駱 華,王應明

(福州大學 經(jīng)濟與管理學院,福州 350108)

決策具有普遍性,但是近年來由于決策環(huán)境的不確定性、信息的不完整性以及人們處理信息能力的限制使得傳統(tǒng)的決策方法已經(jīng)很難解決現(xiàn)實生活中的很多決策問題.為此,Zadeh[1]于1965年提出了模糊集的概念,其能夠用于刻畫模糊現(xiàn)象從而解決許多模糊問題.但是模糊集理論不允許一個屬性同時出現(xiàn)幾個不同的隸屬度,因而不能有效地刻畫猶豫信息,從而導致部分決策信息的丟失.為了能夠更好地刻畫猶豫信息,Torra[2]于2010年提出了猶豫模糊集的概念,其允許一個屬性可能出現(xiàn)幾個不同的隸屬度值,能夠反映出人們在決策時的猶豫程度.此后,國內(nèi)外學者對猶豫模糊集進行了相關(guān)的拓展研究,將其拓展為區(qū)間猶豫模糊集[3]、三角猶豫模糊集[4]、猶豫模糊語言集[5]等.雖然猶豫模糊集允許一個屬性用幾個不同的隸屬度值表達,但是它卻將每一個隸屬度發(fā)生的概率看作是相同的.而在現(xiàn)實生活中,專家在給出隸屬度值時,認為某一個隸屬度出現(xiàn)的概率比另一個隸屬度大,這是很正常的現(xiàn)象.顯然,僅用猶豫模糊集并不能表示專家的這種偏好,從而導致某些決策信息的丟失.為了有效地表示出不同的隸屬度值出現(xiàn)的概率可能不同的現(xiàn)象,Xu 等[6]在猶豫模糊集的基礎上提出了概率猶豫模糊集,其包含的不確定信息更多,更能表達決策者的偏好.近年來,國內(nèi)外相關(guān)學者對概率猶豫模糊集進行了研究,Li 等[7]提出了概率猶豫模糊元的可能度公式,將其與QUALIFLEX和PROMETHEEⅡ方法相結(jié)合并運用到多屬性決策問題中.Zhao 等[8]基于傳統(tǒng)的聚合算子,給出了概率猶豫模糊集的聚合算子.Gao 等[9]定義了概率猶豫模糊元的距離測度,并且提出了考慮時間因素的多階段動態(tài)概率猶豫模糊聚合算子.朱峰等[10]提出了概率猶豫模糊元的符號距離測度和交叉熵測度來構(gòu)建多屬性決策模型.

為了更加現(xiàn)實地描述決策者的實際決策過程,Tversky 等[11]提出了前景理論,其采用價值函數(shù)和概率權(quán)重代替期望效用中的效用和概率.參考點的選擇是前景理論中重要的環(huán)節(jié),現(xiàn)有的參考點主要包括零點參考點、中位數(shù)參考點、正負理想點參考點以及期望值參考點等[12].在這4 個參考點中,只有期望值參考點不受準則值的影響,是決策者對準則值的總體認知,能夠充分反映決策者的偏好.張曉等[13]以期望值為參考點,將前景理論運用于風險型混合多屬性決策問題中.閆書麗等[14]以期望灰靶為參考點并利用線性變化算子對前景價值進行規(guī)范化處理.龔承柱等[15]事先給定期望值參考點,基于前景理論和隸屬度建立混合型多屬性決策模型.

總體上看,以概率猶豫模糊數(shù)表達屬性的隸屬度已經(jīng)非常常見,在決策過程中,決策者的預期以及心理行為因素會影響到最終決策效果,而前景理論能夠充分地反映決策者的心理行為.因此,本文將前景理論運用到概率猶豫模糊集的環(huán)境中,提出了一種基于前景理論的概率猶豫模糊多屬性決策方法.給出了考慮決策者猶豫度以及元素值之間差異的拓展的海明距離公式和拓展的歐式距離公式并且以決策者的期望值為參考點建立前景決策矩陣,然后利用離差最大化法計算屬性權(quán)重,得出各個方案的綜合前景值,并按其大小進行排序.

1 預備知識

1.1 概率猶豫模糊集相關(guān)知識

文獻[2]在模糊集的基礎上提出了猶豫模糊集的概念,用于解決在同一個屬性中可能存在多個評估值的現(xiàn)象.

