浙江省寧波市鄞州區(qū)潘火街道德培小學(xué) 朱 軍

一、思——新授課還是復(fù)習(xí)課

翻開人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)教科書《復(fù)習(xí)與整理》（P100），里面安排了這樣一個(gè)教學(xué)內(nèi)容：4 數(shù)學(xué)思考。

粗略一看，這一課是通過(guò)解決“6個(gè)點(diǎn)、8 個(gè)點(diǎn)，兩兩相連能連成幾條線段”的問(wèn)題，讓學(xué)生化繁為簡(jiǎn)，采用列表、畫圖、找規(guī)律等策略解決連線問(wèn)題。如果不去看這一教學(xué)內(nèi)容在教材中的編排，很難想象這是一節(jié)總復(fù)習(xí)課。但在實(shí)際的教學(xué)中，許多教師把這節(jié)課當(dāng)做新授課進(jìn)行教學(xué)。

這樣定位的原因有以下幾個(gè)方面：第一，從編排的時(shí)間上看，這一課時(shí)安排在六年級(jí)下冊(cè)《整理與復(fù)習(xí)》中，可以看出這是一節(jié)復(fù)習(xí)課。第二，從配套的《教師用書》上看，翻開人教版小學(xué)數(shù)學(xué)《教師用書》，提到：“本套教材，從一年級(jí)下冊(cè)開始，每一冊(cè)都安排有一個(gè)單元“找規(guī)律”或“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容。其中‘找規(guī)律’是讓學(xué)生探索給定圖形或數(shù)字中簡(jiǎn)單的排列規(guī)律?！?dāng)?shù)學(xué)廣角’中滲透了排列、組合、集合、等量代換、邏輯推理、統(tǒng)籌優(yōu)化、數(shù)學(xué)編碼、抽屜原理等方面的數(shù)學(xué)思想方法。在此基礎(chǔ)上，這里通過(guò)三道例題進(jìn)一步鞏固、發(fā)展學(xué)生找規(guī)律的能力，分步枚舉組合的能力和列表推理的能力?！睂?duì)此，不難看出這一課時(shí)是一節(jié)復(fù)習(xí)課，是借助例題5 這一素材幫助學(xué)生整理數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想。第三，從課后的練習(xí)上看，教材中的“做一做”安排了這樣一道練習(xí)。這道練習(xí)與上面例題的兩點(diǎn)連線問(wèn)題屬于不同的題型，說(shuō)明不是例題的專項(xiàng)練習(xí)，而是數(shù)學(xué)思考中其他數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的補(bǔ)充。認(rèn)識(shí)到這三點(diǎn)，也就能確定本節(jié)課的授課類型為復(fù)習(xí)課。

二、思——先整理復(fù)習(xí)還是先教學(xué)例題

確定這一課時(shí)是復(fù)習(xí)課，教師就要思考：是先整理復(fù)習(xí)？還是先教學(xué)例題？

如果先進(jìn)行整理復(fù)習(xí)，則須對(duì)一至六年級(jí)學(xué)習(xí)中有關(guān)數(shù)學(xué)思考的內(nèi)容進(jìn)行梳理。翻閱一至六年級(jí)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書，有關(guān)數(shù)學(xué)思考的內(nèi)容不僅多，而且比較散，有蘊(yùn)含化繁為簡(jiǎn)思想，有蘊(yùn)含集合思想，還有蘊(yùn)含代數(shù)思想等。再加上畫圖、列表、找規(guī)律等這些解決問(wèn)題的策略，想將這些零散的知識(shí)點(diǎn)整理成框架存在很大困難，如果不整理，就失去復(fù)習(xí)課的意義，這也是許多教師很困惑的地方之一。

為此，我嘗試幾種不同方法的課堂實(shí)踐：或先整理復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)思考的各種方法、策略等，再把例5 作為練習(xí)讓學(xué)生應(yīng)用；或先教學(xué)例5，再?gòu)?fù)習(xí)整理，然后將有關(guān)數(shù)學(xué)思考的方法、策略等整理成框架。經(jīng)過(guò)對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)：先整理復(fù)習(xí)再解決例題的方法由于缺乏具體實(shí)例，學(xué)生很難回顧整理，而且在教學(xué)過(guò)程中依靠學(xué)生回憶對(duì)其來(lái)說(shuō)較空洞，缺乏具象化。而先教學(xué)例5 再整理復(fù)習(xí)，因?yàn)橛芯唧w實(shí)例支撐，已經(jīng)有一部分的數(shù)學(xué)思考方法和策略呈現(xiàn)在黑板上，接著讓學(xué)生回憶以前所學(xué)數(shù)學(xué)思考的方法和策略，學(xué)生基本能夠回憶起來(lái)，相對(duì)來(lái)說(shuō)容易很多。

