張衛(wèi)貞，石 慧，曾建潮,2+，張?jiān)普?/p>

(1.太原科技大學(xué) 工業(yè)與系統(tǒng)工程研究所,山西 太原 030024; 2.中北大學(xué) 大數(shù)據(jù)與視覺計(jì)算研究所，山西 太原 030051)

0 引言

隨著信息傳感技術(shù)的發(fā)展，利用系統(tǒng)設(shè)備產(chǎn)生的數(shù)據(jù)對(duì)其故障進(jìn)行預(yù)測(cè)與健康管理(Prognostics and Health Management, PHM)已成為復(fù)雜系統(tǒng)健康狀態(tài)檢測(cè)和維修規(guī)劃的重要參考依據(jù)。PHM體系中，系統(tǒng)關(guān)鍵部件的剩余壽命預(yù)測(cè)作為核心研究?jī)?nèi)容，近年來得到了廣泛的研究?，F(xiàn)有的剩余壽命預(yù)測(cè)方法主要包括物理模型、專家知識(shí)模型和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)預(yù)測(cè)模型等。對(duì)于復(fù)雜的機(jī)械設(shè)備，物理模型的建立往往十分困難，可獲得的專家知識(shí)也不完備，因此基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的壽命預(yù)測(cè)方法逐漸受到重視[1-5]。Huang等[6]基于支持向量機(jī)算法建立退化模型，用于剩余壽命的預(yù)測(cè);Chryssaphinou等[7]利用離散時(shí)間半馬爾科夫鏈建模部件的退化;Si等[8]對(duì)回歸模型、隨機(jī)濾波模型、比例風(fēng)險(xiǎn)模型、隱馬爾科夫模型等基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的剩余壽命預(yù)測(cè)模型進(jìn)行了綜述。許多表征設(shè)備磨損或裂紋發(fā)展的單調(diào)退化過程被建模為Gamma過程[9-11]。但現(xiàn)有的許多數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)剩余壽命預(yù)測(cè)方法，都需要退化模型假設(shè)并進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，假設(shè)的模型與實(shí)際模型之間往往存在較大差距，且參數(shù)估計(jì)的最優(yōu)化可能導(dǎo)致收斂到局部最小卻不能保證全局最優(yōu)，因此預(yù)測(cè)模型并不能保證最終漸近收斂于真實(shí)模型。

基于核密度估計(jì)(Kernel Density Estimation, KDE)的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)方法，從數(shù)據(jù)本身出發(fā)研究其分布特征，不對(duì)數(shù)據(jù)分布形式做任何假設(shè),可避免現(xiàn)有許多數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法壽命預(yù)測(cè)時(shí)需要模型結(jié)構(gòu)假設(shè)及參數(shù)估計(jì)的問題。但預(yù)測(cè)模型中的核密度估計(jì)，大多利用的是傳統(tǒng)核密度估計(jì)[12-16]，定義域是整個(gè)實(shí)數(shù)域。在許多實(shí)際情況下，研究變量往往并不是在整個(gè)實(shí)數(shù)域都有定義，而是存在一個(gè)邊界或兩個(gè)邊界的有界區(qū)間。傳統(tǒng)核密度估計(jì)在用于有界區(qū)間變量的概率密度估計(jì)時(shí)，區(qū)間邊界處往往由于沒有良好的收斂性會(huì)產(chǎn)生邊界偏差問題[17-19]，從而影響概率密度估計(jì)的準(zhǔn)確性，進(jìn)而導(dǎo)致應(yīng)用到實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)模型時(shí)進(jìn)一步影響到預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性。

近年來，關(guān)于傳統(tǒng)核密度估計(jì)用于有界支撐區(qū)間變量時(shí)存在的邊界估計(jì)偏差問題，已經(jīng)提出了一些解決的方法。一種簡(jiǎn)單的方法是將隨機(jī)變量區(qū)間外的核密度估計(jì)值置為0，但其缺點(diǎn)是獲得的估計(jì)不再能使概率估計(jì)整合為1，且區(qū)間邊界附近的貢獻(xiàn)可能比遠(yuǎn)離邊界點(diǎn)的貢獻(xiàn)小，分布的權(quán)重可能會(huì)被低估。Chen[20]針對(duì)傳統(tǒng)對(duì)稱核密度估計(jì)用于兩個(gè)邊界隨機(jī)變量時(shí)存在邊界偏差問題，考慮用Beta密度函數(shù)族作為核函數(shù)來估計(jì)有界支撐的概率密度,Beta核的核函數(shù)形狀隨著觀測(cè)值的變化而變化，從而消除邊界偏差的影響;Malec等[21]、Chen[22]利用基于非對(duì)稱Gamma核的估計(jì)方法，對(duì)[0,∞)上的正隨機(jī)變量根據(jù)調(diào)整參數(shù)對(duì)密度函數(shù)的形狀進(jìn)行調(diào)整來進(jìn)行估計(jì)。對(duì)于支撐區(qū)間僅有一個(gè)邊界的非負(fù)變量，Gamma核可看作是Beta核的擴(kuò)展,但Gourieroux等[23]研究發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[22]的Beta核在邊界處仍不能很好地刻畫密度特征，并有未正則化的缺點(diǎn);Zhang等[24]指出了文獻(xiàn)[22]方法的缺陷，并重新將Beta核與所提出的改進(jìn)核在不同密度函數(shù)形狀假設(shè)下作了對(duì)比，結(jié)果顯示在密度函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為0的邊界處的密度，非對(duì)稱核估計(jì)結(jié)果較好。事實(shí)上很多文獻(xiàn)證明，除非真實(shí)密度在邊界處一階導(dǎo)數(shù)為0，否則這種方法在邊界處的估計(jì)仍存在邊界偏差問題。

