馬冠忠， 徐玲芳

（安陽師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南安陽455000）

關于可加勢水平集最早的研究是文獻［1 -2］，證明了對 α∈［0，1］，水平集

的Hausdorff維數(shù)為

20 世紀80 年代以來，隨著分形幾何的迅猛發(fā)展和重分形理論的興起，有關可加勢水平集問題的研究呈現(xiàn)爆炸式增長.文獻［3］為研究非共形變換的Lyapunov指數(shù)，首次提出了次可加勢的概念并分析了次可加勢的重分形；文獻［4］把可加勢的重分形分析推廣到了一般的非可加勢情形.國內(nèi)外學者對各種水平集的分析性質(zhì)、拓撲性質(zhì)、熱力學性質(zhì)進行了深入的研究，得到了豐富的結果.目前，對非可加勢的水平集的研究仍然是動力系統(tǒng)中維數(shù)理論和重分形領域的熱點問題之一.但迄今為止，水平集的研究主要集中在考察水平集的分形維數(shù)、拓撲熵和拓撲壓力以及相關的各種維數(shù)譜的連續(xù)性和正則性問題，見文獻［1 -15］.據(jù)我們所知，并沒有文獻系統(tǒng)地研究過水平集本身共有的性質(zhì)，如水平集 Xα的不變性以及集合之間的包含關系等，其中水平集 Xα、集合的定義見第1 節(jié).對可加勢 Φ，可以證明 LΦ?ΩΦ（本文定理1），而且水平集Xα都是完全不變集（本文命題1）.文獻［9］提到了對拓撲混合有限型子位移中的可加勢，有 LΦ＝ΩΦ成立；文獻［10］指出對共形斥子中的可加勢，LΦ＝ΩΦ也成立，但都沒有給出證明.文獻［11］證明了在拓撲混合有限型子位移中，對2 個可加勢的商有 LΦ／Ψ?ΩΦ／Ψ成立；在文獻［12］中，對飽和映射系統(tǒng)中的漸近可加勢Ω，得到了LΦ＝ΩΦ的結果.而本文例1 表明，存在動力系統(tǒng)和可加勢，使得LΦ?ΩΦ但 LΦ≠ΩΦ.關于次可加勢，文獻［13］中的例1 表明，在拓撲混合有限型子位移中，有次可加勢Φ使得LΦ?ΩΦ但LΦ≠ΩΦ.人們傾向于認為，對次可加勢，仍然會有LΦ?ΩΦ成立，但并沒有文獻給出證明.在本文定理2 中證明了，對次可加勢Φ，LΦ?ΩΦ未必成立.同時，在命題2 中證明了次可加勢的水平集不再具有完全不變性.這些結果表明，次可加勢的水平集和可加勢的水平集有完全不同的性質(zhì)，使人們對次可加勢的水平集有了新的認識.

1 預備知識和主要結果

設（X，d）為緊度量空間，T：X→X 為連續(xù)映射，稱（X，d，T）為拓撲動力系統(tǒng).用 C（X）表示 X 上連續(xù)函數(shù)全體.用集合M（X）表示X 上概率測度全體，在M（X）中引入弱拓撲.本文中的測度均指正則 Borel概率測度.分別用 M（X，T）和 E（X，T）表示X上T-不變測度全體和T -不變的遍歷測度全體.設為X上一列連續(xù)函數(shù)，對給定的x∈X，若極限存在，記

稱λΦ（x）為Φ在x的Lyapunov指數(shù).

若 Φ 滿足：對一切 n≥1，m≥1，x∈X，都有

稱Φ為可加勢；若Φ滿足：對一切n≥1，m≥1，x∈X，都有

稱Φ為次可加勢.次可加勢在動力系統(tǒng)的研究中占有非常重要的地位，動力系統(tǒng)中很多重要的特征量都可以表示為次可加勢.如可微變換的Lyapunov指數(shù)（見文獻［5，16 -18］）和矩陣乘積的 Lyapunov指數(shù)等（見文獻［6 -8］）.

為Φ關于α的水平集.給定μ∈M（X，T），令

由次可加性知，上述極限存在.

