摘要：針對(duì)D-H建模[1]的機(jī)械臂齊次變換矩陣的旋轉(zhuǎn)平移運(yùn)算參數(shù)多且運(yùn)算過(guò)程煩瑣問(wèn)題，本文探討了正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)中基于字符多項(xiàng)式矩陣運(yùn)算的化簡(jiǎn)和應(yīng)用，解決了推導(dǎo)繁復(fù)的問(wèn)題，結(jié)果可讀性強(qiáng)，可大幅度減少建模設(shè)計(jì)周期。

關(guān)鍵詞：機(jī)械臂;字符多項(xiàng)式;矩陣乘法;逆矩陣

中圖分類號(hào)：TP393 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2020）27-0211-02

開(kāi)放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

多關(guān)節(jié)機(jī)械臂在制造、醫(yī)療等眾多領(lǐng)域因其具有精準(zhǔn)、高效等特點(diǎn)應(yīng)用日益廣泛嘲。要解決機(jī)械臂能耗低，速度快，壽命長(zhǎng)問(wèn)題，合理建模是一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。而采用DH表示法建模是當(dāng)下行之有效的方法，它通過(guò)對(duì)串聯(lián)關(guān)節(jié)依次建立坐標(biāo)系，利用機(jī)器人正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)中變換矩陣、逆矩陣連乘即可求解。我們發(fā)現(xiàn)任意不同自由度機(jī)械臂關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)平移矩陣相同，可設(shè)計(jì)算法統(tǒng)一來(lái)計(jì)算關(guān)節(jié)之間的關(guān)系，這樣可將設(shè)計(jì)理念快速實(shí)踐于初始參數(shù)與結(jié)果的驗(yàn)證，重心轉(zhuǎn)移到建模是否合理上。但多關(guān)節(jié)機(jī)械臂矩陣參數(shù)多，大幅度增加了其合理性驗(yàn)證難度。人們往往通過(guò)matlab定義煩瑣變量實(shí)現(xiàn)矩陣轉(zhuǎn)換[3]，過(guò)程較煩瑣。鑒于目前沒(méi)有成形算法來(lái)完成數(shù)、串混合的多參矩陣運(yùn)算，本文主要解決機(jī)械臂基于字符多項(xiàng)式的矩陣、逆矩陣運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)一種快捷求解。

機(jī)械臂常見(jiàn)自由度有5、6、7三種。自由度越高，靈活度會(huì)越高，但其矩陣運(yùn)算更加復(fù)雜。本文以KINOVAJac02球形7自由度臂為例，根據(jù)提供電氣參數(shù)實(shí)現(xiàn)算法，與其他自由度運(yùn)算可通用。

1 機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

以Denavit-Hartenberg表示法建模的機(jī)械臂，通過(guò)對(duì)各關(guān)節(jié)建立坐標(biāo)系相鄰關(guān)節(jié)以齊次變換矩陣表示轉(zhuǎn)動(dòng)和平移關(guān)系，依次矩陣連乘可確定基座與末端姿態(tài)的關(guān)系。其中每個(gè)連桿含長(zhǎng)度a，扭角α，間距d，關(guān)節(jié)角度0四個(gè)參數(shù)。

1.1 正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

2 基于字符串的矩陣運(yùn)算

字符串矩陣運(yùn)算，先解決字符多項(xiàng)式四則運(yùn)算，后進(jìn)行矩陣運(yùn)算。

2.1字符多項(xiàng)式四則運(yùn)算

字符多項(xiàng)式由操作數(shù)和操作符組成，與常規(guī)代數(shù)多項(xiàng)式邏輯相同，只是符號(hào)不同。它既含數(shù)又有字符串，如（cosαsinβ*a）*（cosθ1+5），計(jì)算機(jī)無(wú)法區(qū)分cos、cosθ1、1中哪一個(gè)是“變量”。我們將構(gòu)建一套基于人直覺(jué)思維模式的類專家系統(tǒng)，利用遵循約定俗成且符合人們直覺(jué)的規(guī)則，進(jìn)行語(yǔ)義分析，從而有效識(shí)別字符多項(xiàng)式[6][7]，為三角函數(shù)、矩陣、逆矩陣運(yùn)算奠定基礎(chǔ)。

計(jì)算機(jī)多項(xiàng)式運(yùn)算，通常有前綴表達(dá)式、中綴表達(dá)式和后綴表達(dá)式（又叫逆波蘭表達(dá)式）三種方法。逆波蘭表達(dá)法嘲，通過(guò)簡(jiǎn)單人棧和出棧完成所有多層嵌套的四則運(yùn)算，生成機(jī)器碼效率高，不但純數(shù)值運(yùn)算方便，字符運(yùn)算同樣出眾，故本文用該表達(dá)法實(shí)現(xiàn)。

為實(shí)現(xiàn)字符多項(xiàng)式運(yùn)算，將基于常規(guī)邏輯的數(shù)值運(yùn)算規(guī)則擴(kuò)展到字符范疇，它們會(huì)在矩陣、三角函數(shù)反復(fù)用到，為此我們做如下主要約定：

Rulel-符號(hào)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換符號(hào)單項(xiàng)式規(guī)則