Silverman[18]針對(duì)有界支撐為(0，∞)的變量在進(jìn)行傳統(tǒng)核密度估計(jì)時(shí)，會(huì)在區(qū)間邊界0附近引入一個(gè)-h左移位的問題，提出利用對(duì)數(shù)變換將有界變量變換到(-∞，∞)，這種變換有效地減小了0附近核密度估計(jì)產(chǎn)生的邊界偏差;Saoudi等[25]在總結(jié)文獻(xiàn)[18]的基礎(chǔ)上，為加速區(qū)間邊界處核密度估計(jì)的收斂，提出一種新的非參數(shù)概率密度函數(shù)估計(jì)方法——核微分同胚估計(jì)，并對(duì)相同核函數(shù)下相同有界隨機(jī)樣本的概率密度，分別利用對(duì)數(shù)微分同胚變換的核密度估計(jì)方法和正切微分同胚變換的核密度估計(jì)方法與真實(shí)的概率密度進(jìn)行比較，結(jié)果表明對(duì)數(shù)微分同胚核密度估計(jì)具有更好的收斂性，且可以得到更好的估計(jì)，更接近真實(shí)的概率密度。另外，相同核函數(shù)不同樣本數(shù)對(duì)數(shù)微分同胚變換的核密度估計(jì)結(jié)果反映了該方法核密度估計(jì)的收斂性;SidibéI等[26]利用文獻(xiàn)[25]提出的核微分同胚估計(jì)，對(duì)維修優(yōu)化模型中的可靠性函數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并與基于J-sh的核估計(jì)法[27]進(jìn)行了比較;Troudi等[28]將利用插入法求最優(yōu)窗寬(平滑參數(shù))的核密度估計(jì)方法推廣到有界支撐的分布估計(jì)類較難的問題中，利用文獻(xiàn)[25]提出的具有良好收斂性的對(duì)數(shù)微分同胚變換，對(duì)有界支撐區(qū)間分布進(jìn)行變換，最后對(duì)傳統(tǒng)核估計(jì)方法和核微分同胚估計(jì)方法的仿真結(jié)果進(jìn)行了比較;Troudi等[29]通過自適應(yīng)插入法得到最優(yōu)窗寬值用于有界隨機(jī)數(shù)據(jù)微分同胚變換的核密度估計(jì)，并利用文獻(xiàn)[25] 提出的對(duì)估計(jì)具有較好收斂性的對(duì)數(shù)變換進(jìn)行微分同胚變換。文獻(xiàn)[25-29]利用區(qū)間變換的思想，采用適當(dāng)?shù)淖儞Q將有界區(qū)間變量變換到整個(gè)實(shí)數(shù)域，從而可以利用傳統(tǒng)KDE方法進(jìn)行求解，有效消除由有界區(qū)間引起的邊界偏差問題。有界變量的對(duì)數(shù)微分同胚變換，從核密度估計(jì)平均積分均方誤差(Mean Integrated Square Error, MISE)最小的意義上，顯示具有更好的收斂性和準(zhǔn)確性。

針對(duì)基于KDE的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)中，對(duì)有界隨機(jī)變量核密度估計(jì)時(shí)存在的邊界估計(jì)偏差問題，本文提出一種基于核微分同胚估計(jì)的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)方法。首先，利用隨機(jī)變量的區(qū)間變換方法——對(duì)數(shù)微分同胚變換，將單位時(shí)間退化特征增量的支撐區(qū)間范圍變換到整個(gè)實(shí)數(shù)域,從而將有界變量的核密度估計(jì)轉(zhuǎn)換為傳統(tǒng)意義上的核密度估計(jì)問題，另外為使窗寬參數(shù)更符合實(shí)際樣本的需要，根據(jù)各個(gè)樣本點(diǎn)的密度函數(shù)自適應(yīng)地選擇窗寬來提高擬合優(yōu)度；然后將對(duì)數(shù)微分同胚變換后的退化增量作為隨機(jī)變量，用于核密度估計(jì)的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)，最后通過與傳統(tǒng)意義上的核密度估計(jì)實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)以及基于Gamma分布剩余壽命預(yù)測(cè)方法的比較，驗(yàn)證了所提方法的有效性，并分析了不同初始樣本數(shù)對(duì)剩余壽命預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性的影響。