定義1[2].設非空集合X是一個給定的論域,則稱:

為X上的一個猶豫模糊集.其中,h(x)={γλ|λ=1,2,···,l}為 其中一個猶豫模糊元,l為 概率猶豫模糊元h(x)中元素的個數(shù),γλ∈[0,1]為 非空集合X中的元素x屬于猶豫模糊集H的隸屬度.

定義2[6].設非空集合X是一個給定的論域,則稱:

為在X上的一個概率猶豫模糊集.其中,h(Px)={γλ(Pλ)|λ=1,2,···,l} 為概率猶豫模糊元,l為概率猶豫模糊元h(Px)中 元素的個數(shù),γλ∈[0,1]為非空集合X中的元素x屬于概率猶豫模糊集HP的隸屬度,Pλ∈[0,1]表示隸屬度 γλ的概率,且當時,表示信息完全;當時,表示信息不完全.

一般將所有的概率猶豫模糊元h(Px)中的元素按隸屬度從小到大排序,h(Px)的補集為:

定義3[7].設h(Px)={γλ(Pλ)|λ=1,2,···,l}為概率猶豫模糊元,則稱:

分別為h(Px)的期望和方差.

定義4[7].設h1(Px)和h2(Px)為任意的兩個概率猶豫模糊元,E(h1(Px))、E(h2(Px))分別為h1(Px)和h2(Px)的期望值,D(h1(Px))、D(h2(Px))分別為h1(Px)和h2(Px)的方差.則:

① 若E(h1(Px))>E(h2(Px)),則h1(Px)>h2(Px).

② 若E(h1(Px))

③ 若E(h1(Px))=E(h2(Px))且D(h1(Px))h2(Px);

若E(h1(Px))=E(h2(Px))且D(h1(Px))=D(h2(Px))則h1(Px)=h2(Px);

若E(h1(Px))=E(h2(Px))且D(h1(Px))>D(h2(Px))則h1(Px)

設概率猶豫模糊元h1(Px)和h2(Px)中的元素個數(shù)分別為l1和l2,當l1≠l2時,在元素較少的集合中添加元素,使其個數(shù)為l=max{l1,l2}.決策者可以根據(jù)自身對風險的態(tài)度選擇所添加的元素.本文中,采用添加概率猶豫模糊元中隸屬度最大的值且添加的隸屬度的概率為0.

定義5[9].設為任意兩個概率猶豫模糊元,則稱:

為概率猶豫模糊元h1(Px)和h2(Px)之間的海明距離,l=max(l1,l2).

1.2 前景理論相關(guān)知識

根據(jù)前景理論思想[11],前景理論主要由綜合前景值的大小來確定最優(yōu)決策方案,而綜合前景值包括前景價值函數(shù)v(xi)和概率權(quán)重函數(shù)w(Pi),具體表示為:

Tversky 等[16]給出了價值函數(shù)為冪函數(shù):

其中,?x表示屬性值x偏離某一參考點的大小,?x≥0表示獲得收益,?x<0表示遭受損失;α、β分別表示偏好風險和厭惡風險的系數(shù),且 0 <α、β <1;θ表示損失規(guī)避系數(shù),且θ >1.

王應明等[17]基于猶豫模糊歐式距離定義了前景價值函數(shù).

定義6[17].設h1=和h2=為兩個猶豫模糊數(shù),通過增加相應的元素,使h1和h2標準化為具有相同的個數(shù),若以h1為參考點,則h2的前景價值函數(shù)為:

2 確定前景決策矩陣及屬性權(quán)重

在前景理論中,決策者首先要對各個方案的屬性進行衡量,以確定各個方案的“收益”或者“損失”,而在衡量的過程中一般要選取某個參考點,選取參考點的不同,可能會帶來不同的衡量結(jié)果.本文采用決策者對各個屬性的期望向量作為參考點,并且各個期望值以概率猶豫模糊元的形式給出,把期望值作為參考點可以很好的與前景理論中充分考慮決策者心理行為的性質(zhì)相結(jié)合,然后通過各個方案的屬性值與參考點之間的比較,來確定各個屬性與參考點之間的大小關(guān)系,并且計算各個屬性與參考點之間的距離,確定前景決策矩陣.

