周建勤，李 敏，隋雨函

(北京交通大學 經濟管理學院，北京 100044)

截至2019年4月，全國鐵路網規(guī)模達13.1萬km。到2025年，鐵路網規(guī)模將達到17.5萬km，尚有4萬多km鐵路待建設。鐵路線路的建設需要大量的物資，且擬建線路上連續(xù)各點都有需求，為線狀需求。為滿足線路建設的物資需求，通常沿擬建線路布局一定數量的物流節(jié)點，接收并儲存從工廠運來的物資，并根據實際需要將其運輸至需求路段。此外，不確定因素常發(fā)生于需求路段中，導致需求路段所需物資隨時間變化且具有隨機性，從而使各物流節(jié)點處的庫存失衡。而引入橫向轉運將有效解決此問題。因此，探討物流節(jié)點的選址問題，對末端的物流成本控制具有重要意義，進而對鐵路線路建設有一定影響。

大多數設施選址文獻的研究都是基于離散需求，也有一些學者研究線狀需求下的選址問題。Alonso[1]以沙灘線沿岸連續(xù)分布的冰淇淋需求為研究對象，確定冰淇淋店的選址。Rosenhead等[2]通過決策沿線設施的位置，來最小化沿線分布的客戶到最近設施的期望距離。周建勤[3]使用需求密度函數表示擬建交通線路的物資需求密度，并用線積分描述線狀連續(xù)的物資需求。Gastner[4]以居住地點到最近設施的平均距離最小化為目標，研究了線路上連續(xù)需求的物流節(jié)點選址及需求分配問題。Erdemir等[5]基于離散需求和線狀需求，建立選址模型，并運用算例闡明了線狀需求下選址模型的優(yōu)越性。以上學者研究了線狀需求下的設施選址問題，尚未將庫存納入考慮。

當需求不確定時，一些學者探討了聯合選址–庫存問題。Shen等[6]提出了聯合選址–庫存模型同時決策庫存和選址，研究了單供應商和多零售商的聯合選址–庫存問題。Daskin等[7]提出了以庫存成本和運輸成本之和為聯合選址–庫存模型的目標函數。原丕業(yè)等[8]建立了非線性整數規(guī)劃的選址–庫存模型。周愉峰等[9]研究了國家血液戰(zhàn)略儲備庫的選址–庫存模型。王林等[10]構建了聯合補貨–選址庫存協同優(yōu)化模型。若開展庫存控制與設施選址聯合優(yōu)化，能降低需求不確定性帶來的影響。

物流節(jié)點間的橫向轉運策略常被引入到選址–庫存聯合優(yōu)化中。Tagaras等[11]將橫向轉運引入聯合選址–庫存問題，考慮了訂貨提前期和轉運時間的兩設施橫向轉運機制，論證了設施選址分配決策受橫向轉運影響。Shen等[6]、Shu等[12]、Snyder等[13]針對零售商之間的橫向轉運問題，以優(yōu)化選址和庫存為目標，建立了非線性整數規(guī)劃模型。Shen等[6]研究了考慮橫向轉運的選址模型，將該模型轉化為集分割問題，通過列生成算法求解。Shu等[12]進一步研究和改進了Shen等[6]的算法。Snyder等[13]提出了基于拉格朗日松弛的精確算法，通過低階多項式求解模型。上述學者都是研究了橫向轉運的選址–庫存聯合優(yōu)化問題，然而他們針對的是離散需求，目前還沒有將橫向轉運考慮進線狀需求下的設施選址的文獻。

本文針對需求沿線路連續(xù)分布的情形，考慮了物流節(jié)點之間橫向轉運的策略，構建了需求隨時間不確定下的選址–庫存模型，在分析模型性質的基礎上，設計線搜索算法求解，并結合算例驗證模型的可行性和有效性。

1 問題描述與模型構建

1.1 問題描述

大多數擬建鐵路線路空間跨度大，經過丘陵、平原和湖泊等不同的地理環(huán)境時，需要架設橋梁、隧道等。各段線路建設所需的物資數量各不相同。確定線路建設物資需求密度變化的關鍵節(jié)點，將擬建線路劃分為多個子區(qū)段，各子區(qū)段內物資需求密度在空間上均勻分布。同時，在不同時間階段內各子區(qū)段的物資需求密度隨機變化。擬選址的物流節(jié)點分布在擬建線路上，其供應的物資沿擬建線路運輸至線路上的各處需求點。