1 核密度估計(jì)

KDE是20世紀(jì)五六十年代提出并發(fā)展起來的一種密度估計(jì)方法,它不利用有關(guān)數(shù)據(jù)分布的先驗(yàn)知識(shí),對(duì)數(shù)據(jù)分布不附加任何假定,是一種從數(shù)據(jù)樣本本身出發(fā)研究數(shù)據(jù)分布特征的方法。

假設(shè)數(shù)據(jù)y1,y2,…,yn取自連續(xù)分布f(y)，則在任意點(diǎn)y處的一種核密度估計(jì)定義為：

(1)

式中：K(y)為核函數(shù)；n為的已知隨機(jī)變量的樣本數(shù)；h為窗寬，決定每個(gè)樣本貢獻(xiàn)度的平滑參數(shù)。點(diǎn)yi對(duì)估計(jì)的貢獻(xiàn)度取決于核函數(shù)和所選擇的窗寬。

1.1 核函數(shù)的選取

Silverman[18]基于密度估計(jì)與真實(shí)密度之間MISE最小的思想，通過對(duì)不同核函數(shù)如高斯(Gauss)、Epanechnikov、三角(Triangle)等之間的效率進(jìn)行比較，結(jié)果不同核函數(shù)對(duì)MISE的影響非常小。其中，高斯核函數(shù)(Gaussian Kernel)在實(shí)際中得到了最為廣泛的應(yīng)用。

(2)

1.2 窗寬的確定

1.2.1 初始窗寬的確定

(3)

(4)

將高斯核函數(shù)K(y)代入式(4)，則可將初始窗寬h0化為：

(5)

其中σn為已知樣本y1,y2,…,yn的方差，

(6)

(7)

對(duì)于不同的樣本，初始窗寬h0不考慮樣本疏密程度的變化，在整個(gè)區(qū)間上取固定值。

1.2.2 自適應(yīng)窗寬的確定

核密度估計(jì)模型中窗寬的取值對(duì)密度估計(jì)的準(zhǔn)確性有重要影響。對(duì)處于動(dòng)態(tài)實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)的系統(tǒng)，其樣本數(shù)據(jù)的疏密程度隨時(shí)間不斷變化，如果窗寬在整個(gè)區(qū)間取固定值，容易導(dǎo)致樣本數(shù)據(jù)少的地方擬合不足，樣本數(shù)據(jù)多的地方又?jǐn)M合過度。為使窗寬在估計(jì)中更符合實(shí)際監(jiān)測(cè)樣本的需要，提高擬合優(yōu)度，考慮通過反映樣本數(shù)據(jù)疏密程度的函數(shù)對(duì)窗寬進(jìn)行自適應(yīng)地調(diào)整，具體如下：

(1)利用已知樣本求解初始窗寬，即不考慮樣本數(shù)據(jù)密度變化時(shí)的固定窗寬h0，可通過1.2.1節(jié)中所示的方法得到。

(2)利用初始窗寬h0對(duì)樣本數(shù)據(jù)的概率密度進(jìn)行整體粗略的估計(jì)，即

(8)

(3)為提高概率密度估計(jì)的擬合優(yōu)度，在樣本數(shù)據(jù)密度小的區(qū)域自動(dòng)選擇較大的窗寬，密度大的區(qū)域自動(dòng)選擇較小的窗寬，引入反映樣本數(shù)據(jù)疏密程度的局部窗寬因子λi，其中λi通過基于初始窗寬各個(gè)樣本點(diǎn)處的概率密度得到：

(9)

(4)將局部窗寬因子λi與初始固定窗寬h0相乘可得自適應(yīng)窗寬hi：

(10)

從而實(shí)現(xiàn)不同樣本處窗寬根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的疏密程度進(jìn)行自適應(yīng)地調(diào)整，以更符合實(shí)際中核密度估計(jì)的需要。

2 對(duì)數(shù)核微分同胚估計(jì)

同胚是指形式不同但本質(zhì)相同，兩種形式之間可以相互轉(zhuǎn)換。核微分同胚估計(jì)定義如下：

(11)

x∈[a,b]。

(12)

式中：φ表示隨機(jī)變量從區(qū)間[a,b]到R的的微分同胚變換，需滿足當(dāng)隨機(jī)變量x→a或x→b時(shí)，φ′(x)→∞;hd為初始已知樣本Xi(i=1,2,…,k)對(duì)數(shù)微分同胚變換后求得的窗寬。對(duì)數(shù)微分同胚變換[21]由于具有良好的收斂性得到了廣泛應(yīng)用，即

φ(x):[a,b]→R,

(13)

3 基于對(duì)數(shù)核微分同胚估計(jì)的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)模型