2.1 距離公式

由于傳統(tǒng)的海明距離和歐式距離公式只考慮了概率猶豫模糊元中元素值之間的差異,沒有將概率猶豫模糊元中元素個數(shù)的差異考慮進去,可能會導致決策信息的丟失.為了充分考慮決策者之間意見猶豫不決的程度,本文針對猶豫值的個數(shù),給出了猶豫度;綜合考慮猶豫度以及元素值之間的差異,提出拓展的海明距離公式、拓展的標準歐式距離公式、拓展的一般歐式距離公式、拓展的加權(quán)海明距離公式、拓展的加權(quán)標準歐式距離公式以及拓展的加權(quán)一般歐式距離公式.

定義7.設非空集合X為一個給定的論域,HP為集合X上的一個概率猶豫模糊集,l為概率猶豫模糊元h(Px)中元素的個數(shù),令:

稱u(h(Px))為概率猶豫模糊元h(Px)的猶豫度,u(HP)為概率猶豫模糊集HP的猶豫度.概率猶豫模糊元中元素的個數(shù)越多,猶豫程度越大.當且僅當概率猶豫模糊元中元素個數(shù)為1 時,其猶豫度為0.

(1)概率猶豫模糊元h1(Px)與h2(Px)之間拓展的海明距離為:

(2)概率猶豫模糊元h1(Px)與h2(Px)之間拓展的標準歐式距離為:

(3)概率猶豫模糊元h1(Px)與h2(Px)之間拓展的一般歐式距離為:

(4)概率猶豫模糊元h1(Px)與h2(Px)之間的拓展的加權(quán)海明距離為:

(5)概率猶豫模糊元h1(Px)與h2(Px)之間拓展的加權(quán)標準歐式距離為:

(6)概率猶豫模糊元h1(Px)與h2(Px)之間拓展的加權(quán)一般歐式距離為:

其中,l=max(l1,l2),0≤μ,ν≤1且 μ +ν=1,φ >0.特別的,當φ=1且 μ=ν=0.5時,式(7)退化為拓展的海明距離,即式(2);當 φ=2 且μ=ν=0.5時,式(7)退化為拓展的標準歐式距離,即式(3);當μ=ν=0.5時,式(7)退化為拓展的一般歐式距離,即式(4);當 φ=1時,式(7)退化為拓展的加權(quán)海明距離,即式(5);當 φ=2時,式(7)退化為拓展的加權(quán)標準歐式距離,即式(6).

性質(zhì)1.式(2)中的距離D(h1(Px),h2(Px))滿足:

① 0≤D(h1(Px),h2(Px))≤1;

②D(h1(Px),h2(Px))=0,當且僅當h1(Px)=h2(Px);

③D(h1(Px),h2(Px))=D(h2(Px),h1(Px)).

證明:

① 因為 0≤u(h1(Px))≤1,0≤u(h2(Px))≤1,則0≤|u(h1(Px))?u(h2(Px))|≤1;又因為0≤γ1λ·P1λ≤1,因此故0≤D(h1(Px),h2(Px))≤1.

②若h1(Px)=h2(Px),則u(h1(Px))=u(h2(Px))且γ1λ·P1λ=γ2λ·P2λ,因此|u(h1(Px))?u(h2(Px))|=0且,故D(h1(Px),h2(Px))=0;

若D(h1(Px),h2(Px))=0,則|u(h1(Px))?u(h2(Px))|=0且因此u(h1(Px))=u(h2(Px))且γ1λ·P1λ=γ2λ·P2λ,故h1(Px)=h2(Px).

因為|u(h1(Px))?u(h2(Px))|=|u(h2(Px))?u(h1(Px))|且故 D({h_1}({P_x}),{h_2}({P_x}))=D(h2(Px),h1(Px))

同理可得式(3)～式(7)也滿足性質(zhì)1 的內(nèi)容,此處不再贅述.

2.2 建立前景決策矩陣

在多屬性{決策問題中,設}方案集A={Ai|i=1,2,···,m},屬性集決策矩陣為B=[Bij]m×n,其中,Bij表示第i個方案的第j個屬性值,決策者根據(jù)已經(jīng)獲得的信息以及對未來的預期給出了關(guān)于屬性的期望向量E={E1,E2,···,En}.

