浙江 成金德

電磁感應是高中物理中的重點知識之一，導體棒在勻強磁場中做切割磁感線運動產生感應電動勢的相關內容是電磁感應知識中的重要組成部分。導體棒問題又易與共點力平衡、牛頓第二定律、能量、動量和電路等知識聯(lián)系，所以，導體棒問題在高考中占有十分重要的地位。本文就導體棒做切割磁感線運動問題的解題方法做粗淺的分析和探討。

1.導體棒做切割磁感線運動與平衡問題的聯(lián)系

導體棒在磁場中做切割磁感線運動處于平衡狀態(tài)時，將表現(xiàn)出如下特點：其一，相關電路中的電流是恒定電流；其二，導體棒所受的合力為零。求解時要注意對導體棒進行受力分析，靈活運用平衡條件建立方程。

【例1】兩金屬桿ab和cd長均為l，電阻均為R，質量分別為M和m且M>m。用兩根質量和電阻均可忽略且不可伸長的柔軟導線將它們連成閉合電路，并懸掛于水平、光滑、不導電的圓棒兩側。兩金屬桿都處在水平位置，如圖1所示，整個裝置處在與回路平面相垂直的勻強磁場中，磁感應強度為B。若金屬桿ab正好勻速向下運動，求運動的速度。

圖1

【解析】當金屬桿ab正好勻速向下運動時，金屬桿ab和cd均處于平衡狀態(tài)。設磁場方向垂直紙面向里。

ab桿中感應電動勢E1=Blv，方向由a→b

cd桿中感應電動勢E2=Blv，方向由d→c

則回路中感應電流方向為a→b→d→c，大小為

由平衡條件知，對ab桿有FT+F=Mg

對cd桿有FT=F+mg

式中FT為桿受到導線的拉力

【小結】找到平衡條件是解決這類題型的關鍵，本題中兩金屬桿平衡時所受合力均為零，由此建立相關方程，再結合法拉第電磁感應定律和閉合電路歐姆定律，所求問題即可解決。

2.導體棒做切割磁感線運動與牛頓第二定律的聯(lián)系

解決導體棒在磁場中做勻加速切割磁感線運動的問題，要注意把握以下兩點：其一，對導體棒進行受力分析，在此基礎上確定導體棒是否做勻加速運動；其二，熟練應用牛頓第二定律建立方程。

【例2】如圖2所示，一對平行光滑軌道固定在水平面上，兩軌道間距l(xiāng)=0.20 m，電阻R=1.0 Ω。有一導體桿靜止地放在軌道上，與兩軌道垂直，桿及軌道的電阻皆可忽略不計，整個裝置處于磁感應強度B=0.5 T的勻強磁場中，磁場方向垂直軌道平面向下?，F(xiàn)用一水平力F沿軌道方向水平向右拉桿，使之做勻加速直線運動，測得力F與時間t的關系如圖3所示。求桿的質量m和加速度a。

圖2

圖3

【解析】導體桿在外力F作用下做勻加速直線運動，設t時刻導體桿的速度為v

由運動學公式得v=at

導體桿做切割磁感線運動產生的感應電動勢為E=Blv

導體桿受到的安培力F安=BIl

導體桿受到重力、支持力、拉力和安培力，則根據(jù)牛頓第二定律得F-F安=ma

由圖線上取兩點的坐標(0，1)和(30，4)代入上式，解得a=10 m/s2，m=0.1 kg。

【小結】應用牛頓第二定律解題時，必須做好導體棒的受力分析，這是求解這類問題的基礎。

3.導體棒做切割磁感線運動與能量守恒定律的聯(lián)系

導體棒做切割磁感線運動產生感應電流的過程中，要維持感應電流的存在，必須要有外力克服安培力的作用，在此過程中把其他形式的能量轉化為電能，再通過用電器把電能又轉化為其他形式的能量。求解這類問題關鍵在于弄清產生感應電流的過程中能量是如何轉化的，然后根據(jù)能量守恒定律建立方程。

【例3】如圖4所示，在與水平面成θ角的固定矩形框架范圍內，存在垂直于框架的勻強磁場，磁感應強度為B，框架ad、bc電阻不計，長均為l的ab、cd電阻均為R，有一質量為m、電阻為2R的金屬棒MN，平行于ab無摩擦地沖上框架，上升最大高度為h，在此過程中ab部分的焦耳熱為Q，求運動過程中的最大熱功率。