3.1 研究對(duì)象的對(duì)數(shù)核微分同胚估計(jì)

許多實(shí)際情況下，研究變量往往只是在有一個(gè)邊界或兩個(gè)邊界的區(qū)間上有定義。實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中，設(shè)tk為當(dāng)前時(shí)刻，[0,tk]的數(shù)據(jù)為當(dāng)前監(jiān)測(cè)到的系統(tǒng)退化數(shù)據(jù)，以可以表征系統(tǒng)退化的單位時(shí)間退化特征增量作為核估計(jì)函數(shù)的隨機(jī)變量Δx∈[0,xth](xth為特征退化量的失效閾值)，如圖1所示。

為消除傳統(tǒng)核密度估計(jì)存在的邊界偏差問題，提高核密度估計(jì)的準(zhǔn)確性，對(duì)有界隨機(jī)變量進(jìn)行對(duì)數(shù)微分同胚變換：

φ(Δx):[0,xth]→R,

(14)

從而將有界隨機(jī)變量變換到整個(gè)實(shí)數(shù)域，有界隨機(jī)變量的核密度估計(jì)問題轉(zhuǎn)換為傳統(tǒng)意義上的核密度估計(jì)問題。

(15)

其中核函數(shù)K(φ(Δx))選用高斯核：

(16)

hd(ΔXi)為已知樣本對(duì)數(shù)微分同胚變換后φ(ΔX1),φ(ΔX2),…,φ(ΔXk)所對(duì)應(yīng)的自適應(yīng)窗寬，即

(17)

(18)

(19)

(20)

3.2 對(duì)數(shù)核微分同胚估計(jì)的實(shí)時(shí)更新

由于研究的是實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，每新增一個(gè)監(jiān)測(cè)樣本，歷史樣本的對(duì)數(shù)核微分同胚估計(jì)都需要重復(fù)計(jì)算。這樣隨著監(jiān)測(cè)到的樣本不斷增多，密度估計(jì)的計(jì)算量也會(huì)越來越大，因此為提高樣本對(duì)數(shù)核微分同胚估計(jì)的時(shí)效性，減少不必要的重復(fù)計(jì)算，當(dāng)系統(tǒng)由tk時(shí)刻運(yùn)行至tk+1時(shí)刻，已知樣本個(gè)數(shù)由k增加為k+1時(shí)，當(dāng)前k+1個(gè)樣本對(duì)數(shù)微分同胚變換后φ(ΔX1),φ(ΔX2),…,φ(ΔXk),φ(ΔXk+1)的核微分同胚估計(jì)，可通過k個(gè)歷史樣本對(duì)數(shù)微分同胚變換后φ(ΔX1),φ(ΔX2),…,φ(ΔXk)的核微分同胚估計(jì)遞推得到，從而實(shí)現(xiàn)樣本核微分同胚估計(jì)的實(shí)時(shí)更新。具體如下：

(21)

式中hd(ΔXk+1)為樣本點(diǎn)ΔXk+1微分同胚變換后的自適應(yīng)窗寬值，

(22)

(23)

這樣，實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)中每新增一個(gè)退化特征增量樣本，核微分同胚估計(jì)都可由其歷史退化特征增量樣本的核微分同胚估計(jì)自適應(yīng)遞推得到，從而可有效避免實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)中歷史樣本的不斷重復(fù)計(jì)算問題，提高核微分同胚估計(jì)過程的效率。

3.3 實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)

3.3.1 退化狀態(tài)的分布

(24)

當(dāng)tk+1時(shí)刻新增一個(gè)退化特征增量樣本時(shí)，[0,tk+1]特征退化量的核微分同胚估計(jì)可表示為：

(25)

即當(dāng)tk+1時(shí)刻新增一個(gè)退化特征增量樣本時(shí)，該時(shí)刻特征退化量的概率密度函數(shù)可由[0,tk]特征退化量的核微分同胚估計(jì)自適應(yīng)遞推得到，從而減少特征退化量概率密度估計(jì)過程中不必要的重復(fù)計(jì)算。

3.3.2 剩余壽命預(yù)測(cè)模型

設(shè)tk+t時(shí)刻特征退化量達(dá)到xth時(shí)系統(tǒng)失效(如圖1)，要對(duì)當(dāng)前tk時(shí)刻的剩余壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)，可通過初始時(shí)刻到當(dāng)前tk時(shí)刻的特征退化量X1:k(記Xk=X(tk)，X1:k={X1,…,Xk})去預(yù)測(cè)tk+t時(shí)刻的特征退化量Xk+t。設(shè)每單位時(shí)間監(jiān)測(cè)得一個(gè)新的樣本，則tk+t時(shí)刻有k+t個(gè)樣本。設(shè)T表示監(jiān)測(cè)設(shè)備tk時(shí)刻的剩余壽命，則剩余壽命的概率分布函數(shù)FT(t)為：

FT(t)=p(T≤t)