由此可見(jiàn)，可以通過(guò)例5 教學(xué)先形成部分?jǐn)?shù)學(xué)思考方法和策略，進(jìn)而幫助學(xué)生回憶一至六年級(jí)課堂教學(xué)中，哪些問(wèn)題也是運(yùn)用了這樣的數(shù)學(xué)思考方法，這樣整理有了一個(gè)“半扶半放”的過(guò)渡，教學(xué)可操作性大大提高。

三、思——挖深一個(gè)復(fù)習(xí)點(diǎn)還是拓廣一片復(fù)習(xí)點(diǎn)

作為六年級(jí)總復(fù)習(xí)中的一節(jié)課，到底是挖深點(diǎn)，復(fù)習(xí)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)？還是拓廣點(diǎn)，復(fù)習(xí)一整片相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)？?jī)烧哂欣斜?，挖深一個(gè)知識(shí)點(diǎn)容易讓學(xué)生深入掌握這節(jié)課的知識(shí)與技能，能夠在較短的時(shí)間里掌握好這一種方法；拓廣一點(diǎn)則可以打通學(xué)生對(duì)這一內(nèi)容的縱向聯(lián)系，融會(huì)貫通掌握這一類方法。

作為一節(jié)總復(fù)習(xí)課，它不同于單元復(fù)習(xí)，最重要的是讓學(xué)生聯(lián)系以往所學(xué)知識(shí)，綜合發(fā)展地看待問(wèn)題。因此，我認(rèn)為應(yīng)該從一個(gè)知識(shí)點(diǎn)入手，進(jìn)而回顧整理小學(xué)階段相應(yīng)的數(shù)學(xué)思考內(nèi)容，將以前學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)方法、策略以及蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想都暴露出來(lái)，形成一整片相關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生梳理并建構(gòu)數(shù)學(xué)思考的知識(shí)框架?；谶@樣的理念，我設(shè)計(jì)了以下主要教學(xué)環(huán)節(jié)。

1.【主要環(huán)節(jié)一】呈現(xiàn)問(wèn)題，喚醒數(shù)學(xué)思考經(jīng)驗(yàn)

（1）課一開始，創(chuàng)設(shè)這樣的情境：有一天老師仰望星空，突然想到一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這么多的星星如果兩兩連起來(lái)，能連幾條線段？

（2）課件出示百點(diǎn)圖，提出問(wèn)題：這里有100 顆星星，我們把它們看成100 個(gè)點(diǎn)，兩兩相連，最多能連幾條線段？

（3）讓學(xué)生大膽猜測(cè)。

生1：100×99=9900 條。

生2：100-1=99 條。

生3：100×99÷2=4950 條。

……

（4）進(jìn)行質(zhì)疑：到底是多少條，我們可以怎么辦？用什么方法解決這個(gè)問(wèn)題？喚醒學(xué)生平時(shí)解決此類問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。

生1：可以畫一畫。

師：畫圖是一個(gè)好策略，讓學(xué)生畫一畫。

生：畫不下去了。

師：怎么不畫了？

生：100 個(gè)點(diǎn)太多不好畫。

師：100 個(gè)點(diǎn)連線畫圖很復(fù)雜，怎么辦？

生：點(diǎn)少一點(diǎn)會(huì)簡(jiǎn)單一點(diǎn)。

師建議：你們覺(jué)得從幾個(gè)點(diǎn)開始研究比較好？

生1：從2 個(gè)點(diǎn)入手。

生2：2 個(gè)點(diǎn)知道了，我們?cè)傺芯? 個(gè)點(diǎn)，4 個(gè)點(diǎn)……看看有沒(méi)有規(guī)律。

師及時(shí)表?yè)P(yáng)：厲害！想到從簡(jiǎn)單的2 個(gè)點(diǎn)、3 個(gè)點(diǎn)、4 個(gè)點(diǎn)……開始研究，再找規(guī)律解決100 個(gè)點(diǎn)問(wèn)題是個(gè)好方法，我們就試試這樣的方法能不能解決連線問(wèn)題。

（5）呈現(xiàn)表格，學(xué)生進(jìn)行探究。

?

