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        探究數(shù)形結(jié)合在高考數(shù)學(xué)函數(shù)解答題中的應(yīng)用

        2020-11-15 04:32:16甘肅王新宏
        關(guān)鍵詞:草圖零點圖象

        甘肅 王新宏

        我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾作詩形容數(shù)形結(jié)合的思想方法:“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,數(shù)形分離萬事休.”函數(shù)解析式與其圖象建立了一一對應(yīng)關(guān)系,使得數(shù)與形的研究可以相互轉(zhuǎn)化,高考命題者將充分利用函數(shù)解答題的這一特點,考查考生能否將復(fù)雜的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為借助直觀的幾何圖形來解決問題的能力.

        【例1】(2019·全國卷Ⅲ理·20)已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b.

        (1)討論f(x)的單調(diào)性;

        (2)是否存在a,b,使得f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為-1且最大值為1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,說明理由.

        【分析】(1)求出f′(x)=0的兩根,比較兩個的大小,結(jié)合f′(x)的圖象草圖,分情況討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)根據(jù)f′(x)與f(x)的圖象草圖,利用函數(shù)f(x)在x∈[0,1]的單調(diào)性,進(jìn)行最大值和最小值的判斷,最終得出a,b的值.

        圖1

        圖2

        ②當(dāng)a=0時,函數(shù)f′(x)的圖象草圖如圖3所示,函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;

        圖3

        圖4

        圖5

        (2)存在a,b,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上有最大值1和最小值-1.

        ①若a<0,函數(shù)f(x)的圖象草圖如圖2所示,此時函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,所以f(0)=-1,f(1)=1代入解得b=-1,a=0,與a<0矛盾,所以a<0不成立;

        ②若a=0,函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;所以f(0)=-1,f(1)=1,代入解得a=0,b=-1,符合要求;

        圖6

        圖7

        圖8

        ②做函數(shù)解答題時,一邊做題,一邊思考圖形,畫出與之匹配的圖形,通過圖形,看透問題實質(zhì),指引著我們解題的方向,事半功倍,所以數(shù)形結(jié)合百般好,以形助數(shù)效率高.

        【例2】(2019·全國卷Ⅰ理·20)已知函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x),f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明:

        (2)f(x)有且僅有2個零點.

        【分析】(1)寫出f′(x)的表達(dá)式,利用其導(dǎo)函數(shù)f″(x)來研究f′(x)的單調(diào)性與極值點.

        (2)以x為主元進(jìn)行分類討論,分別在各個區(qū)間上,由導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性以及特殊點的f′(x)的值來判斷f′(x)與0的關(guān)系,得到f(x)的單調(diào)性,從而得到在各個區(qū)間的零點個數(shù).

        圖9

        圖10

        【點評】含有對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與多項式函數(shù)的方程稱為超越方程,超越方程我們是沒有辦法求解的,但高考函數(shù)解答題中f′(x)=0(或f″(x0)=0)的方程往往都是超越方程,此時我們常用的策略有兩種:

        ①二次求導(dǎo),即對y=f′(x)函數(shù)再次求導(dǎo),二階導(dǎo)函數(shù)y=f″(x)的正負(fù)對應(yīng)著y=f′(x)的增減性,進(jìn)而得出導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的正負(fù)情況,最終確定原函數(shù)y=f(x)的增減情況;

        ②設(shè)而不求,即先分析導(dǎo)函數(shù)(或二階導(dǎo)函數(shù))的單調(diào)性,判斷它是否存在零點,若存在,再結(jié)合零點存在定理判斷零點的個數(shù),進(jìn)而設(shè)出零點,對問題進(jìn)行求解.

        ①當(dāng)x∈(-1,0]時,由草圖10可知f′(x)在(-1,0]上單調(diào)遞增,所以f′(x)≤f′(0)=0即f(x)在(-1,0]上單調(diào)遞減,又f(0)=0,所以x=0為函數(shù)f(x)在(-1,0]上的唯一零點;

        圖11

        ④當(dāng)x∈(π,+∞)時,函數(shù)f(x)的圖象草圖如圖11所示,sinx∈[-1,1],ln(x+1)>ln(π+1)>lne=1,所以sinx-ln(x+1)<0,即f(x)在(π,+∞)上不存在零點.

        綜上所述,f(x)有且僅有2個零點.

        【點評】數(shù)形結(jié)合可以很好地為解題探究思路,但不能用形的直觀代替相關(guān)的計算與推理,畫圖不能太草,要盡可能準(zhǔn)確,要善于用單調(diào)性、特殊點、特殊的數(shù)來準(zhǔn)確定位圖形的位置關(guān)系,幫助我們順利解題.

        數(shù)形結(jié)合是求解數(shù)學(xué)問題重要的思想方法,使用這種方法,很多問題迎刃而解,且解法簡捷,特別是在函數(shù)解答題中發(fā)揮著巨大的作用,在求解過程中,圖形可幫助我們找到解決問題的突破口,指引我們解題的方向,通過數(shù)與形的結(jié)合,會使復(fù)雜問題直觀化、簡單化,使解題的過程順暢自然,水到渠成.

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