=p(Xk+t≥xth)

(26)

式中g(shù)(xk+t)為[0,tk+t]特征退化量的概率密度。為消除傳統(tǒng)核密度估計(jì)用于有界隨機(jī)變量時(shí)邊界估計(jì)偏差的影響，首先對(duì)已知的單位時(shí)間隨機(jī)退化特征增量核微分同胚估計(jì)，然后卷積求其特征退化量的概率密度估計(jì)，將時(shí)間[0,tk+t]特征退化量對(duì)數(shù)微分同胚變換后的概率密度記為gd(xk+t)：

(27)

則其預(yù)測(cè)的剩余壽命的概率分布為：

(28)

根據(jù)不斷實(shí)時(shí)更新的樣本，tk+t時(shí)刻k+t個(gè)隨機(jī)特征退化增量樣本核微分同胚變換后的自適應(yīng)核密度估計(jì)可表示為：

(29)

則[0,tk+t]特征退化量的概率密度為：

t=1,2,…。

(30)

將式(30)代入式(28)，則tk時(shí)刻監(jiān)測(cè)系統(tǒng)剩余壽命T預(yù)測(cè)的的概率密度函數(shù)可表示為:

(31)

4 實(shí)例分析

利用IEEE PHM 2012提供的軸承全壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行模型驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)振動(dòng)信號(hào)的采樣頻率為25.6 kHz，每次采樣時(shí)長(zhǎng)0.1 s，采樣間隔為10 s，以轉(zhuǎn)速為1 800 RPM,載荷為4 000 N工況下的Bearing 1-1的全壽命振動(dòng)數(shù)據(jù)為例。試驗(yàn)選取能較好反映軸承磨損退化的均方根特征，其退化趨勢(shì)如圖2所示。從圖2可以看出，該軸承全生命周期大致分為3個(gè)階段：①[0,1.25]×104s特征值幅值較小，基本保持平穩(wěn)，為正常運(yùn)行階段；②[1.25,2.6]×104s時(shí)特征幅值逐漸增大，為磨損衰退階段；③2.6×104s之后特征幅值增大速度加快，最終幅值超過預(yù)定的失效閾值而導(dǎo)致軸承損壞，為快速失效階段。為了驗(yàn)證基于核微分同胚估計(jì)實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)方法的有效性，利用Bearing 1-1衰退開始的樣本數(shù)據(jù)對(duì)不同時(shí)刻的剩余壽命進(jìn)行實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)。

4.1 基于固定窗寬與自適應(yīng)窗寬剩余壽命預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性的比較

為使選擇的窗寬更符合實(shí)際樣本的需要，提高核密度估計(jì)的準(zhǔn)確性，根據(jù)樣本點(diǎn)的疏密程度自適應(yīng)地選擇窗寬，即樣本密度大的區(qū)域自適應(yīng)選擇較小的窗寬，而密度小的區(qū)域自適應(yīng)選擇較大的窗寬。圖3和圖4分別給出了監(jiān)測(cè)時(shí)間為tk=2.3×104s和tk=2.7×104s時(shí)基于固定窗寬與基于自適應(yīng)窗寬核密度估計(jì)的剩余壽命概率密度(Probability Density Function, PDF)的結(jié)果比較。

通過兩個(gè)不同時(shí)刻兩種窗寬下剩余壽命概率密度的比較，可以看出基于自適應(yīng)窗寬剩余壽命的預(yù)測(cè)結(jié)果比基于固定窗寬的剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果更接近實(shí)際的剩余壽命。由于監(jiān)測(cè)樣本隨時(shí)間隨機(jī)變化，基于自適應(yīng)窗寬的核密度估計(jì)根據(jù)樣本的疏密程度自適應(yīng)地調(diào)整窗寬，而固定窗寬的核密度估計(jì)則容易導(dǎo)致樣本數(shù)據(jù)多的地方擬合過度，樣本數(shù)據(jù)少的地方擬合不足，因此基于自適應(yīng)窗寬估計(jì)的概率密度比基于固定窗寬的核密度估計(jì)要準(zhǔn)確，預(yù)測(cè)的平均剩余壽命與實(shí)際剩余壽命的誤差也更小。隨著監(jiān)測(cè)樣本數(shù)據(jù)的不斷增多，兩種窗寬下預(yù)測(cè)的剩余壽命概率密度與實(shí)際剩余壽命之間的誤差進(jìn)一步減小，且基于自適應(yīng)窗寬概率密度估計(jì)的誤差更小，說明自適應(yīng)窗寬在進(jìn)行核密度估計(jì)時(shí)比固定窗寬核密度估計(jì)的擬合優(yōu)度更高，能夠?qū)颖靖怕拭芏扔懈玫墓烙?jì)，從而預(yù)測(cè)的剩余壽命也相對(duì)更準(zhǔn)確。