不失一般性，本文將擬建線路拓撲為一條直線段，2個物流節(jié)點分別選址在該直線段上，且物流節(jié)點1負責滿足左端點至需求分界點的物資需求，物流節(jié)點2負責滿足需求分界點至右端點的物資需求。在物流節(jié)點處儲存物資，并將物資運輸至需求點，當物流節(jié)點的庫存水平不均衡時，物流節(jié)點之間采用橫向轉運的方式調配物資。模型以運營總成本最小化為目標，決策物流節(jié)點和需求分界點的位置。

為了便于分析問題，現作出如下假設：

1) 擬建線路各子區(qū)段的物資需求相互獨立；

2) 橫向轉運的物資瞬時到達；

3) 擬建線路中同一子區(qū)段內各處的需求密度相同。

1.2 模型構建

1.2.1 符號說明

K為擬建線路子區(qū)段的數量；

p0為擬建線路的起始位置；

pk為擬建線路第k子區(qū)段的右端點，k=1,2,···,K；

lk為第k子區(qū)段的長度；

μk為第k子區(qū)段需求密度的均值;

δk為第k子區(qū)段需求密度的標準差;

j=1,2為物流節(jié)點的編號；

xj為第j個物流節(jié)點的位置；

d為需求分界點的位置；

f(x)為線路建設期內需求密度的均值；

Sj為 物流節(jié)點j的期初庫存水平；

Zj為 物流節(jié)點j需要滿足的線路總需求；

Fj(·) 為物流節(jié)點j需要滿足的總需求的分布函數；

Qij為物流節(jié)點i到 節(jié)點j的轉運物資數量；

ec為物流節(jié)點到擬建線路上各需求點的運輸費率；

eh為庫存持有費率；

ep為庫存短缺費率；

et為橫向轉運費率；

Gj為物流節(jié)點j轉運后的凈庫存；

為轉運后，物流節(jié)點j處的持有庫存；

為轉運后，物流節(jié)點j處的短缺庫存。

1.2.2 建立模型

擬建線路為x軸 上K個首尾相連的子區(qū)段，如圖1所示。

圖1 鐵路線路子區(qū)段劃分圖Figure 1 Diagram of railway route division

各子區(qū)段內需求沿線路均勻分布，其需求密度均值f(x)為

對于第k子區(qū)段，其線路長度為lk，需求密度均值為 μk，標準差為 δk，則在建設周期內第k區(qū)段的總需求量服從正態(tài)分布

2個物流節(jié)點的需求分界點為d，d∈(pn?1,pn)。因而物流節(jié)點1的服務范圍是[p0,d]，物流節(jié)點2的服務范圍是[d,pK]，如圖2所示。

圖2 物流節(jié)點服務范圍圖Figure 2 Diagram of logistics node service scope

物流節(jié)點1服務范圍的需求均值和方差分別為

同理可得物流節(jié)點2服務范圍的需求均值 μ?2和方差

由于需求不確定，物流節(jié)點j持有安全庫存，其期初庫存水平表示為Sj=μj+aδj，a為安全庫存系數。如果一個物流節(jié)點的庫存仍然無法滿足其物資需求時，則可以通過另一個物流節(jié)點轉移庫存來滿足部分或者全部需求。

根據文獻[14]，2個物流節(jié)點可能出現的橫向轉運情況如下

1) 如果S1＞Z1且S2＞Z2，則Q1,2=Q2,1=0；

2) 如果S1≤Z1且S2≤Z2，則Q1,2=Q2,1=0；

3) 如果S1＞Z1且S2＜Z2，則Q1,2=min{S1?Z1,Z2?S2}，Q2,1=0；

4) 如果S1＜Z1且S2＞Z2，則Q1,2=0 ，Q2,1=min{Z1?S1,S2?Z2}。

在單位周期內，物流節(jié)點的期初庫存滿足擬建線路的物資需求后，若2個物流節(jié)點均缺貨或均持有庫存，則無需橫向轉運；若1個物流節(jié)點持有庫存，另一節(jié)點缺貨，則2個物流節(jié)點間進行橫向轉運，直到庫存短缺的物流節(jié)點需求被滿足或持有庫存的物流節(jié)點庫存被消耗完。

