趙 群, 桑愛軍, 欒曉利, 趙 巖, 賈姍姍

(1. 吉林大學(xué) 通信工程學(xué)院, 長春 130012； 2. 空軍通信士官學(xué)校 對空通信系, 遼寧 大連 116600；3. 空軍航空大學(xué) 初級訓(xùn)練基地, 長春 130022； 4. 長春大學(xué) 理學(xué)院, 長春 130022)

0 引 言

鬼成像也稱關(guān)聯(lián)成像, 作為一種新的成像技術(shù), 實現(xiàn)了將圖像的探測與成像過程的分離, 從而可以在更復(fù)雜的環(huán)境下實現(xiàn)成像。關(guān)聯(lián)成像最初被認為是只有當(dāng)光源為糾纏光時才能通過二階關(guān)聯(lián)運算得出目標(biāo)的信息。隨后, 研究者通過實驗得出贗熱光也可以作為關(guān)聯(lián)成像光源并通過優(yōu)化光場等物理方法提高成像質(zhì)量[1]。但是, 關(guān)聯(lián)成像中的二階關(guān)聯(lián)恢復(fù)算法依然是沿用傳統(tǒng)的香農(nóng)采樣定理的框架, 其通過大量測量恢復(fù)目標(biāo)圖像的方式, 雖然降低了噪聲的影響, 但大大增加了計算時間[2-4], 系統(tǒng)的實時性受到了嚴重的制約。采用Hadamard矩陣作為測量矩陣, 利用矩陣的任意兩列(兩行)的不相關(guān)性, 理論上可實現(xiàn)圖像的近百分之百的重建[5]。但由于Hadamard矩陣的特點制約了成像效率, 將實時視頻的應(yīng)用限制在相對較低的分辨率上[6]。壓縮感知可以解決低分辨率和欠采樣問題[7-8], 但需要大量學(xué)習(xí)訓(xùn)練準(zhǔn)備。之后有人提出了基于沃爾什矢量變換方案的單像素成像, 采樣次數(shù)占全部采樣的20%時也能得到清晰的重建圖像[9]。由于鬼成像在雷達改進[10]、 大氣條件參數(shù)獲取[11]和空間望遠鏡[12]等方面有廣泛應(yīng)用, 因此研究更先進的信號處理方法一直是關(guān)聯(lián)成像技術(shù)的主要問題。筆者提出了一種新的基于二維DCT欠采樣鬼成像高效目標(biāo)重構(gòu)方法, 從而進一步降低采樣次數(shù)而獲得清晰的重構(gòu)結(jié)果。

1 二維DCT鬼成像目標(biāo)重構(gòu)模型

1.1 一維Hadamard變換、 一維與二維DCT

長度為N的列矩陣f的一維離散變換的矩陣表示形式為

FN×1=ΦNfN×1

(1)

其中當(dāng)ΦN表示N階Hadamard矩陣時, 式(1)代表一維Hadamard變換； 其核為

(2)

其中bk(z)是z的二進制表達的第k位,N是Hadamard變換的階數(shù),N=2n,u=0,1,2,…,N-1,x=0,1,2,…,N-1。

從形式上看, 離散余弦是線性的可逆函數(shù)：F:Rn→Rn, 其中R是實數(shù)集, 或等價于一個n×n的方陣, 實質(zhì)是將n個實數(shù)x0,…,xn-1變換到另外n個實數(shù)c0,…,cn-1的操作。如果k代表對應(yīng)實數(shù)的序號, 則反映一維DCT原理的公式為[12-15]

(3)

(4)

則C(k)即為經(jīng)轉(zhuǎn)換后的值。

對于二維DCT方法, 其公式如下

(5)

另外, 定義二維逆離散余弦變換(IDCT： Inverse Discrete Cosine Transform)的公式為

(6)

1.2 二維DCT鬼成像理論分析

二維DCT變換有兩種等價矩陣形式, 具體可由

表示。其中?代表克羅尼克乘積。

為實現(xiàn)二維DCT變換的鬼成像, 首先產(chǎn)生一個N2階的二維DCT矩陣CN2×N2, 該矩陣每行重新排列后得到方陣I(x,y)作為測量矩陣,I(x,y)照射到目標(biāo)物體O(x,y)后, 得到桶探測值B。CN2×N2的第i行與得到的第i個桶探測值的關(guān)系如下