4.2 有界變量核估計(jì)時(shí)的邊界偏差問題

在基于單位時(shí)間均方根退化增量的核密度估計(jì)中，退化增量Δx∈[0,xth]是有界支撐的，傳統(tǒng)的核密度估計(jì)用于有界隨機(jī)變量時(shí)，區(qū)間邊界處會(huì)由于沒有良好的收斂性而產(chǎn)生估計(jì)偏差，如圖5所示。圖5中隨機(jī)退化增量有定義的范圍為Δx∈[0,5.607 6]，利用傳統(tǒng)核密度估計(jì)進(jìn)行概率密度估計(jì)時(shí)，可以看出在區(qū)間邊界處有估計(jì)偏差的存在。

為了消除傳統(tǒng)核密度估計(jì)用于有界支撐隨機(jī)變量時(shí)產(chǎn)生的邊界偏差，提高剩余壽命預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，首先對(duì)有界隨機(jī)變量進(jìn)行對(duì)數(shù)微分同胚變換，將定義域變換到整個(gè)實(shí)數(shù)域，然后再利用傳統(tǒng)核密度估計(jì)進(jìn)行概率密度的估計(jì)，從而將有界變量的核密度估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)意義上的核密度估計(jì)問題。

4.3 實(shí)時(shí)剩余壽命的概率密度比較

4.3.1 軸承磨損數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)剩余壽命的概率密度比較

圖6給出了實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)中，不同監(jiān)測(cè)時(shí)刻自適應(yīng)窗寬下基于對(duì)數(shù)核微分同胚估計(jì)的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際實(shí)時(shí)剩余壽命值的比較。由圖6可以看出，退化初始階段由于樣本數(shù)有限，預(yù)測(cè)的實(shí)時(shí)剩余壽命與實(shí)際剩余壽命之間的誤差較大；隨著設(shè)備實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)的進(jìn)行，接收到的樣本數(shù)不斷增多，預(yù)測(cè)的剩余壽命的概率密度隨著時(shí)間的推移不斷變窄而變高，方差越來越小，說明實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)的不確定性不斷減小，且由圖6可以看出預(yù)測(cè)的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際剩余壽命之間的誤差不斷減小。

4.3.2 與傳統(tǒng)核密度估計(jì)剩余壽命預(yù)測(cè)的比較

為進(jìn)一步對(duì)不同監(jiān)測(cè)時(shí)刻基于對(duì)數(shù)核微分同胚估計(jì)的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行評(píng)估，表1給出了不同監(jiān)測(cè)時(shí)刻預(yù)測(cè)結(jié)果、傳統(tǒng)核密度估計(jì)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果以及與實(shí)際實(shí)時(shí)剩余壽命進(jìn)行的比較，其中剩余壽命預(yù)測(cè)值通過平均故障前時(shí)間(MTTF)[32]給出：

(32)

并進(jìn)一步利用均方根誤差(RMSE)對(duì)兩種模型所得的平均剩余壽命預(yù)測(cè)值與實(shí)際剩余壽命值進(jìn)行了比較。

表1 2種模型剩余壽命預(yù)測(cè)值對(duì)比

對(duì)比表1中兩種模型的預(yù)測(cè)值不難發(fā)現(xiàn)，隨著系統(tǒng)運(yùn)行監(jiān)測(cè)信息的不斷增多，這兩種模型都可用于設(shè)備的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)，且基于對(duì)數(shù)核微分同胚估計(jì)的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)值比傳統(tǒng)核密度估計(jì)模型的剩余壽命預(yù)測(cè)值更接近實(shí)際的剩余壽命，從而驗(yàn)證了基于核微分同胚估計(jì)的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)模型用于剩余壽命預(yù)測(cè)的有效性。另外，為對(duì)兩種模型預(yù)測(cè)的剩余壽命進(jìn)行更直觀的比較，給出了兩種模型所得剩余壽命預(yù)測(cè)值與實(shí)際剩余壽命之間均方根誤差RMSE1,RMSE2的比較，從比較結(jié)果可以看出隨著監(jiān)測(cè)信息的增加RMSE1,RMSE2均呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢(shì)，且基于對(duì)數(shù)核微分同胚估計(jì)的實(shí)時(shí)剩余壽命模型預(yù)測(cè)結(jié)果的誤差更小，說明該模型預(yù)測(cè)的剩余壽命值更接近實(shí)際的剩余壽命值。

4.3.3 與基于Gamma分布預(yù)測(cè)模型的結(jié)果比較

軸承磨損過程是一個(gè)連續(xù)累積退化的過程，Gamma分布由于具有非負(fù)、增長(zhǎng)、獨(dú)立增量的屬性，被廣泛用于磨損、裂紋擴(kuò)展等逐漸累積損傷過程的退化建模中。為進(jìn)一步驗(yàn)證所提出模型的競(jìng)爭(zhēng)性，圖7給出了不同監(jiān)測(cè)時(shí)間基于Gamma分布預(yù)測(cè)的剩余壽命、基于對(duì)數(shù)核微分同胚估計(jì)的實(shí)時(shí)剩余壽命模型預(yù)測(cè)的剩余壽命與實(shí)際剩余壽命之間的比較。