沿用文獻［9 -10，12］中記號，考慮下述 3 個集合：

設A為X的子集，若T（A）?A，稱A 為正向不變集；若T-1（A）?A，則稱A為反向不變集；若A既是正向不變集，又是反向不變集，則稱A 為完全不變集.

本文主要討論可加勢和次可加勢的集合LΦ、之間的包含關系以及水平集 Xα的不變性質(zhì)，得到了下述主要結果.

定理 1設（X，d，T）為拓撲動力系統(tǒng)，Φ 為可加勢，則有

容易驗證下述結論：

命題1設Φ為可加勢，水平集Xα≠?，則Xα是完全不變集.

記單位閉區(qū)間［0，1］為 I，令 T（x）＝4x -4x2，x∈I為 Logistic映射.設

下面的定理2 和命題2 說明，對次可加勢Φ如（1）式所定義，則有和定理1、命題1 及文獻［13］完全不同的結論.

定理 2設 T（x）＝4x-4x2，x∈I為 Logistic映射，次可加勢如（1）式所定義，則對每個 μ∈M（I，T），都有 Φ*（μ）≥0.

記次可加勢 Φ 關于 -∞的水平集為 I-∞，則I-∞＝｛x∈I｜存在 n≥0，使得為無限可數(shù)集.因此，-∞∈LΦ.但由定理2 知，-∞?ΩΦ，故LΦ?ΩΦ不再成立.

下面命題表明，次可加勢的水平集一般不再有完全不變性.

命題 2設 T（x）＝4x-4x2，x∈I，次可加勢 Φ如（1）式所定義，則水平集I-∞非正向不變集，水平集Iln4非反向不變集.

2 可加勢的水平集

設Φ為可加勢，則由M（X，T）在弱拓撲下的緊性知，ΩΦ為 R 中連通緊集.下面給出定理1 的證明.

定理1 的證明由 Birkhoff 遍歷定理可知因而只需證 LΦ?ΩΦ.給定 x∈X，令VT（x）為概率測度序列的極限點集，由M（X）的緊性知，VT（x）非空.對給定的μ∈VT（x）和任意給定的f∈C（X），容易驗證即 μ為 T -不變測度，則 VT（x）?M（X，T）.任取α∈LΦ，即存在 x∈X，使得對每個μ∈VT（x），易證 Φ*（μ）＝α，故 LΦ?ΩΦ.定理1 得證.

下面的例子表明，定理1 中的反向包含關系LΦ?ΩΦ不一定成立.

例1設

容易看出，映射 T：［0，1］→［0，1］的不動點集為｛0，而且其中 δ 是質(zhì)a量集中在點a 的Dirac 測度.由不變測度的遍歷分解定理知，不變測度集合為

故 LΦ?ΩΦ.

注1在一些特殊的動力系統(tǒng)中，對可加勢Φ，有LΦ＝ΩΦ成立.例如，拓撲傳遞的有限型子位移［9］、共形斥子［10］、飽和映射系統(tǒng)［12］等.

注2到目前為止，不清楚對任意給定的可加勢Φ，關系式是否總是成立.猜測上述包含關系不一定一般性的成立，即存在拓撲動力系統(tǒng)（X，d，T）和可加勢 Φ，使得

3 次可加勢的水平集

設 I為單位閉區(qū)間［0，1］，稱映射

為Logistic映射.Logistic映射因生物學家May［19］在1976年發(fā)表的一篇論文而著名，后來應用在描述物種受到制約因素時的數(shù)量.當3.569 9≤r≤4 時，除少數(shù)特定的r值外，系統(tǒng)都會出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.當r ＝4時，幾乎所有初值都使Logistic系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.此時，Logistic系統(tǒng)是2 個符號的全位移（Σ2，σ）的因子系統(tǒng).

在證明定理2 和命題2 之前，先來介紹ΩΦ的一些性質(zhì).由Kingman次可加遍歷定理可知：

命題3設Φ為次可加勢，則有

注3這是次可加勢保留可加勢的唯一一個性質(zhì).

命題 4設 Φ 為次可加勢，則有 ΩΦ＝ （α，β］，其中

命題4 可由下述2 個引理得到.回顧第1 節(jié)中Φ*（μ）的定義，則有：

引理1設Φ 為次可加勢，則映射Φ*（μ）在M（X，T）上半連續(xù).

