甘肅 王新宏

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾作詩形容數(shù)形結(jié)合的思想方法：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，數(shù)形分離萬事休.”函數(shù)解析式與其圖象建立了一一對應(yīng)關(guān)系，使得數(shù)與形的研究可以相互轉(zhuǎn)化，高考命題者將充分利用函數(shù)解答題的這一特點，考查考生能否將復(fù)雜的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為借助直觀的幾何圖形來解決問題的能力.

【例1】(2019·全國卷Ⅲ理·20)已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)是否存在a,b，使得f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為-1且最大值為1？若存在，求出a,b的所有值；若不存在，說明理由.

【分析】(1)求出f′(x)=0的兩根，比較兩個的大小，結(jié)合f′(x)的圖象草圖，分情況討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)根據(jù)f′(x)與f(x)的圖象草圖，利用函數(shù)f(x)在x∈[0,1]的單調(diào)性，進(jìn)行最大值和最小值的判斷，最終得出a,b的值.

圖1

圖2

②當(dāng)a=0時，函數(shù)f′(x)的圖象草圖如圖3所示，函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增；

圖3

圖4

圖5

(2)存在a,b,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上有最大值1和最小值-1.

①若a<0，函數(shù)f(x)的圖象草圖如圖2所示，此時函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，所以f(0)=-1，f(1)=1代入解得b=-1，a=0，與a<0矛盾，所以a<0不成立；

②若a=0，函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增；所以f(0)=-1，f(1)=1，代入解得a=0，b=-1，符合要求；

圖6

圖7

圖8

②做函數(shù)解答題時，一邊做題，一邊思考圖形，畫出與之匹配的圖形，通過圖形，看透問題實質(zhì)，指引著我們解題的方向，事半功倍，所以數(shù)形結(jié)合百般好，以形助數(shù)效率高.

【例2】(2019·全國卷Ⅰ理·20)已知函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明：

(2)f(x)有且僅有2個零點.

【分析】(1)寫出f′(x)的表達(dá)式，利用其導(dǎo)函數(shù)f″(x)來研究f′(x)的單調(diào)性與極值點.

(2)以x為主元進(jìn)行分類討論，分別在各個區(qū)間上，由導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性以及特殊點的f′(x)的值來判斷f′(x)與0的關(guān)系，得到f(x)的單調(diào)性，從而得到在各個區(qū)間的零點個數(shù).

圖9

圖10

【點評】含有對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與多項式函數(shù)的方程稱為超越方程，超越方程我們是沒有辦法求解的，但高考函數(shù)解答題中f′(x)=0(或f″(x0)=0)的方程往往都是超越方程，此時我們常用的策略有兩種：

①二次求導(dǎo)，即對y=f′(x)函數(shù)再次求導(dǎo)，二階導(dǎo)函數(shù)y=f″(x)的正負(fù)對應(yīng)著y=f′(x)的增減性，進(jìn)而得出導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的正負(fù)情況，最終確定原函數(shù)y=f(x)的增減情況；

②設(shè)而不求，即先分析導(dǎo)函數(shù)(或二階導(dǎo)函數(shù))的單調(diào)性，判斷它是否存在零點，若存在，再結(jié)合零點存在定理判斷零點的個數(shù)，進(jìn)而設(shè)出零點，對問題進(jìn)行求解.

①當(dāng)x∈(-1,0]時，由草圖10可知f′(x)在(-1,0]上單調(diào)遞增，所以f′(x)≤f′(0)=0即f(x)在(-1,0]上單調(diào)遞減,又f(0)=0，所以x=0為函數(shù)f(x)在(-1,0]上的唯一零點；

圖11

④當(dāng)x∈(π,+∞)時，函數(shù)f(x)的圖象草圖如圖11所示，sinx∈[-1,1]，ln(x+1)>ln(π+1)>lne=1，所以sinx-ln(x+1)<0，即f(x)在(π,+∞)上不存在零點.

綜上所述，f(x)有且僅有2個零點.

【點評】數(shù)形結(jié)合可以很好地為解題探究思路，但不能用形的直觀代替相關(guān)的計算與推理，畫圖不能太草，要盡可能準(zhǔn)確，要善于用單調(diào)性、特殊點、特殊的數(shù)來準(zhǔn)確定位圖形的位置關(guān)系，幫助我們順利解題.

數(shù)形結(jié)合是求解數(shù)學(xué)問題重要的思想方法，使用這種方法，很多問題迎刃而解，且解法簡捷，特別是在函數(shù)解答題中發(fā)揮著巨大的作用，在求解過程中，圖形可幫助我們找到解決問題的突破口，指引我們解題的方向，通過數(shù)與形的結(jié)合，會使復(fù)雜問題直觀化、簡單化，使解題的過程順暢自然，水到渠成.