從圖7可以看出，初始階段由于樣本數(shù)有限，導(dǎo)致兩種模型預(yù)測(cè)的剩余壽命與實(shí)際剩余壽命都存在較大的誤差，接下來隨著系統(tǒng)的運(yùn)行樣本信息不斷增多，兩種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果均越來越接近實(shí)際的剩余壽命值，且不同監(jiān)測(cè)時(shí)刻基于對(duì)數(shù)核微分同胚估計(jì)的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)值相對(duì)于基于Gamma分布預(yù)測(cè)的剩余壽命，與實(shí)際剩余壽命之間的誤差更小，從而說明基于核微分同胚估計(jì)的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)模型用于剩余壽命預(yù)測(cè)中具有一定的競(jìng)爭(zhēng)性。

4.3.4 齒輪磨損數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)剩余壽命的概率密度比較

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法的競(jìng)爭(zhēng)性和有效性，采用齒輪接觸疲勞采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)。數(shù)據(jù)來源于圖8所示的封閉試驗(yàn)臺(tái)。試驗(yàn)臺(tái)的中心距為150 mm，電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 200 r/min，實(shí)驗(yàn)過程中對(duì)箱體加速度和噪聲等進(jìn)行監(jiān)測(cè)。

該試驗(yàn)臺(tái)共布置8個(gè)加速度傳感器(1#～4#布置在主試箱軸承座的徑向，5#和6#布置在陪試箱軸承座的徑向，7#和8#布置在主試箱的軸向)。通過對(duì)4#傳感器輸出的463組振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行特征提取，其中采樣頻率為25.6 kHz,采樣時(shí)間為60 s，采樣間隔9 min,將采樣點(diǎn)數(shù)折算為監(jiān)測(cè)時(shí)間。由于均方幅值不受齒輪個(gè)體差異的影響，隨磨損狀態(tài)呈遞增趨勢(shì)，能較好地反映各個(gè)時(shí)刻振動(dòng)能量的動(dòng)態(tài)變化。對(duì)于每次采樣時(shí)間Δt長(zhǎng)度內(nèi)，監(jiān)測(cè)信號(hào)的均方幅值可表示為：

(33)

式中采樣點(diǎn)數(shù)n=Fs×Δt，F(xiàn)s為采樣頻率。可得到如圖9所示的均方幅值—監(jiān)測(cè)時(shí)間(Root Mean Square-Monitoring Time, RMS-MT)曲線圖。

由圖9可以看出，監(jiān)測(cè)時(shí)間為t∈[0,10]h時(shí)，齒輪處于嚙合階段；監(jiān)測(cè)時(shí)間為t∈[10,68]h時(shí)，RMS值逐漸增大，齒輪處于正常磨損階段；當(dāng)監(jiān)測(cè)時(shí)間為t∈[68,77]h時(shí)，RMS值急劇增大，直到在77 h處發(fā)生斷齒。齒輪磨損是一個(gè)連續(xù)退化的過程，單位時(shí)間退化增量服從Gamma分布。為進(jìn)一步對(duì)基于對(duì)數(shù)核微分同胚估計(jì)的實(shí)時(shí)剩余壽命模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度進(jìn)行驗(yàn)證，表2給出了不同監(jiān)測(cè)時(shí)刻基于對(duì)數(shù)核微分同胚估計(jì)的實(shí)時(shí)剩余壽命、基于Gamma分布預(yù)測(cè)的剩余壽命與實(shí)際剩余壽命之間的比較，并進(jìn)一步對(duì)兩種模型所得平均剩余壽命預(yù)測(cè)值與實(shí)際剩余壽命之間的均方根誤差(RMSE)進(jìn)行了比較。

表2 2種模型剩余壽命預(yù)測(cè)值比較

續(xù)表2

通過表2的比較可以看出，隨著監(jiān)測(cè)信息的不斷增多，兩種模型剩余壽命預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性均不斷提高，所預(yù)測(cè)剩余壽命的均方根誤差均逐漸減小，且不同監(jiān)測(cè)點(diǎn)處基于對(duì)數(shù)核微分同胚估計(jì)的實(shí)時(shí)剩余壽命的均方根誤差小于Gamma分布模型預(yù)測(cè)剩余壽命的均方根誤差，說明基于對(duì)數(shù)核微分同胚估計(jì)的實(shí)時(shí)剩余壽命模型預(yù)測(cè)的剩余壽命值更接近實(shí)際的剩余壽命值，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了提出方法的競(jìng)爭(zhēng)性和有效性。

