量Ey(0,y)是y的奇函數(shù)，說明薄板兩邊場強的方向相反，離薄板越近，場強越大；場強在y= 0處發(fā)生跳躍，這是因為U(0,y)在此處是尖點；當距離比較遠時，其場強接近于線電荷產(chǎn)生的場強.

(2)薄板電荷在板平面產(chǎn)生的電勢U(x,0)的曲線如圖3之上圖所示，U(x,0)是x的偶函數(shù)，軸心的電勢最高，離軸心越遠，電勢越低，說明薄板不是一個等勢面，這是因為均勻帶電的緣故；在板的邊緣x= ±L處的電勢是拐點；當距離比較遠時，其電勢接近于線電荷產(chǎn)生的電勢.如圖3之下圖所示，薄板平面上的電場分量Ex(x,0)是x的奇函數(shù)，Ex在板內(nèi)是單調(diào)上升的曲線，在薄板外是單調(diào)下降的曲線，板的邊緣x= ±L處的場強在理論上是無窮大；當距離比較遠時，Ex接近于線電荷產(chǎn)生的場強.

(3)薄板電荷的電勢U(x,y)分布面如圖4所示，點(0,0)的電勢最高，薄板不是等勢面；三維等勢線分布在曲面上，中垂線上的電勢U(0,y)的曲線和板平面上的電勢U(x,0)的曲線分布在曲面上.

(4)薄板電荷產(chǎn)生電場的x分量Ex(x,y)的曲面如圖5所示，Ex有一對對稱的“峰”和“谷”，這是薄板邊緣的Ex，(±L,0)處的Ex在理論上是無窮大.中垂線上的場強Ex(0,y) = 0的直線和板平面上場強Ex(x,0)的曲線分布在曲面上.

(5)薄板電荷產(chǎn)生電場的y分量Ey(x,y)的曲面如圖6所示，Ey有一個“峭壁”，位于薄板所在處，說明薄板兩邊電場y分量Ey(x,y)的方向相反.中垂線上的場強Ey(0,y)的曲線分布在曲面上，板平面上場強Ey(x,0)的分段直線也分布在曲面上.

(7)合場強E(x,y)的方向角α(x,y)曲面如圖8所示，α隨著極角的增加而增加.在y= 0，x>L的正軸上，α= 0；在x= 0，y> 0的正軸上，α= π/2；在x= 0，y< 0的負軸上，α= -π/2；在y= 0，x< -L的負軸上，α發(fā)生從π到-π的躍變，形成一個豎直矩形面；在y= 0，-L

(8)薄板電荷的等勢線和電場線如圖9所示，盡管薄板表面的場強不是均勻的，為了簡單起見，電場線的起點仍然均勻取在薄板的表面上；在薄板附近，等勢線和電場線都比較密集，場強比較大，但是，電場線一般不與板面垂直，說明薄板表面不是等勢面；電場線與等勢線垂直，遠處的電場線接近于直線，等勢線接近于圓.

4 結論

本文建立了均勻帶電薄板在直角坐標系中的電勢和電場強度公式，通過無量綱化處理，解決了有關的計算和可視化的問題.可視化可以直觀顯示物理規(guī)律.電勢曲線和曲面顯示：均勻帶電薄板并不是等勢面.合場強曲面顯示：薄板邊緣的場強很大.二維等勢線和電場線顯示：電場線與板面一般不垂直，均勻帶電薄板不可能是金屬板.

利用本文的方法和結果可以深入討論均勻帶電平行板電容器的電勢和電場以及能量的分布規(guī)律.

作者設計了兩個MATLAB程序(見附錄)，解決了全部計算和繪圖問題.掌握程序設計方法是提出問題和解決問題的有效手段.