根據(jù)定義4 中通過計算概率猶豫模糊元的得分函數(shù)以及方差來確定兩個概率猶豫模糊元之間的大小關(guān)系的比較方法,確定Bij與Ej之間的大小關(guān)系,從而判斷各個方案在該屬性下相對于期望是”收益”還是”損失”.

當Bij≥Ej時,表示第i個方案的第j個屬性相對于期望值Ej是獲得收益的;當Bij

以Ej為參考點,則Bij的前景價值函數(shù)為:

其中,α、β 分別表示偏好風險和厭惡風險的系數(shù),且0<α、β <1;θ 表示損失規(guī)避系數(shù),且θ >1.α、β 越大,表示決策者越傾向于冒險;θ越大,表示決策者面對損失時的規(guī)避程度越大.

關(guān)于3 個參數(shù)α、β 以及θ 的取值,Tversky 等[16]通過大量的實驗測試以及相關(guān)分析,得出一組能夠表示任意決策者心理行為的參數(shù)值α=β=0.88,θ=2.25.另外,文獻[18,19]通過實驗對這3 個參數(shù)的取值進行了相關(guān)的分析研究,得到了與上述取值非常相近的參數(shù)值.此外,文獻[13,20]在研究應用中也采用上述的參數(shù)值,可見上述參數(shù)值在實際的決策中具有非常重要的意義.因此,本文在后續(xù)的算例分析中也采用上述參數(shù)值進行計算.

最后通過計算前景價值函數(shù),建立前景決策矩陣V=[v(Bij)]m×n.

2.3 確定屬性權(quán)重

設方案集A={Ai|i=1,2,···,m},屬性集C={Cj|j=1,2,···,n},屬性權(quán)重為w=(w1,w2,···,wn)T,wj∈[0,1]且本文基于離差最大化思想構(gòu)建在概率猶豫模糊集環(huán)境下的屬性權(quán)重確定模型.具體模型如下[6]:

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)來求解上述模型:

對式(9)分別關(guān)于wj、η求偏導,并設其為0,獲得等式如下:

求解式(10)得:

對wj進行單位化得屬性權(quán)重為:

3 決策步驟

對于概率猶豫模糊多屬性決策問題,根據(jù)上述的定義、性質(zhì)以及分析,本文提出基于前景理論的概率猶豫模糊多屬性決策方法,具體步驟如下:

步驟1.專家以概率猶豫模糊元的形式給出每個方案在各個屬性下的評價值,得到概率猶豫模糊決策矩陣B=[Bij]m×n.

步驟2.對決策矩陣進行標準化處理,得到標準化概率猶豫模糊決策矩陣標準化方法如下:

將屬性分類為效益性屬性以及成本型屬性,若屬性Cj為效益性屬性,則原決策矩陣中的概率猶豫模糊元保持不變;若屬性Cj為成本型屬性,則原決策矩陣中的概率猶豫模糊元為其補集.即:

步驟3.決策者給出屬性期望向量E={E1,E2,···,En},并且采用定義8 中的公式計算B′ij與Ej之間拓展的距離,得到距離矩陣

步驟6.計算各個方案的綜合前景值:

再進行排序并選擇最優(yōu)方案,的值越大,表示方案越優(yōu).

4 算例分析

4.1 算例分析

某企業(yè)現(xiàn)需要購買ERP 系統(tǒng)軟件且利用評價指標對ERP 系統(tǒng)進行選擇,評價指標從獨立性、可測性、層次性、簡明性和經(jīng)濟性5 個原則出發(fā)進行設立.現(xiàn)有4 個ERP 系統(tǒng)軟件品 牌A1、A2、A3、A4可供 選擇,通過建立4 個屬性C1(軟件信譽和服務水平)、C2(成本體系)、C3(功能滿足程度)和C4(系統(tǒng)性能)作為ERP 系統(tǒng)軟件評價指標體系.其中,C2屬于成本型屬性,C1、C3和C4屬于效益型屬性.四個屬性對應的權(quán)重向量為未知.決策者以概率猶豫模糊數(shù)的形式給出各個屬性的期望向量為:

運用本文方法選擇最優(yōu)方案的步驟如下:

步驟1.決策者以概率猶豫模糊數(shù)的形式給出決策值,構(gòu)建決策矩陣B=[Bij]m×n如表1所示.