4.4 最優(yōu)初始樣本數(shù)的確定

在退化設(shè)備的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)中，由于退化初始階段監(jiān)測(cè)到的樣本數(shù)還很有限，使得預(yù)測(cè)剩余壽命與實(shí)際剩余壽命之間存在較大的誤差；隨著監(jiān)測(cè)樣本的逐漸增多，預(yù)測(cè)剩余壽命與實(shí)際剩余壽命之間的誤差逐漸減小。設(shè)當(dāng)監(jiān)測(cè)時(shí)間增加到某時(shí)刻tn1時(shí)，若減少之前的樣本，則由于樣本個(gè)數(shù)不足，預(yù)測(cè)的剩余壽命結(jié)果比全部樣本下預(yù)測(cè)結(jié)果的誤差大；但在tn1之后，只利用當(dāng)前時(shí)刻之前最新n1個(gè)樣本(每單位時(shí)間抽樣一次)剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果的誤差要比全部已知樣本的預(yù)測(cè)結(jié)果小，則可對(duì)剩余壽命預(yù)測(cè)所需的最優(yōu)初始樣本數(shù)n1進(jìn)行確定，也就是要對(duì)退化系統(tǒng)的剩余壽命進(jìn)行較準(zhǔn)確的估計(jì)，至少需要n1個(gè)初始樣本，且在系統(tǒng)退化的中后期，由于初期樣本的退化趨勢(shì)較為平緩，不能很好地反映系統(tǒng)的退化，利用實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)中最新n1個(gè)已知樣本預(yù)測(cè)的剩余壽命結(jié)果優(yōu)于全部樣本的預(yù)測(cè)結(jié)果。

(34)

圖10給出了考慮最優(yōu)初始樣本數(shù)與不考慮最優(yōu)初始樣本數(shù)兩種情況下剩余壽命預(yù)測(cè)值隨監(jiān)測(cè)時(shí)間變化的絕對(duì)誤差曲線圖。

由圖10可知，退化初始階段由于監(jiān)測(cè)到的樣本數(shù)據(jù)還很有限，使得預(yù)測(cè)的平均剩余壽命與實(shí)際剩余壽命之間存在較大的誤差；隨著樣本數(shù)逐漸增多，誤差逐漸減小，但在n1=822，tn1=2.03×104s之后，利用當(dāng)前時(shí)刻之前最新n1個(gè)樣本的剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果的絕對(duì)誤差要小于全部歷史樣本預(yù)測(cè)結(jié)果的絕對(duì)誤差，說明至少需要n1個(gè)樣本才能對(duì)當(dāng)前時(shí)刻系統(tǒng)的剩余壽命進(jìn)行較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)，且隨著時(shí)間的推移，由于初始階段樣本的退化平緩，利用當(dāng)前最新n1個(gè)已知樣本的剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果優(yōu)于全部歷史樣本的預(yù)測(cè)結(jié)果。

5 結(jié)束語

本文針對(duì)傳統(tǒng)核密度估計(jì)用于實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)時(shí)，由于核密度估計(jì)模型中隨機(jī)變量的有界性，會(huì)在支撐區(qū)間邊界處產(chǎn)生偏差，進(jìn)而導(dǎo)致基于核密度估計(jì)的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)不夠準(zhǔn)確的問題，提出一種基于核微分同胚估計(jì)的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)方法。該方法不僅利用核密度估計(jì)不對(duì)數(shù)據(jù)分布做任何假定的優(yōu)點(diǎn)，還考慮到實(shí)際中隨機(jī)變量的有界性，利用具有較好收斂性的對(duì)數(shù)微分同胚變換將有界變量的核密度估計(jì)轉(zhuǎn)換為傳統(tǒng)意義上的核密度估計(jì)問題。核微分同胚估計(jì)中，為提高概率密度估計(jì)的擬合優(yōu)度，將固定窗寬核密度估計(jì)改進(jìn)為自適應(yīng)窗寬核密度估計(jì)。此外，針對(duì)實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)過程中樣本不斷增加，歷史樣本的核微分同胚估計(jì)不斷重復(fù)計(jì)算的問題，建立了核微分同胚估計(jì)的自適應(yīng)遞推更新模型，有效減少了不必要的重復(fù)計(jì)算。實(shí)例分析表明：基于核微分同胚估計(jì)的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果優(yōu)于傳統(tǒng)核密度估計(jì)的預(yù)測(cè)結(jié)果和假設(shè)退化模型為Gamma過程的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果，而且隨著實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)的進(jìn)行，預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度也得到不斷提高。最后，針對(duì)性能逐漸退化的設(shè)備，對(duì)最優(yōu)初始樣本數(shù)對(duì)剩余壽命預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性的影響進(jìn)行了分析。

機(jī)械設(shè)備受工況、載荷變化等因素的影響，退化過程中往往存在退化突變點(diǎn)。未來，在當(dāng)前研究的基礎(chǔ)上，將考慮由于突變點(diǎn)存在導(dǎo)致的剩余壽命預(yù)測(cè)不夠準(zhǔn)確問題，并將突變點(diǎn)的影響用于基于核密度估計(jì)的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)中。