證明對任意給定的測度序列依弱拓撲收斂到μ，只需證

固定m，由次可加性，對一切n≥1，有下式成立

在上式中對m取上極限，則對一切n≥1，有

在上式中再令n→∞，即得結論.

注4可以證明，在下述2 個附加條件下，Φ*（μ）是 M（X，T）上的連續(xù)函數(shù).

因本文并不需要這個結論，故略去證明.

引理2設Φ 是次可加勢，ΩΦ如第1 節(jié)中所定義，則ΩΦ是中凸集.

三人站在崖頂，向下望，但見陡直的巖壁直直切下，深不見底。崖間云霧翻騰，偶有巖鷹壯碩的翅膀從云中穿過，發(fā)出一聲尖利的鳴叫，回音久久在山間傳響。

證明對任意給定的T -不變測度μ 和ν，實數(shù)0≤λ≤1，只需要證明

注意到

再由 M（X，T）的凸性，即得

結論得證.

由引理1 和引理2，并注意到M（X，T）的緊性，命題4 得證.

在定理 2 的證明中，Przytycki［18］中的定理 B 起著關鍵的作用，為此先回顧一維實動力系統(tǒng)的幾個概念，讀者可以參看文獻［20］中的第二章和第四章內(nèi)容.設I為緊區(qū)間，T：I→I為實連續(xù)映射.

（b）非平坦臨界點.設T：I→I 為實可微映射，若 T′（c）＝0，稱點 c為 T的臨界點.進一步，設 T有二階連續(xù)導數(shù)，若存在α≥2，使得

其中φ為局部C2（即2 階導數(shù)連續(xù)）微分同胚且φ（c）＝0，則稱點c為T的非平坦臨界點.

（c）T的吸引周期軌的吸引域B（T）.設點p為周期點，O（p）為點p的周期軌道，稱集合

B（O（p））＝ ｛x∈I｜Tn（x）→O（p），n→∞｝

為周期軌 O（p）的吸引鄰域.若 B（O（p））包含非退化區(qū)間，稱O（p）為吸引周期軌. B（T）為 T 的所有吸引周期軌的吸引鄰域的并集.

（d）游蕩區(qū)間.稱子區(qū)間J?I 是T 的游蕩區(qū)間，若｛Tn（J）｜n≥0｝兩兩不交且子區(qū)間 J 的 ω 極限集ω（J）不是周期軌.

定理 A［18］設 T：I→I是光滑映射，且 T 僅有有限個非平坦的臨界點，測度μ為Julia 集J（T）上任一T-不變測度，則對μ和a.e.x∈J（T），有

引理 3［20］設 T：I→I 為實映射，則 Julia 集J（T）是周期吸引軌的吸引域和游蕩區(qū)間的余集.

引理 4［20］設 T：I→I為 C2實映射，且T僅有非平坦臨界點，則T無游蕩區(qū)間.

定理2 是文獻［18］中的定理B 和下述命題5的直接推論.

命題 5設 T（x）＝4x-4x2，x∈I為 Logistic映射，則 Julia集 J（T）＝I.

證明由文獻［20］中的第4 章引理和第6 章定理6.2 可以立即推出命題5.首先，注意到Logistic映射T 唯一的臨界點為非平坦臨界點，由引理4 可知，映射T：I→I無游蕩區(qū)間.同時，注意到該系統(tǒng)是2個符號的全符號空間（Σ2，σ）的因子，而全符號空間中具有任意正整數(shù)周期的周期點稠密，因此，對每個點x∈I，點x的任一鄰域中都有任意正整數(shù)周期的周期點存在，故該系統(tǒng)的吸引周期軌的吸引域B（T）是空集.由引理 3 知，J（T）＝I.命題 5得證.

定理2 的證明由命題5 知

故對每個 μ∈M（I，T），由 Fatou 引理和文獻［18］中的定理B可得

定理2 得證.

致謝安陽師院大學生創(chuàng)新基金（ASCX/2019-Z107）對本文給予了資助，謹致謝意.