陜西 張教訓 韓紅軍

(作者單位:陜西省麟游縣中學)

美國數(shù)學家波利亞指出:“拿一個有意義又不復雜的題目去幫助學生發(fā)掘問題的各個方面，使得通過這個題目就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的領域.”在教學實踐中,特別是高三二輪復習階段，對一個典型問題要引導學生從不同角度分析理解，探索不同的解決方法，努力做到一題多解；對一個有意義的問題不僅要滿足得出答案，同時要引導學生對問題進行深入挖掘，適當變式、拓展，特殊化或一般化，從而獲得“一題多思”“一題多變”“一題多得”的效果；引導學生對一些“相似、相像、相近”的問題進行梳理、歸類，抓住問題的內(nèi)在聯(lián)系與主要矛盾，減少機械重復訓練，爭取達到多題歸一的境界.在二輪復習中，課堂教學做到這三點，高考復習效率就會大大提高，真正實現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)落地生根.

一、一題多解

一題多解，能夠使學生開闊思路，把學過的知識和方法融會貫通，使用自如，提升學生分析問題和解決問題的能力.一題多解可以培養(yǎng)學生靈活、敏捷的思維能力，讓學生學會對問題進行多角度、多層次的分析，達到對問題的全面理解，進而迅速準確的解決問題.通過一題多解的訓練，可以培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維及聯(lián)想能力，學會用不同的知識解決同一個問題，達到對多種知識的融會貫通.

(1)求角C的大??；

法2:(余弦定理法)在△CAD中，由余弦定理得CA2=CD2+AD2-2CD·AD·cos∠ADC①，在△CBD中，由余弦定理得CB2=CD2+BD2-2CD·BD·cos∠BDC②，

法3:(補形法)如圖，將三角形補形成平行四邊形，在△CAE中，由余弦定理得CE2=CA2+AE2-2CA·AE·cos∠CAE?b2+a2+ab=28①，

在△ABC中，由余弦定理得a2+b2-ab=12②，

評注:這是一道比較典型的解三角形問題，大部分學生能夠把它解出來.如果我們僅僅滿足于此，顯然就淡化了例題教學的價值.在高三二輪復習中，如何把一道典型試題的教學效果最大化，發(fā)揮典型例題的引領作用，是我們每個老師在備考階段需要深思的問題，也是備課組需要研討的問題.

二、一題多變

波利亞曾指出:“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個后，你應當在周圍找找，很可能附近就有好幾個.”在解題教學活動過程中要學會采“蘑菇”，善于引導學生對一個好問題進行變式改造，如改變題目的條件、結論、圖形、敘述方式等，進而對問題進行更深層次的探索，這樣靈活的運用變式教學，既可以免于搞題海戰(zhàn)術，減輕學生負擔，做到深入淺出，以點帶面，以少勝多，又能較好地培養(yǎng)學生的思維能力，克服思維定式，提高學生的解題能力及應變能力，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提高學習積極性.

【例2】(2018·全國卷Ⅱ理·21)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

(Ⅰ)若a=1，證明:當x≥0時，f(x)≥1；

(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)只有一個零點，求a.

變式1:已知函數(shù)f(x)=ex-ax2，若f(x)≥1在區(qū)間[0，+∞)上恒成立，求a的取值范圍；

變式2:討論函數(shù)f(x)=ex-ax2的零點個數(shù)；

變式3:討論函數(shù)f(x)=ex-ax2(a≥0)的極值點個數(shù)；

變式4:若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+∞)上有兩個極值點x1,x2(0

變式5:若函數(shù)g(x)=x-ln(ax2+1)(a>0，x≥0)有兩個極值點x1,x2(x1

圖書館的服務不僅服務資源建設，更主要的是服務于人的發(fā)展。在圖書館的主頁上，鏈接導師服務，或者組成學習小組或團隊。在網(wǎng)絡資源的學習過程中，注重對學生的學習支持、圖書館員作為參與者加入課程的輔導教師隊伍中，比如發(fā)布公告和郵件通知、對學生適時進行學習路徑的導航，通過線上、線下的參考咨詢或者討論組解答學生在學習中遇到的問題，幫助他們拓展相關的領域知識。這種做法能夠充分體現(xiàn)圖書館的教育功能：連接與合作、網(wǎng)絡化學習、融入課程、分享經(jīng)驗等特點。

評注:全國卷Ⅱ摒棄偏題、難題、怪題，注重主干知識，關鍵能力和核心素養(yǎng)的考查，引導數(shù)學教學回歸課堂，重視教材.其試題設計充分體現(xiàn)基礎性、層次性、實踐性.當然對于高三復習備考而言，我們可以對試題進行適當?shù)淖兪?、拓展，拓寬學生的視野，提升學生的思維能力，提高復習的效益.