圖4

【解析】金屬棒MN向上做切割磁感線運動產生感應電動勢E，當金屬棒的速度為v時有E=BLv

由于ab和cd的電阻相等，它們中的電流也相等，因此，流過金屬棒MN中的電流為ab中電流的兩倍。當ab部分的焦耳熱為Q時，金屬棒MN消耗的焦耳熱為8Q。設MN的初速度為v0，由能量守恒定律得

金屬棒MN上滑過程中整個電路產生的熱功率為

當速度v=v0時，熱功率最大

【小結】本題的核心是弄清能量的轉化情況，即金屬棒沿斜面向上做切割磁感線運動的過程中，由動能轉化為重力勢能和電能，電能通過電阻轉化為內能，再結合相關知識，即可求解。

4.導體棒做切割磁感線運動與動量定理的聯(lián)系

如果導體棒在磁場中做切割磁感線運動，當電路中涉及電容器求電量問題時，一般情況下需要應用動量定理；或者導體棒在磁場中做非勻變速運動，又需要求解導體棒的速度和時間，則需要應用動量定理。

【例4】(2017年天津卷第12題)電磁軌道炮利用電流和磁場的作用使炮彈獲得超高速度，其原理可用來研制新武器和航天運載器。電磁軌道炮示意圖如圖5，圖中直流電源電動勢為E，電容器的電容為C。兩根固定于水平面內的光滑平行金屬導軌間距為l，電阻不計。炮彈可視為一質量為m、電阻為R的金屬棒MN，垂直放在兩導軌間處于靜止狀態(tài)，并與導軌良好接觸。首先開關S接1，使電容器完全充電。然后將S接至2，導軌間存在垂直于導軌平面、磁感應強度大小為B的勻強磁場(圖中未畫出)，MN開始向右加速運動。當MN上的感應電動勢與電容器兩極板間的電壓相等時，回路中電流為零，MN達到最大速度，之后離開導軌。求：

圖5

(1)磁場的方向；

(2)MN剛開始運動時加速度a的大?。?/p>

(3)MN離開導軌后電容器上剩余的電荷量Q是多少。

【解析】(1)炮彈可以等效于一段導體棒。電容器充電后上極板帶正電，下極板帶負電。當開關接至2時，電容器放電形成自M端向N端的電流，要使MN向右加速運動，由左手定則可知所加磁場方向為垂直于導軌平面向下。

設MN受到的安培力為F，有F=BIl

根據(jù)牛頓第二定律有F=ma

(3)當電容器充電完畢時，設電容器上電量為Q0

則Q0=CE

當開關S接2后，MN向右做加速運動，當其速度達到最大值vmax時，設MN切割磁感線所產生的感應電動勢為E′，則E′=Blvmax

5.導體棒做切割磁感線運動與動量守恒定律的聯(lián)系

在磁場中涉及導體棒間的相互作用問題，當幾根導體棒所受合外力等于零時，則滿足動量守恒定律。對于這樣的問題要注意受力分析和動量守恒的條件。

【例5】如圖6所示，間距為l的兩根光滑金屬導軌固定在水平面上(不計電阻)，導軌由一段圓弧與一段無限長的水平部分組成，其中水平段存在方向沿豎直向下的勻強磁場，磁感應強度為B。在導軌水平部分靜止放置一金屬棒cd，質量為2m，電阻為2r。另一質量為m、電阻為r的金屬棒ab，從圓弧段M處由靜止釋放下滑至N處進入導軌的水平部分，金屬棒與導軌始終垂直且接觸良好，圓弧段MN半徑為R，所對圓心角為60°。求：

圖6

(1)金屬棒ab在N處剛進入磁場區(qū)時金屬棒中的電流是多少？

(2)金屬棒cd能達到的最大速度是多大？

【解析】(1)金屬棒ab由M下滑到N的過程中，由于只有重力做功，機械能守恒，即

當金屬棒ab進入磁場區(qū)瞬間，由閉合電路歐姆定律可求出回路中的電流為

(2)金屬棒ab進入磁場后，在安培力的作用下做減速運動。金屬棒cd在安培力作用下做加速運動，當兩棒的速度達到相同速度v′時，電路中電流為零，安培力為零，兩棒將做勻速運動，此時，金屬cd棒達到最大速度。

取兩棒為研究對象，由于所受到的合外力等于零，則它們的總動量守恒，即

mv=(2m+m)v′

【小結】本題中，當金屬棒ab進入磁場后，由于金屬棒ab做切割磁感線運動，在電路中產生了電流，使得金屬棒ab做減速運動，金屬棒cd做加速運動，但兩棒整體所受到的合外力等于零，滿足動量守恒定律的條件，因此，可以迅速求出金屬棒cd能達到的最大速度。

