江西 朱文惠 許冬保
在高中物理學習中,重心是需要掌握的概念,質(zhì)心并非學習的內(nèi)容。然而,在解決物理問題的過程中,質(zhì)心這一觀念常常內(nèi)化為學生自己分析力學問題的行為,自覺或不自覺地在運用。基于質(zhì)心視角分析問題,思路清晰、明了,往往能化繁為簡、化難為易。下面筆者結(jié)合實例,談?wù)勝|(zhì)心視域下力學問題的分析策略。
1.質(zhì)心與重心
在物理學上,質(zhì)心是一個重要的概念,談質(zhì)心往往要談到重心。我們知道,一個物體的各部分都受到重力的作用,從效果上看,可以認為各部分受到的重力作用集中于一點,即重力的等效作用點。該點叫做物體的重心。質(zhì)心即質(zhì)點系質(zhì)量中心或質(zhì)量分布中心,它集中了質(zhì)點系的總質(zhì)量??梢?,質(zhì)心與重心是兩個不同的概念。例如,星際航行飛船離開地球,脫離地球引力范圍,有意義的是質(zhì)心,談重力和重心沒有意義?;诖?,質(zhì)心較重心更具普遍意義。
2.質(zhì)心(重心)位置的確定
如上所述,質(zhì)心與重心均具有等效意義,且均不同于數(shù)學上的幾何點。對于重力均勻分布的空間,質(zhì)心與重心重合。以下僅討論兩者相重合的情形。
以我們熟悉的重心為例,關(guān)于重心位置的確定,方法很多。如由懸掛法確定薄板類物體的重心位置;質(zhì)量分布均勻且具有規(guī)則幾何形狀的物體,其重心位置在幾何中心;對幾個質(zhì)點構(gòu)成的系統(tǒng),系統(tǒng)的重心位置在數(shù)學上是由質(zhì)量為權(quán)的加權(quán)平均方法求出。以質(zhì)點質(zhì)量平面分布為例,先建立坐標系,各質(zhì)點的質(zhì)量為mi,坐標為(xi、yi),其中i=1、2、3…n。則重心(質(zhì)心)坐標計算公式為
質(zhì)心是在物體運動中具有特殊地位的假想質(zhì)點,其運動服從質(zhì)心運動規(guī)律。下面以兩個質(zhì)點構(gòu)成的系統(tǒng)為例,談?wù)劚碚髻|(zhì)心的三個物理量。
1.質(zhì)點到質(zhì)心的距離
兩個質(zhì)點構(gòu)成的質(zhì)點系,質(zhì)心C必在這兩個質(zhì)點的連線上。設(shè)兩個質(zhì)點的質(zhì)量分別為m1、m2,間距為l,沿它們的連線設(shè)置x軸,兩質(zhì)點坐標如圖1所示,根據(jù)公式①,得質(zhì)心坐標xC
該式為此質(zhì)點系質(zhì)心的位置坐標計算公式
若將坐標原點O設(shè)置在C上,則有m1x1+m2x2=0
引入間距l(xiāng)1=|x1|,l2=|x2|,便有m1l1=m2l2
由于l1+l2=l,因此
③式分別表示質(zhì)量為m1、m2的質(zhì)點到質(zhì)心的距離計算公式。
圖1
2.質(zhì)心速度
對于②式,兩邊對時間取變化率(對時間求導(dǎo)數(shù)),有
該式即質(zhì)心速度計算公式
該式可理解為兩個孤立質(zhì)點作用后黏合在一起(相當于完全非彈性碰撞)的速度計算公式。
3.質(zhì)心加速度
對于④式,兩邊對時間取變化率(或?qū)r間求導(dǎo)數(shù)),有
該式即質(zhì)心加速度計算公式
由于力是產(chǎn)生加速度的原因,因此有
F=m1a1+m2a2=(m1+m2)aC⑥
表達式F=m1a1+m2a2,常被稱作系統(tǒng)(或質(zhì)點系)的牛頓第二定律形式。
表達式F=(m1+m2)aC表明:兩質(zhì)點(或質(zhì)點系)質(zhì)心的運動與一個質(zhì)點的運動相同,該質(zhì)點的質(zhì)量等于兩質(zhì)點(或質(zhì)點系)的總質(zhì)量,作用于該質(zhì)點的力等于作用于兩質(zhì)點(或質(zhì)點系)所有外力的矢量和。該規(guī)律在理論上稱為質(zhì)心運動定理。
特別地,當合外力為零時,aC=0,表明質(zhì)心處于靜止或勻速直線運動狀態(tài)。
1.小球運動論證
圖2
【例1】如圖2所示,臺秤上放一個裝有水的杯子,通過固定在臺秤上的支架用細線懸掛一個小球,球全部浸沒在水中,平衡時臺秤的示數(shù)為某一數(shù)值。今剪斷懸線,在球下落但還沒有達到杯底的過程中,若不計水的黏滯阻力,試分析臺秤的示數(shù)將如何變化?
