徐志海，羅興鈞，張 榮

(贛南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 贛州 341000)

1 引言

第一類非線性算子方程F(x)=y的求解是典型的不適定問題，一般要用正則化方法[1-3]，才能得到穩(wěn)定的數(shù)值解.粗略的說，正則化方法分成兩類：變分正則化方法與迭代正則化方法.Tikhonov正則化方法是典型的變分正則化方法[4]，難點(diǎn)是極小化解的求解.因此實(shí)際問題廣泛采用迭代正則化方法，比如Gauss-Newton方法[5-6]、Levenberg-Marquardt方法[7-8]、Landweber方法[9-10].由于Landweber 迭代方法，簡(jiǎn)單、容易實(shí)現(xiàn)，因此在實(shí)際問題中受到了廣泛的關(guān)注.但是Landweber迭代方法對(duì)非線性算子F的要求比較苛刻，適用范圍受限，因此,Scherzer在文獻(xiàn)[11]中提出了求第一類非線性算子方程的改進(jìn)的Landweber迭代方法.這個(gè)方法的優(yōu)點(diǎn)是降低了對(duì)非線性算子F的要求，只要求F關(guān)于x的Frechet導(dǎo)數(shù)F′(x)滿足Lipschitz條件，這個(gè)條件容易驗(yàn)證.由于Scherzer的方法是在無限維Hilbert空間中提出的，實(shí)際應(yīng)用中無法實(shí)現(xiàn)，因此本文的主要工作就是在有限維空間中，提出離散的改進(jìn)Landweber迭代算法，給出迭代停止準(zhǔn)則，確保近似解的收斂性與收斂率.優(yōu)點(diǎn)是實(shí)用性強(qiáng)，保收斂性.

2 離散的改進(jìn)迭代格式

本節(jié)結(jié)合改進(jìn)形式的Landweber迭代方法和多尺度Galerkin投影方法，給出求解第一類非線性積分算子方程的離散的改進(jìn)迭代格式.

F(x)=yδ,

(1)

其中x是X中的未知元素，yδ是Y中的確定元素.

改進(jìn)的Landweber迭代方法，其形式為

(2)

假定對(duì)于任意的n∈N，D(F)∩Xn≠φ，Pn∶X→Xn為正交投影算子.利用多尺度Galerkin投影方法離散改進(jìn)的Landweber迭代方法(2)，得到離散的改進(jìn)Landweber迭代格式為

(3)

3 預(yù)先假設(shè)及迭代停止準(zhǔn)則

迭代停止準(zhǔn)則(R1)

(i)選擇整數(shù)n，滿足γn

(4)

4 離散的改進(jìn)迭代格式近似解的收斂性分析

(5)

(6)

由Cauchy-Schwarz不等式及(H3)，有

(7)

(8)

(9)

注意到(I-Pn)2=(I-Pn)，有

由(H1)、(H3)，有

(10)

將(10)代入(9)，有

(11)

(12)

由(11)，有

(13)

由(13)遞推，有

現(xiàn)給出離散的改進(jìn)迭代格式近似解的收斂率.

(14)

(15)

進(jìn)一步有

(16)

由Cauchy-Schwarz不等式、(H4)、(16)，有

(17)

以及

(18)

將(8)、(17)、(18)代入(5)，有

(19)

由(14)，有

(20)

由(15)，有

5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

容易驗(yàn)證F滿足條件(H1)-(H3)，假定yδ(s)=y(s)+δ·v(s)，其中v(s)=sin(s)，δ∶= 10-j，j=2,3,4,5.假定子空間Xn是在區(qū)間[0,1]中的節(jié)點(diǎn)j/2n上的分片線性多項(xiàng)式空間，其中j=0,1,2,…,2n-1.子空間Xn的子空間的正交直和空間分解關(guān)系式為Xn=X0?⊥W1?⊥…?⊥Wn，其中子空間X0是在區(qū)間[0,1]上的線性多項(xiàng)式空間.現(xiàn)選取子空間X0的一組正交基[11-12]為

子空間W1的一組正交基為

則子空間Wi的一組正交基可遞歸得到，即

數(shù)值結(jié)果見表1.表1中的數(shù)值結(jié)果是在選取τ=2.2，并利用迭代停止準(zhǔn)則(R1)后驗(yàn)選取迭代次數(shù)k*.為了表明收斂速度與噪聲水平和離散水平的關(guān)系，選取了不同的δ和n值.表1中數(shù)值結(jié)果與定理1的結(jié)論吻合，說明算法是有效的.

表1 數(shù)值結(jié)果