6.導體棒做切割磁感線運動與振動的聯(lián)系

導體棒在磁場中做振動時，產生的是交變電動勢，形成的電流是交變電流。因此，求解這類問題必須注意應用交變電流的相關知識，尤其要注意理解有效值的概念和掌握焦耳熱的計算方法。

【例6】如圖7所示，間距為l的光滑平行金屬導軌水平地固定在豎直方向的磁感應強度為B的勻強磁場中，右端接阻值為R的電阻。一電阻為r、質量為m的導體棒垂直放置在平行導軌上，在外力F作用下從t=0的時刻開始運動，其速度隨時間的變化規(guī)律為v=vmsinωt。不計導軌的電阻。求：

圖7

【解析】(1)當導體棒在磁場中以v=vmsinωt做簡諧運動時，產生的感應電動勢為e=Blv=Blvmsinωt

電路中形成的感應電流是交變電流，其瞬時值為

【小結】由于本題中的導體棒做簡諧運動，所以它在磁場中做切割磁感線運動時產生的感應電流是交變電流，因此，求解此類問題時務必應用相關的交變電流知識。

7.導體棒做切割磁感線運動與電路的聯(lián)系

求解導體棒做切割磁感線運動與電路相結合的問題，關鍵要畫出電路圖，注意弄清電路的內外結構。通常情況下，產生感應電動勢的那部分導體相當于電源，這部分電路即為內電路。若在一個電路中做切割感應線運動的是幾部分導體，可把它們等效成電源的串并聯(lián)，其余的用電器即為外電路。

【例7】在一磁感應強度B=0.5 T的勻強磁場中，垂直于磁場方向水平放置著兩根相距為h=0.1 m的平行金屬導軌MN與PQ，導軌的電阻忽略不計，在兩根導軌的端點N、Q之間連接一阻值R=0.3 Ω的電阻。導軌上跨放著一根長為L=0.2 m，每米長電阻r=2.0 Ω/m的金屬棒ab。金屬棒與導軌正交放置，交點為c、d。當金屬棒以速度v=4.0 m/s向左做勻速運動時(如圖8)，試求：

圖8

(1)電阻R中的電流強度大小和方向；

(2)使金屬棒做勻速運動的外力；

(3)金屬棒ab兩端點間的電勢差。

【解析】(1)當金屬棒向左運動時，構成了如圖9所示的電路，其中金屬棒cd部分即為該電路中的電源，內阻為rcd=hr

圖9

電動勢Ec d=Bhv

由歐姆定律得R中電流強度為

電流的方向從N流向Q

(2)使金屬棒勻速運動的外力與安培力是一對平衡力，方向向左，其大小為F=F安=BIh=0.02 N

(3)金屬棒ab兩端的電壓等于Ua c+Uc d+Ud b

其中Uc d=IR=Ec d-Irc d

所以Ua b=Ea b-Irc d=BLv-Irc d=0.32 V

【小結】本題的核心是將做切割磁感線運動的金屬棒ab等效為三個電源，其中只有Ec d對電路形成電流有貢獻。在求金屬棒ab兩端點間的電勢差時，三個等效電源均有貢獻，對此，務必引起注意，否則出現(xiàn)錯誤就在所難免。

8.導體棒做切割磁感線運動與變化磁場的聯(lián)系

【例8】如圖10所示，兩根平行金屬導軌固定在水平桌面上，每根導軌每米的電阻為r0=0.10 Ω，導軌的端點P、Q用電阻可以忽略的導線相連，兩導軌之間的距離L=0.2 m。有隨時間變化的勻強磁場垂直于桌面，已知磁感應強度B與時間t的關系為B=kt，比例系數(shù)k=0.020 T/s。一電阻不計的金屬桿可在導軌上無摩擦地滑動，在滑動過程中保持與導軌垂直。在t=0時刻，金屬桿緊靠在P、Q端，在外力作用下，桿以恒定的加速度從靜止開始向導軌的另一端滑動，求在t=6.0 s時金屬桿所受安培力的大小。

圖10

【解析】設金屬桿的加速度為a，則在t=6.0 s時金屬桿的速度v=at

因為金屬桿做切割磁感線運動而產生的動生電動勢為

E1=BLv

【小結】本題中由于金屬桿做切割磁感線運動會產生動生電動勢E1，同時，由于磁場的變化在電路中會產生感應電動勢E2，經判斷可知，回路中的電動勢應為E=E1+E2。弄清這一點是解決此類問題的關鍵。