【點評】將小球及等體積水球視為一個系統(tǒng),研究系統(tǒng)質(zhì)心的加速度,結(jié)合超重、失重知識推理、論證,可較方便地判斷系統(tǒng)對臺秤壓力的變化情況。
2.鏈條運動等效
【例2】如圖3所示,一條長為l的質(zhì)量均勻分布的柔軟鏈條,開始時靜止放在光滑梯形平臺上,斜面上的鏈條長為x0。已知重力加速度為g,l
圖3
如圖4所示,平臺上鏈條長度減小Δx,斜面上鏈條增加Δx。由于其他部分鏈條的質(zhì)心未變。因此,系統(tǒng)重力勢能的減少量等效于長度為Δx的鏈條由平臺遷移至斜面上所減少的重力勢能。建立方程時以質(zhì)心(Δx長度之中點)運動來處理,即
圖4
【點評】由于鏈條質(zhì)量均勻分布,分析時將整條鏈條視為(等效)由兩部分(不動的及運動的部分)構(gòu)成,考慮系統(tǒng)質(zhì)心的變化,給方程的建立帶來了方便。
3.雙星模型重建
【例3】如圖5所示,雙星A、B僅在相互間的萬有引力作用下,繞球心連線的某點O做周期相同的勻速圓周運動。兩星之間的距離為l,運動周期為T,引力常量為G。則
圖5
(1)若已知A、B質(zhì)量分別為m1、m2,求雙星A、B的質(zhì)心位置;
(2)若A、B質(zhì)量未知,求雙星A、B的質(zhì)量之和。
(2)設(shè)雙星A、B運動的軌道半徑分別為r1、r2。由萬有引力定律及牛頓運動定律,有
由幾何關(guān)系有l(wèi)=r1+r2
【點評】宇宙中孤立天體構(gòu)成的系統(tǒng),在相互之間的引力作用下,均繞質(zhì)心做周期相同的勻速圓周運動。上述答案表明r1=l1,r2=l2,說明圓心O即質(zhì)心。雙星繞共同中心運動亦即雙星繞系統(tǒng)質(zhì)心運動。該現(xiàn)象正是質(zhì)心運動定理的表現(xiàn)。
4.振動問題簡解
【例4】如圖6所示,質(zhì)量均為m的兩木塊用勁度系數(shù)為k的輕彈簧連接起來,用兩根繩子拉緊兩物體,使彈簧壓縮。某時刻將繩子燒斷,試求兩木塊的振動周期。(不計一切摩擦阻力)
圖6
【解析】初態(tài)時系統(tǒng)靜止無初速度,繩子燒斷瞬間,系統(tǒng)水平方向的合外力為零,因此系統(tǒng)的質(zhì)心位置保持不變,圖中質(zhì)心位置在彈簧中點。根據(jù)對稱性,兩木塊振動的周期相同。
【點評】由于系統(tǒng)的質(zhì)心不變,因此可將雙振子振動模型等效為兩個相對質(zhì)心的彈簧振子模型,通過模型轉(zhuǎn)化,使復(fù)雜問題簡單化。
5.兩體問題另解
圖7
【例5】如圖7所示,在光滑的水平面上有一靜止的物體M,物體M上有一光滑的半徑為R的半圓弧軌道,最低點為C,A、B為同一水平直徑上的兩點。現(xiàn)讓小滑塊m從A點由靜止下滑,求:
(1)分析小滑塊m能否到達半圓弧軌道B點;
(2)物體M運動的最大位移。
【解析】(1)研究物體M和小滑塊m組成的系統(tǒng),在水平方向無外力作用,系統(tǒng)在水平方向動量守恒。小滑塊m滑到右端兩者水平方向具有相同的速度v,由動量守恒定律,有0=(m+M)v,即v=0。由于系統(tǒng)只有重力做功,系統(tǒng)的機械能守恒。因此,小滑塊m能夠到達半圓弧軌道B點。
圖8
(2)如圖8所示,由于系統(tǒng)的質(zhì)心位置保持不變。因此,有
mx1=Mx2;2R=x1+x2
【點評】本題本質(zhì)上是“人船模型”的遷移。分析中注意兩點:其一,質(zhì)心位置不變;其二,系統(tǒng)機械能守恒及水平方向動量守恒。問題(2)的傳統(tǒng)解法是根據(jù)平均動量守恒定律來處理。
6.碰撞問題巧解
【例6】在光滑水平地面上有一凹槽A,中央放一小物塊B。物塊與左右兩邊槽壁的距離如圖9所示,L為1.0 m。凹槽與物塊的質(zhì)量均為m,兩者之間的動摩擦因數(shù)μ為0.05。開始時物塊靜止,凹槽以v0=5 m/s初速度向右運動,設(shè)物塊與凹槽壁碰撞過程中沒有能量損失,且碰撞時間不計,g取10 m/s2。求:
圖9
(1)物塊與凹槽相對靜止時的共同速度;
(2)從凹槽開始運動到兩者相對靜止,物塊與右側(cè)槽壁碰撞的次數(shù);
(3)從凹槽開始運動到兩者相對靜止所經(jīng)歷的時間及該時間內(nèi)凹槽運動的位移大小。
【解析】(1)系統(tǒng)共同速度即質(zhì)心速度,記為vC,水平方向系統(tǒng)動量守恒,有
mv0=2mvC
(2)在質(zhì)心系中,選vC為正方向,A、B初速度分別為
vA=v0-vC=2.5 m/s,vB=-vC=-2.5 m/s
由于摩擦發(fā)熱與參考系無關(guān),由動能定理,有
解得n=13
物塊與右側(cè)槽壁碰撞的次數(shù)為6次。
質(zhì)心做勻速直線運動,在時間t內(nèi)質(zhì)心位移為
xC=vCt=12.5 m
由于A、B質(zhì)量相等,由圖10可知,A的位移為
圖10