(9)

其中O=[O(1,1),O(1,2),…,O(N,N)]T是目標(biāo)物體O(x,y)的一維表示形式,i=1,2,3,…,N2。矩陣CN2×N2共有N2行, 可得到N2個桶探測值, 以列矩陣的形式表示

(10)

(11)

其中BN×N是鬼成像中桶探測值列矩陣的二維表示形式。利用式(11)即可通過對桶探測值矩陣進行二維DCT重構(gòu)得出目標(biāo)圖像,算法實現(xiàn)流程如圖1所示。

圖1 二維DCT鬼成像目標(biāo)重構(gòu)實現(xiàn)流程Fig.1 Realization process of 2D DCT ghost imaging target reconstruction

2 數(shù)值仿真

根據(jù)上述理論分析, 一維與二維Hadamard變換效果相同。下面分別對基于一維與二維Hadamard變換的鬼成像(1D_HTI, 2D-HTI: Ghost Imaging based on One-Dimensional Hadamard transform)及基于一維與二維DCT的鬼成像(1D_DCTI, 2D_DCTI: Ghost Imaging based on Tow-Dimensional DCT)進行數(shù)值仿真。數(shù)值模擬仿真使用Matlab軟件實現(xiàn), 采用大小為64×64像素的Cameramen二值目標(biāo)圖(JLU)和多灰度圖(辣椒)作為目標(biāo)物體, 仿真過程如圖1所示, 結(jié)果如圖2所示, 對目標(biāo)圖像進行相應(yīng)的正交變換得到相應(yīng)的桶探測值矩陣如圖3所示。

圖2 鬼成像算法仿真對比圖Fig.2 Ghost imaging algorithm simulation comparison diagram

圖3 桶探測值區(qū)域能量集中性對比圖Fig.3 Contrast diagram of energy concentration in bucket detection area

從圖2可看出, 高斯無論是4 096次還是4倍的16 384次仿真重構(gòu)得到的結(jié)果都無法實現(xiàn)百分百重構(gòu), 理論上后4種變換4 096次照射可以完全恢復(fù)目標(biāo)物體。從圖3中可以看出, 這4種變換對圖像具有不同程度的能量集中效果, 即桶探測值矩陣的能量分布不同, 圖3a、 圖3b中能量呈隨機分布, 圖3c、 圖3d中能量分別向左側(cè)和左上集中。

DCT是傅里葉變換的對稱擴展形式, 符合傅里葉變換從低頻到高頻的特性, 圖像的能量向低頻區(qū)域集中。一維DCT去除了列之間的相關(guān)性, 所以變換后能量向左側(cè)集中, 如圖3c所示。對比圖3, 得出二維DCT能量集中性效果最好, 它能同時去除目標(biāo)圖像行、 列的相關(guān)性, 能量向左上角集中, 如圖3d所示。選擇桶探測值矩陣左上角區(qū)域方法如圖4a所示, 求出其能量集中率(EPE: Energy Packing Efficiency,EEPE)

(12)

以度量圖4b該區(qū)域的能量集中性[9]。從圖4b中可以得出, 桶探測值能量集中性方面二維DCT優(yōu)于一維, 一維DCT優(yōu)于二維和一維Hadamard, 二維和一維Hadamard能量集中性相同。

圖像質(zhì)量利用峰值信噪比(RPSNR)進行衡量, 定義為

(13)

a 欠采樣取值圖 b 桶探測值能量集中性對比圖 c 重構(gòu)結(jié)果PSNR曲線對比圖圖4 能量集中性對比圖Fig.4 Energy concentration contrast diagram

由圖3d可以看出, 2D_DCTI桶探測值圖像的能量向低頻區(qū)域集中, 該區(qū)域包含圖像大量的輪廓信息。所以選取桶探測值矩陣左上角的部分數(shù)據(jù), 優(yōu)先實現(xiàn)圖像重構(gòu)。分別對1D_HTI, 2D_HTI, 1D_DCTI和2D_DCTI進行二值目標(biāo)物和多灰度目標(biāo)物的欠采樣仿真對比, 按照從左上角到右下角的順序進行采樣, 對未選中桶探測值位置置0處理。結(jié)果如表1所示, 采樣率代表選擇的部分數(shù)據(jù)占全部數(shù)據(jù)的百分比。從表1可看出, 采樣數(shù)逐漸遞增時, 2D_DCTI的重構(gòu)結(jié)果先得到圖像的輪廓信息, 再逐漸得到圖像的細節(jié)信息。由表1可知, 在采樣點數(shù)相同的情況下, 2D_DCTI的成像質(zhì)量優(yōu)于1D_DCTI,1D_DCTI的成像質(zhì)量優(yōu)于1D_HTI, 1D_HTI與2D_HTI效果相同。