物流節(jié)點到需求點的末端運輸成本由運輸量、運輸距離和運輸費率3者共同決定。物流節(jié)點1到線上需求點x的距離表示為 |x1?x|，物流節(jié)點2到線上需求點x的距離表示為 |x2?x|。依據文獻[15]，核算運輸成本時，可以用期望需求量代替實際需求量。

物流節(jié)點1、2的末端運輸成本之和為

物流節(jié)點的庫存成本由庫存持有成本和庫存短缺成本組成。參考文獻[16]，以物流節(jié)點1需要滿足的建設物資總需求Z1為橫軸，以物流節(jié)點2需要滿足的建設物資總需求Z2為縱軸，觀察2個物流節(jié)點可能出現的庫存狀態(tài)和橫向轉運情形，如圖3。

圖3 物流節(jié)點可能出現的庫存及橫向轉運情形Figure 3 Possible inventory and transshipment situations at logistics node

圖3的區(qū)域①中，2個物流節(jié)點的期初庫存量都大于各自的需求量，故2個物流節(jié)點間不發(fā)生轉運，且各自的期末庫存量都為正。圖3的區(qū)域②中，物流節(jié)點1的期初庫存量大于其需求量，物流節(jié)點2的期初庫存量小于其需求量，且2個物流節(jié)點的期初庫存量之和大于其總需求量，故物流節(jié)點1向物流節(jié)點2轉運以恰好滿足物流節(jié)點2的需求。轉運后，物流節(jié)點1的期末庫存量仍為正，物流節(jié)點2的期末庫存量為0。圖3的區(qū)域③中，物流節(jié)點1的期初庫存量大于其需求量，物流節(jié)點2的期初庫存量小于其需求量，且2個物流節(jié)點的期初庫存量之和小于總需求量，故物流節(jié)點1將剩余庫存全部轉運至物流節(jié)點2。轉運后，物流節(jié)點2的一部分需求得到滿足，但仍然缺貨。因此，物流節(jié)點1的期末庫存量為0，物流節(jié)點2的期末庫存量為負。圖3的區(qū)域④、區(qū)域⑤和區(qū)域⑥對應于類似的情形。

橫向轉運后，物流節(jié)點1的期望庫存持有數量是圖3中區(qū)域①和②的面積之和

轉運后，物流節(jié)點1的期望缺貨數量是圖3中區(qū)域⑤和⑥的面積之和

橫向轉運成本由橫向轉運距離、轉運量和轉運費率3者共同決定。物流節(jié)點1為物流節(jié)點2橫向轉運的期望橫向轉運數量，為圖3中區(qū)域②和③的面積，表示為

同理可知物流節(jié)點2為物流節(jié)點1橫向轉運的期望橫向轉運數量。那么2個物流節(jié)點的橫向轉運成本可以表示為

選址模型的總成本由末端運輸成本、庫存成本和橫向轉運成本組成，從而將考慮橫向轉運的線狀需求物流節(jié)點選址模型表示為

在式(9)中，決策變量分別為需求分界點的位置d、物流節(jié)點1的位置x1、物流節(jié)點2的位置x2，它們都是連續(xù)型變量，可以分布在線路的任意位置。

最優(yōu)選址性質定理在考慮橫向轉運的線狀需求物流節(jié)點選址模型中，若1個需求分界點位置d=d(0)已知，則物流節(jié)點1最優(yōu)位置所在子區(qū)段n1滿足式(10)和式(11)時，的表達式如式(12)所示；物流節(jié)點2的最優(yōu)位置所在子區(qū)段n2滿足式(13)和式(14)時，的解析式如式(15)所示。

其中，QL表示兩個物流節(jié)點的平均橫向轉運量,QL=E(Q1,2)+E(Q2,1)。

2 算法設計

最優(yōu)選址性質定理指出了2個物流節(jié)點最優(yōu)位置需要滿足的條件。本文設計了線搜索算法，求得需求分界點和2個物流節(jié)點的最優(yōu)位置，步驟如下。

