江蘇 王永昌

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的臨界問(wèn)題是歷年高考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)。這類運(yùn)動(dòng)往往在臨界情景方向出題，臨界情景體現(xiàn)為粒子運(yùn)動(dòng)軌跡和磁場(chǎng)邊界間的關(guān)系，所以分析出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡和磁場(chǎng)邊界間的關(guān)系是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵。在解題時(shí)采用作“動(dòng)態(tài)圓”的方法，往往可以較快地挖掘出臨界特征，下面就進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電粒子的不同情況來(lái)說(shuō)明用“動(dòng)態(tài)圓”挖掘臨界情景的應(yīng)用。

一、“旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)圓”給力，挖出速度大小不變而方向不斷改變的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界特征

圖1

【例1】如圖2所示，S為電子射線源，該電子射線源能在圖示紙面360°范圍內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射速率相等的質(zhì)量為m、帶-e的電子，MN是一塊足夠大的豎直擋板且與S的水平距離OS=L，擋板左側(cè)充滿垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。

(1)若電子的發(fā)射速率為v0，要使電子一定能經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，則磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的條件？

(2)若磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，要使S發(fā)射出的電子能到達(dá)擋板，則電子的發(fā)射速率多大？

圖2

【解析】電子從點(diǎn)S發(fā)出后受到洛倫茲力作用在紙面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于粒子從同一點(diǎn)向各個(gè)方向發(fā)射，粒子的軌跡構(gòu)成繞S點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的一組動(dòng)態(tài)圓，動(dòng)態(tài)圓的每一個(gè)圓都是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖3所示。

圖3

圖4

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電粒子速度大小確定而方向不確定時(shí)，先利用“旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)圓”尋找引起范圍的“臨界軌跡”及“臨界半徑R0”，然后利用粒子運(yùn)動(dòng)的實(shí)際軌道半徑R與R0的大小關(guān)系確定范圍。

二、“膨脹的動(dòng)態(tài)圓”給力，挖出速度方向不變而大小不斷變化的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界特征

如圖5所示，一束帶負(fù)電的粒子以初速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若初速度v的方向相同，大小不同，所有帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心都在垂直于初速度的直線上，速度增大，軌道半徑隨著增大，所有粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡組成一組“膨脹的動(dòng)態(tài)圓”。解決這類問(wèn)題時(shí)，必須注意圓周運(yùn)動(dòng)中的對(duì)稱規(guī)律，按找圓心，畫(huà)軌跡，再利用幾何關(guān)系求半徑的基本思路進(jìn)行。

圖5

【例2】如圖6所示，真空中寬為d的區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，質(zhì)量m帶電-q的粒子以與CD成θ角的速度v0垂直射入磁場(chǎng)中。要使粒子能從EF射出，則初速度v0應(yīng)滿足什么條件？EF上有粒子射出的區(qū)域？

圖6

【解析】作出一組“膨脹的動(dòng)態(tài)圓”，如圖7所示，當(dāng)入射速度較小時(shí)，電子會(huì)在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)一段圓弧后又從同一側(cè)射出，速率越大，軌道半徑越大；當(dāng)軌道與邊界相切時(shí)，電子恰好不能從右邊界射出；當(dāng)速率大于這個(gè)臨界值時(shí)，電子可從右邊界射出，依此畫(huà)出臨界軌跡，借助幾何知識(shí)即可求解速度的臨界值。對(duì)于射出區(qū)域，只要找出上下邊界即可。粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后受洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要使粒子能從EF射出，則相應(yīng)的臨界軌跡必為過(guò)點(diǎn)A并與EF相切的軌跡，如圖8所示，作出A、P點(diǎn)速度的垂線相交于O′，即為該臨界軌跡的圓心。

圖7

圖8

由幾何關(guān)系可知R0+R0cosθ=d

則臨界半徑為

故粒子能穿出EF的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡半徑R≥R0

【點(diǎn)評(píng)】帶電粒子在磁場(chǎng)中以大小不等的速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑隨著速度大小的變化而變化，因此可以將半徑放縮，運(yùn)用“膨脹的動(dòng)態(tài)圓”探索出臨界點(diǎn)的軌跡，使問(wèn)題得解。對(duì)于范圍型問(wèn)題，求解時(shí)關(guān)鍵為尋找引起范圍的“臨界軌跡”及“臨界半徑R0”，然后利用粒子運(yùn)動(dòng)的實(shí)際軌道半徑R與R0的大小關(guān)系確定范圍。

三、“膨脹的動(dòng)態(tài)圓”給力，挖出速度不變而質(zhì)量不斷變化的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界特征

【例3】如圖9所示，左邊有一對(duì)平行金屬板，兩板相距為d，電壓為U，兩板之間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)應(yīng)強(qiáng)度大小為B0，方向平行于板面并垂直于紙面向里。圖中右邊有一邊長(zhǎng)為a的正三角形區(qū)域EFG(EF邊與金屬板垂直)，在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里。假設(shè)一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場(chǎng)的方向射入平行金屬板之間，沿同一方向射出平行金屬板之間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點(diǎn)H射入磁場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)重力。

圖9

(1)已知這些離子中的離子甲到達(dá)磁場(chǎng)邊界EG后，從邊界EF穿出磁場(chǎng)，求離子甲的質(zhì)量。

圖10

圖11

圖12

【點(diǎn)評(píng)】帶電粒子速度大小及方向不變，但帶電粒子的質(zhì)量不確定，這類情形可等價(jià)于帶電粒子速度方向不變、大小改變的情形處理，采用“膨脹的動(dòng)態(tài)圓”探索臨界情況，使問(wèn)題得到解決。

四、“既脹又旋的動(dòng)態(tài)圓”給力，挖出速度大小和方向均變化的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界特征

圖13

圖14

圖15

【點(diǎn)評(píng)】本題也屬于極值類問(wèn)題，尋求“臨界軌跡”是解題的關(guān)鍵。要使所有粒子都不穿越磁場(chǎng)，應(yīng)保證沿內(nèi)圓切線方向射出的粒子不穿越磁場(chǎng)，即運(yùn)動(dòng)軌跡與內(nèi)、外圓均相切。