三、多題歸一

在海量的數(shù)學試題中，很多問題其實大同小異，形異而神似，即所謂的同一“題型”.在教學過程中，我們要引導學生對它們從知識角度或解法角度進行歸納類比，梳理小結，提高學生對問題的理解與認識水平，強化他們對相關知識、方法的熟練與規(guī)范應用，力求做到舉一反三，觸類旁通，提升復習的效率與應對考試的能力.

1.題型歸一

【例3.1】在△ABC中，三個內(nèi)角A,B，C的對邊分別為a,b,c，若m=(cosB,cosC),n=(2a+c,b)，且m⊥n.

(1)求角B的大??；

(1)求角A的值；

(1)求A；

(1)求角A的大小；

(2)若a=2，求△ABC的周長的取值范圍.

評注:四道試題大同小異，其實為“同一個”問題.考查了解三角形中的三角恒等變換，利用正、余弦定理，通過邊、角互化，求已知三角形的角和邊；利用三角形的面積公式、三邊之間的關系，三角函數(shù)的性質(zhì)，結合均值不等式等，可求已知三角形的周長或面積的取值范圍.解三角形試題難度不大，解題時要注重數(shù)形結合、注重分析、重視運算.

2.解法歸一

( )

分析:曲線g(x)=f(x)-ax與x軸有三個不同的交點,即函數(shù)g(x)有三個不同的零點?方程f(x)=ax有三個不同的解?曲線y=f(x)與直線y=ax有三個不同的交點.

評注:已知函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，相當于已知函數(shù)的零點個數(shù)或相應的方程的實數(shù)根的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，目的是考查函數(shù)的零點、函數(shù)與方程的關系，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，考查分析問題、轉化問題與解決問題的能力.

【例4.2】已知函數(shù)f(x)=ax,g(x)=lnx,a∈R.若在[1，+∞)上不等式xf(x-1)≥g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

法2：不等式xf(x-1)≥g(x)即ax(x-1)≥lnx，令h(x)=ax(x-1)，則命題等價于在區(qū)間[1，+∞)內(nèi)，曲線y=h(x)恒在曲線y=g(x)的上方(可以有公共點)，如圖.

評注:很多含參不等式成立問題的原始背景就是直線與曲線的位置關系，從這個層面理解直觀想象素養(yǎng)，就是讓我們清晰地追溯到題目的源泉，站在更高的層面理解不等式問題的本質(zhì).并且我們還可以發(fā)現(xiàn):當參數(shù)恰為一次項系數(shù)時，這個參數(shù)往往具備了斜率的幾何意義，這就是將不等式轉化為直線與曲線位置關系的核心所在.

評注:試題4.1是已知函數(shù)的零點個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍；試題4.2是已知函數(shù)不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍；試題4.3通過等價轉化，化歸為直線AP的傾斜角α(α為銳角)的正弦值.因為所求參數(shù)有明確的幾何意義，比如直線的斜率(傾斜角)，二次函數(shù)的二次項系數(shù)，而參數(shù)的“臨界值”恰好是切線斜率，那么我們求解的策略就是巧用相切，化難為易.

將大量的“同類”問題進行恰當?shù)亍罢稀敝?，引導學生進行分析、比較、思考與探究、實踐與體會，有利于學生從不同的角度審視問題，促進學生深入問題的內(nèi)部，排除細枝末節(jié)的干擾，透過現(xiàn)象抓住本質(zhì)，把問題弄清看透，從而提高學生分析問題的能力；有利于學生整體把握問題，形成對該類問題的一個合理成熟的算法，避免求解此類問題時走彎路甚至走死路，達到快捷準確的解題效果，從而提高學生解題的效率與解決問題的能力；也有利于淡化老師搞“題海”戰(zhàn)術，避免重復機械訓練，耗費學生寶貴的復習時間.