表1 重構(gòu)結(jié)果欠采樣仿真對比表

3 實驗結(jié)果與分析

圖5為基于二維DCT鬼成像目標(biāo)重構(gòu)實驗裝置。對大小為64×64像素的二值圖像(JLU)和多灰度圖像(辣椒)進行目標(biāo)圖像重構(gòu)。

測量矩陣經(jīng)投影儀調(diào)制后照射到目標(biāo)物體, 照射光場經(jīng)由物體反射后由桶探測器接收, 獲得桶探測值。通過關(guān)聯(lián)公式, 進行圖像重構(gòu)。為了對比, 分別以高斯散斑、Hadamard和DCT矩陣作為測量矩陣, (仿真時1D_HTI與2D_HTI效果相同, 實驗中略去2D_HTI), 進行相同照射次數(shù)的實驗, 并增加一組16 384次高斯實驗對比觀察試驗結(jié)果。實驗中通過桶探測值差分減小環(huán)境噪聲的影響[9], 利用該矩陣完成圖像重構(gòu)。對二值目標(biāo)物和多灰度目標(biāo)物重構(gòu)結(jié)果分別進行中值濾波拉伸和直方圖均衡化處理, 實現(xiàn)進一步去噪。根據(jù)3種方法得到的實驗結(jié)果如表2所示。

a 實驗裝置示意圖 b 主要實驗設(shè)備圖5 鬼成像目標(biāo)重構(gòu)實驗裝置圖Fig.5 Experimental device for ghost imaging target reconstruction

表2 鬼成像目標(biāo)重構(gòu)對比表

由表2可以看出, 采用相同圖像增強技術(shù)后, 2D_DCTI的實驗結(jié)果最好。下面通過實驗驗證不同欠采樣取值時目標(biāo)物體重構(gòu)效果, 其中二值目標(biāo)物JLU直接進行鬼成像重構(gòu)及欠采樣處理, 多灰度目標(biāo)物辣椒, 對鬼成像結(jié)果做圖像增強后進行欠采樣處理, 如表3所示。

表3 欠采樣實驗對比表

對比表3的二值和多灰度圖像欠采樣重構(gòu)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)： 無論是否使用圖像增強, 相同采樣點數(shù)下, 2D_DCTI在采樣率12.5%可清晰看出成像內(nèi)容為“JLU”和“辣椒”, 在采樣率6.25%可判斷出成像內(nèi)容為“JLU”和“辣椒”, 而1D_HTI與1D_DCTI在采樣數(shù)較少時, 存在嚴重的重影和失真現(xiàn)象, 幾乎無法識別圖像信息。在圖像重構(gòu)中, 主要的計算量來源于相應(yīng)的正交變換, 2D_DCTI通過對新的桶探測值矩陣左右同時乘以相同大小的一維DCT逆矩陣和矩陣完成二維DCT變換。

4 結(jié) 語

筆者提出基于二維DCT高效鬼成像方案。通過實驗驗證, 在相同采樣數(shù)下, 2D_DCTI的重構(gòu)質(zhì)量與1D_DCTI和1D_HTI、 2D_HTI相比具有絕對優(yōu)勢, 在采樣率為12.5%時可獲得圖像的基本信息。根據(jù)二維DCT的能量集中性, 選擇理論上能量高的桶探測值對應(yīng)的矩陣作為測量矩陣, 在滿足重建圖像質(zhì)量的前提下, 可減少采樣次數(shù)。該成像方案可在較低的采樣率下快速獲得圖像的基本信息, 判斷出圖像所要表達的基本內(nèi)容, 在軍事雷達、 航空航天等有關(guān)目標(biāo)識別的領(lǐng)域均有廣闊的應(yīng)用前景。