表1 決策矩陣

步驟2.對決策矩陣進行標準化處理,得到標準化概率猶豫模糊決策矩陣如表2所示.

表2 標準化后的決策矩陣

步驟3.運用概率猶豫模糊拓展的標準歐式距離公式(3)計算決策值與期望值之間的距離,得到距離矩陣如表3所示.

表3 距離矩陣

步驟4.結(jié)合距離矩陣以及式(8),計算屬性值相對于參照點的收益或損失,建立前景決策矩陣如表4.

表4 前景決策矩陣

步驟5.運用式(12)計算各個屬性的權(quán)重,得到屬性權(quán)重向量:

步驟6.運用式(13)計算各個方案的綜合前景值:

最后,根據(jù)各個方案的綜合前景值,將方案進行排序為A3>A4>A2>A1.

4.2 比較分析

如果采用文獻[21]提供的方法,參考點全部取為各個屬性下的中位數(shù),計算相應的決策參考點和綜合前景值,得到方案的綜合前景值為:

將方案進行排序為A3>A4>A1>A2.

從結(jié)果可以看出,文獻[21]提出的方法與本文提出的方法雖然最優(yōu)方案都是A3,但是總體排列順序不同,本文方法得出的結(jié)果是方案A2優(yōu)于方案A1,而文獻[21]得出的結(jié)果是方案A1優(yōu)于方案A2,并且從綜合前景值的具體數(shù)值來看,文獻[21]方法的數(shù)值之間相隔較近,與本文方法相比其區(qū)分度較不明顯,這主要是因為采用中位數(shù)作為決策參考點時,不能很好地反映決策者的心理預期,而用期望值作為決策參考點得出的結(jié)果能夠充分考慮決策者的心理行為,更能有效地和前景理論相結(jié)合.

若假設決策矩陣中的每個隸屬度屬于給定集合的概率相同,即以猶豫模糊集的形式給出決策矩陣中的元素,并運用本文的方法計算出各個方案的綜合前景值為:

將方案進行排序為A3>A4>A1>A2

從排序結(jié)果可以看出,在以猶豫模糊集形式給出決策信息的環(huán)境下與本文中以概率猶豫模糊集形式給出決策信息的環(huán)境下雖然最優(yōu)方案都是A3,但是總體排列順序不同,以概率猶豫模糊集形式表示決策信息得出的結(jié)果是方案A2優(yōu)于方案A1,而以猶豫模糊集形式表示決策信息得出的結(jié)果是方案A1優(yōu)于方案A2,原因在于在以猶豫模糊集形式表示決策信息,只體現(xiàn)了每個隸屬度的值,認為每個隸屬度屬于給定集合的概率是相同的,而在實際決策過程中,決策者認為某些隸屬度屬于給定集合的概率大于其他隸屬度,這是很正常的現(xiàn)象.因此在沒有考慮每個隸屬度屬于給定集合的概率的猶豫模糊集環(huán)境下,得出的排序結(jié)果相對而言沒有很好地符合決策者的預期.

5 結(jié)論

本文將前景理論運用到概率猶豫模糊集的環(huán)境中,提出了一種基于前景理論的概率猶豫模糊多屬性決策方法.首先根據(jù)每個概率猶豫模糊元中的元素個數(shù)的不同,給出能夠表現(xiàn)出決策者的猶豫程度的猶豫度公式,再結(jié)合元素值之間的差異,給出了拓展的海明距離以及歐式距離,其更能夠表示出決策者的心理偏好,并且基于距離矩陣采用離差最大化法計算屬性權(quán)重;然后以決策者的期望值為參考點建立前景決策矩陣,這能夠?qū)Q策者的心理風險因素引入到概率猶豫模糊集的多屬性決策中.該方法能夠?qū)⑿睦韺W與管理決策過程有機地結(jié)合起來,更能夠反映出人們在面對模糊信息時的決策行為,能夠為概率猶豫模糊環(huán)境下的多屬性研究提供一種新的思路,是概率猶豫模糊集的有益擴展,可以用于應急決策、創(chuàng)新投資決策等實際問題中.在后面的研究中,重點研究將前景理論放在動態(tài)的概率猶豫模糊集環(huán)境中,反映出每個時間段由于獲得信息的不同,決策者對于風險的態(tài)度是不同的,從而選擇的決策方案可能也會存在不同的決策問題.