步驟1令搜索步長為設定的搜索次數，并令計步器

步驟2根據搜索步長，計算需求分界點的位置并令計步器加1。

步驟3根據式(10)和式(11)計算得到物流節(jié)點1最優(yōu)位置所 在 子 區(qū) 段n1[w]，根 據 式(13)和 式(14)計算得到物流節(jié)點2的最優(yōu)位置所在子區(qū)段n2[w]。

步驟4將n1[w]代入式(12)中得到物流節(jié)點1最優(yōu)位置x1[w]，將n2[w]代入式(15)中得到物流節(jié)點2的最優(yōu)位置x2[w]。

步驟5由d[w]、x1[w]、x2[w]可得運營總成本Y[w]，返回到步驟1，直到w＜N，停止計算。選擇Y[w]值最小的解為最優(yōu)解。

3 算例分析

擬建鐵路線路長度為328 km，在工程建設預算的限制下，在線路上設置2個物流節(jié)點以供應線路建設所需物資。

以線路需求密度變化處為關鍵節(jié)點，將該需求線路劃分為6個子區(qū)段，其長度、需求密度均值以及需求密度標準差如表1所示。

表1 參數表示Table 1 Parameter representation

物流節(jié)點滿足線路建設物資需求時，末端運輸費率ec=4元 /（t·km），庫存持有費率eh=400元/t，短缺費率ep=4000元 /t，橫向轉運費率et=6元/（t·km）。設置安全庫存系數a=1。

本文采用Matlab2018b編寫代碼，求解考慮橫向轉運的線狀需求物流節(jié)點選址模型的物流節(jié)點最優(yōu)位置和需求分界點最優(yōu)位置。當線性搜索次數為200時，得到運營成本隨需求分界點的變化曲線，如圖4所示。

圖4 需求分界點對總成本的影響曲線Figure 4 Cost curve of demand cut-off points

由圖4可以看出，無論需求分界點在何處，發(fā)生轉運后的總成本總是比不發(fā)生轉運的總成本小，其中，需求分界點在160.72 km處時，發(fā)生轉運時的總成本最低，為940020元。以上說明需求分界點的位置影響總成本，合理的決策需求分界點可以節(jié)省成本。此外，橫向轉運有助于降低總成本。

由表2可知，在上述分界點處，考慮橫向轉運時，轉運成本增加了26633元，運輸成本增加了4437元的，同時，庫存成本降低了104856元，總成本降低了73786元?？紤]橫向轉運使庫存成本顯著下降，降低了31.0%，進而使總成本降低了7.3%。因此，考慮物流節(jié)點間的橫向轉運對成本控制效果顯著表2。

表2 各個成本及其變化率Table 2 Each cost and its rate of change

在考慮橫向轉運的條件下，不同的物流節(jié)點選址對總成本有影響，如圖5所示。合理決策物流節(jié)點位置，有利于降低運營總成本。

綜上，當鐵路線路建設物資需求不確定時，物流節(jié)點間進行橫向轉運優(yōu)于不轉運，且物流節(jié)點和需求分界點的位置決策都會影響運營總成本。因此，在物流節(jié)點選址和需求分配階段，建議管理者考慮橫向轉運的影響，以得到更優(yōu)的物流節(jié)點選址和需求分配決策，控制庫存成本，進而控制物流總成本。

圖5 考慮轉運下物流節(jié)點位置對總成本的影響曲線Figure 5 Cost curve of logistics node location considering transshipment

4 結束語

本文界定了考慮橫向轉運的線狀需求物流節(jié)點選址問題，以最小化物流節(jié)點運營總成本為目標，構建了選址?庫存模型，確定2個物流節(jié)點的最優(yōu)位置和需求分配。通過分析模型性質，設計線搜索算法來求解物流節(jié)點最優(yōu)位置和需求分界點最優(yōu)位置。論文還指出物流節(jié)點選址受橫向轉運的影響，結果表明，考慮橫向轉運可以降低物流節(jié)點的庫存成本，進而降低總成本。

未來的研究可以從以下方面拓展。1) 可以將需求線路拓展為二維空間形態(tài)，并選用其他的距離函數刻畫運輸距離。2) 本文確定需求分界點的最優(yōu)位置時，采用的線搜索算法，可能存在誤差，具體的算法設計可進行優(yōu)化。