◆摘 ?要：本節(jié)探討曲率的概念以及求解方法。結(jié)合實例啟發(fā)學(xué)生理解曲率的基本概念。進一步地，分析這些性質(zhì)在不同方面和背景下的應(yīng)用。

◆關(guān)鍵詞：曲率;導(dǎo)數(shù);彎曲程度

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)新生普遍會開展的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，其對學(xué)生專業(yè)課程的學(xué)習(xí)也有著積極重要的促進作用。然而，較強的邏輯推導(dǎo)和繁雜的公式讓許多學(xué)生望而生畏。如何在數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中深入淺出地講解重難知識點，形象直觀地處理代數(shù)問題，這是本文嘗試探討的主題。

在同濟大學(xué)第7版的高等數(shù)學(xué)中，第三章《微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用》第七節(jié)講解了曲率的概念及其計算。在前面的課程中我們介紹了函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)、單調(diào)性以及如何求函數(shù)的極值。連續(xù)性說明了函數(shù)是連綿不斷的，可導(dǎo)則反映了函數(shù)在某一點處的切線的斜率。從幾何上看，那些可導(dǎo)的曲線，為什么彎曲程度會有很大的不同呢？這就是本節(jié)探討的主題。我們在本文中探討如何引導(dǎo)學(xué)生運用導(dǎo)數(shù)、弧微分等工具來分析曲線的彎曲程度。推導(dǎo)如何利用弧微分來建立曲率的公式，結(jié)合具體的例題理解曲率的基本概念以及求解。并且，在實踐中結(jié)合問題的背景建立分析求解曲率的模型，運用求導(dǎo)公式等來求解實際問題中的曲率應(yīng)用。結(jié)合這一部分的內(nèi)容探討高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中如何將理論聯(lián)系實踐，調(diào)動學(xué)生的積極性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱忱與能力。

一、曲率的定義

結(jié)合引例的分析引導(dǎo)學(xué)生思考曲線彎曲程度問題的提出過程。思考如何用數(shù)學(xué)的語言將其描述出來，進而運用弧微分工具加以解決。強調(diào)對微分基本概念的理解。

u觀察與分析

問題1：結(jié)合圖形觀察曲線弧的彎曲程度與什么因素有關(guān)？

切線的轉(zhuǎn)角 弧段的長度

曲線的彎曲程度不僅與切線轉(zhuǎn)動的角度有關(guān)，還與移動的弧長有緊密關(guān)聯(lián)。結(jié)合幾何圖形啟發(fā)學(xué)生思考如何刻畫一小段弧段上的彎曲程度。怎樣度量平均曲率？

◆曲率的定義

通過曲率的分析與推導(dǎo)過程感受微積分的學(xué)習(xí)對實踐問題分析的強大作用。理解數(shù)學(xué)是從生活中提出、發(fā)展與不斷創(chuàng)新的學(xué)科。

◆曲率圓與曲率半徑

設(shè)曲線在點[M]處的曲率為[K]（[K≠0]）. 在曲線凹的一側(cè)作一個與曲線相切于[M]且半徑為[1/K ]的圓.稱其為曲線在點[M]處的曲率圓.圓心叫做曲率中心， 半徑叫做曲率半徑.

二、曲率的計算

結(jié)合例題的分析幫助學(xué)生理解曲率的計算方法。

例題1求半徑為[R]的圓上任一點處的曲率.

解：根據(jù)

曲率公式反映了曲線的彎曲程度，是解決現(xiàn)實問題特別是涉及到曲線問題的有力工具。采用特殊到一般的方式展開對曲率計算的分析。思考如何根據(jù)弧微分公式來推導(dǎo)與應(yīng)用曲率公式。

三、曲率的應(yīng)用

如何結(jié)合實際問題的背景運用曲率公式對初學(xué)微分的同學(xué)們有較高的計算技能與理論理解方面的要求。在這個過程中，涉及到大量的公式推導(dǎo)與計算，所使用的弧微分等微積分思想也比較有難度。不同的問題背景需要不一樣的設(shè)計形式，構(gòu)造方法靈活，對學(xué)生的初次學(xué)習(xí)是一個挑戰(zhàn)?？梢赃m當(dāng)?shù)匾胍恍┱n后思考題幫助學(xué)生對曲率的理解與掌握。例如，引導(dǎo)學(xué)生探討怎樣利用曲率分析砂輪問題。

思考題：設(shè)工件內(nèi)表面的截線為拋物線 [y=0.4 x2]?，F(xiàn)在要用砂輪磨削內(nèi)表面。

問用直徑多大的砂輪才比較合適？

重點指出曲率公式在刻畫曲線彎曲程度中的重要作用。在引例、例題與課后思考題的分析中啟發(fā)學(xué)生體會數(shù)學(xué)的重要作用。學(xué)會理解微分的基本思想。

四、總結(jié)與拓展

本節(jié)探討了曲率的概念與計算。引導(dǎo)學(xué)生理解弧微分以及曲率的概念。熟練掌握運用弧微分公式以及曲率公式求解各種曲線的曲率問題。并且，通過結(jié)合實際例子讓學(xué)生了解到曲率如何定量地反映了曲線的彎曲程度。并且，通過結(jié)合實際例子讓學(xué)生了解到曲率如何定量地反映了曲線的彎曲程度。培養(yǎng)學(xué)生運用弧微分以及曲率公式求解曲率的能力。提高學(xué)生合理利用以及選擇數(shù)學(xué)工具的實踐能力。

參考文獻

[1]左玲.淺談人工智能時代的工科數(shù)學(xué)教育[J].考試周刊，2018： 1673-8918.

[2]高等數(shù)學(xué).第七版上冊.同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系[M].高等教育出版社，2018.

[3] Joel Hass，Christopher Heil， Calculus， Pearson， 2003.

[4]Richard Courant， Fritz Jo， Introduction to Calculus and Analysis， Springer，2008.

作者簡介

左玲（1981.08.25—），女，漢，湖北武漢人，博士研究生，副教授，工作年限15年，湖北工業(yè)大學(xué)，理學(xué)院。

基金：湖北工業(yè)大學(xué)博士啟動基金：BSQD2016046，基于熵的半監(jiān)督算法理論分析及應(yīng)用。