Rulel-I有效算符法則：①五種合理的組合映射：卜+，+一，一，++，++，（+，一（}->{-，+，+，+，*，（，-l*};②八種非法組合：（-*，+*，一），+），**，*），（），）（）;③三種非法頭算符：（*），+】;④四種非法尾算符：（（，+，一，*】;

Rulel-2操作數(shù)分隔法則滿足rulel-1，對(duì)操作數(shù)“變量”分隔，做如下主要約定：

①長(zhǎng)度為1的多項(xiàng)式合法，算式{-}>{1），其他算符非法，操作數(shù)合法;②介于兩個(gè)算符之間，提取字符串，視為操作數(shù)。

Rule2操作數(shù)對(duì)象化約定規(guī)則后綴表示法中無(wú)括號(hào)，但有“正”“負(fù)”字符串。逆波蘭的字符表達(dá)式構(gòu)建如下對(duì)象：{Opd[01，02.，]，Opt[+/一，+/_，，]，len），其中l(wèi)en≥l。

Rule3字符多項(xiàng)式運(yùn)算法則基于規(guī)則rulel、rule2，有如下主要約定：

①加法約定式a+式b;②減法約定式a+（一1）*（式b）;③乘法約定同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)，以*拼接單項(xiàng)式“變量”;④替換約定矩陣中三角函數(shù)運(yùn)算有冗余，替換如下：{^1*，*1$，*1*，+1*，一1*）一>{''，”，*，+，一），其中^表示頭，$代表尾部，下同。

字符多項(xiàng)式的四則運(yùn)算大致流程如下：①利用rulel分隔多項(xiàng)式;②根據(jù)逆波蘭通用算法，分隔多項(xiàng)式，生成逆波蘭表達(dá)式;③利用rule2和rule3計(jì)算字符多項(xiàng)式，返回結(jié)果。

該算法實(shí)現(xiàn)了基于多“變量”的字符多項(xiàng)式運(yùn)算。在機(jī)械臂矩陣轉(zhuǎn)換中，將反復(fù)用到。

2.2 基于規(guī)則的矩陣運(yùn)算

矩陣相乘要滿足：矩陣A（M*K）和矩陣B（P*N），其中K=P。A*B記做C（M*N），

字符矩陣運(yùn)算，“變量”為字符串，對(duì)結(jié)果做如下約定：

Rule4字符串矩陣處理約定①符號(hào)映射（一，^+一卜>{+一，一）;

②消除零值{^_0*，^0*，*0*，*一0*，*-0$，*0$）;③中間映射{^一1*，^1*1*1$，*1*}>{一，，*）

矩陣相乘機(jī)械臂運(yùn)算時(shí)遵循rulel-rule4約定，能有效化簡(jiǎn)結(jié)果。大致流程圖見(jiàn)圖1。

3 結(jié)果分析

機(jī)械臂D-H模型的正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解核心是選擇合適關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)平移矩陣計(jì)算。為簡(jiǎn)明驗(yàn)證本文模塊算法，通過(guò)設(shè)定不同關(guān)節(jié)角θ，求解正運(yùn)動(dòng)學(xué)末端位姿T和隨機(jī)關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)矩陣逆矩陣，與matlab做對(duì)比。式2中左上方3*3矩陣表示姿態(tài)，右上方3*1矩陣表示位置（ci為cosθi，Sl為sinθi，i=1-7），運(yùn)行結(jié)果見(jiàn)圖2。

3.1與MATLAB對(duì)比測(cè)試

隨機(jī)選擇不同關(guān)節(jié)角，末端位姿對(duì)比見(jiàn)表1，逆矩陣（參數(shù)α= π/2.a=0.d=-dl ，θ= θl =ql）對(duì)比見(jiàn)表2。

通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，不管是輸人數(shù)值型參數(shù)生成旋轉(zhuǎn)矩陣求解，還是通過(guò)圖2結(jié)果代人參數(shù)求值，與MATLAB結(jié)果一致。同樣，隨機(jī)關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)逆矩陣也一致，說(shuō)明了本文算法的正確性。算法可用于自由度小于八的任意D-H建模正運(yùn)動(dòng)學(xué)和逆矩陣運(yùn)算。

4 問(wèn)題展望

本文由弱變量的j avascript腳本語(yǔ)言，結(jié)合HTML實(shí)現(xiàn)。將多項(xiàng)式運(yùn)算從純數(shù)值擴(kuò)展到字符多項(xiàng)式，通過(guò)類專家系統(tǒng)構(gòu)建了任意字符多項(xiàng)式四則運(yùn)算、矩陣相乘、求逆矩陣等模塊，實(shí)現(xiàn)了數(shù)值、三角函數(shù)、字符夾雜的多項(xiàng)式矩陣相乘、求逆矩陣運(yùn)算。其界面簡(jiǎn)潔、結(jié)果易讀，只需輸入模型參數(shù)，直接獲得運(yùn)算結(jié)果，將繁化簡(jiǎn)，解決了D-H建模時(shí)矩陣運(yùn)算煩瑣問(wèn)題，具有較高的實(shí)用性。生成模塊易擴(kuò)展到多變量矩陣運(yùn)算的相關(guān)領(lǐng)域。

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【通聯(lián)編輯：光文玲】

作者簡(jiǎn)介：焦培金（1981-），男，山東青島人，本科，實(shí)驗(yàn)師，主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)應(yīng)用。