【設(shè)計(jì)意圖】這一教學(xué)環(huán)節(jié)一方面喚起學(xué)生曾經(jīng)解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法和策略，另一方面通過(guò)交流、討論，讓學(xué)生明白復(fù)雜的問(wèn)題我們可以從簡(jiǎn)單入手，探求解決問(wèn)題的方法和策略。

2.【主要環(huán)節(jié)二】解決難題，運(yùn)用數(shù)學(xué)思考方法

（1）學(xué)生自主探究后，交流反饋，預(yù)設(shè)：

生1：直接連線，再數(shù)一數(shù)。

生2：有規(guī)律的連，按規(guī)律計(jì)算。

這里有規(guī)律的連有兩種情況：一種是每增加一個(gè)點(diǎn)，就會(huì)增加和前面點(diǎn)數(shù)相同的線段數(shù)；還有一種可能就是：從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)能連幾條線，再依次從剩下的點(diǎn)出發(fā)能連幾條線。

其中有規(guī)律的連并找出規(guī)律是本節(jié)課的重點(diǎn)，我分8 個(gè)步驟進(jìn)行：

第一，出示表格，提問(wèn)：三個(gè)點(diǎn)能連成幾條線段？

第二，繼續(xù)追問(wèn)，思考：3 條是怎么來(lái)的呢？

第三，討論交流，預(yù)設(shè)：

生1：原來(lái)兩個(gè)點(diǎn)連成有一條線，增加一個(gè)點(diǎn)以后就會(huì)和前面兩個(gè)點(diǎn)連兩條線，就是3 條。

生2：第1 個(gè)點(diǎn)可以連兩條線，第2 個(gè)點(diǎn)還能連一條線，這樣也是3條。

學(xué)生邊說(shuō)教師邊課件演示。

第四，算式表征：教師小結(jié)這兩種方法雖然想法不一樣，但是都進(jìn)行了有規(guī)律的連線，是好辦法。那這兩種想法能用算式表示出來(lái)嗎？

生1：1+2=3。

生2：2+1=3。

第五，尋找規(guī)律：4 個(gè)點(diǎn)連線的情況又是怎么樣的呢？5 個(gè)點(diǎn)的情況呢？

生1：3+2+1=6 或1+2+3=6。

生2：4+3+2+1=10 或1+2+3+4= 10。

第六，總結(jié)規(guī)律：這里的連線存在什么規(guī)律？

先讓學(xué)生四人小組討論，進(jìn)而總結(jié)：每增加一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)可以和前面已有的每個(gè)點(diǎn)都連一條線段，所以前面有幾個(gè)點(diǎn)，就會(huì)增加幾條線段。還可以從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，能連除它以外的任意一個(gè)點(diǎn)，再依次減少直到1 為止。這樣兩種規(guī)律都是可以的。

第七，應(yīng)用規(guī)律，解決問(wèn)題：再回到一開始提出的問(wèn)題，如果有100個(gè)點(diǎn)，那么可以連幾條線段？

生：1+2+……+99 或99+98+……+1。

第八，優(yōu)化算法：教師提出思考，這樣的算式我們可以怎么計(jì)算。

生：（1+99）×99÷2=4950（條）。

【設(shè)計(jì)意圖】這個(gè)環(huán)節(jié)讓學(xué)生通過(guò)列表、畫圖、用算式表示等策略找到連線問(wèn)題的規(guī)律，進(jìn)而解決問(wèn)題，看似解決一道題，其實(shí)在解決問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)生不斷運(yùn)用各種解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思考方法和策略，為下一步梳理數(shù)學(xué)思考做好鋪墊。

3.【主要環(huán)節(jié)三】回顧過(guò)程，梳理建構(gòu)數(shù)學(xué)思考框架

（1）教師引導(dǎo)學(xué)生回顧：“在解決這個(gè)難題的過(guò)程中，我們是怎么思考的呢？”

生交流討論：我們遇到難題的時(shí)候先化難為易，從簡(jiǎn)單的兩個(gè)點(diǎn)出發(fā)，再通過(guò)列表、畫圖、算式等策略找到規(guī)律解決難題。

（2）師繼續(xù)追問(wèn)：在我們小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，還有沒(méi)有這樣的解決經(jīng)歷？

生1：打電話、植樹問(wèn)題、雞兔同籠……都有用到化難為易的數(shù)學(xué)思考方法。

生2：我們學(xué)過(guò)找規(guī)律，先從簡(jiǎn)單的開始找，再找復(fù)雜的。

生3：我們還可以畫圖、列表、計(jì)算等方法幫助我們思考。

師小結(jié)并板書：看來(lái)數(shù)學(xué)思考的方法和策略在我們解決問(wèn)題的時(shí)候非常重要。復(fù)雜的問(wèn)題我們可以從簡(jiǎn)單入手，通過(guò)畫一畫、列表、算式表征等策略找到規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決復(fù)雜的問(wèn)題。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)回顧解決問(wèn)題的過(guò)程，喚起學(xué)生曾經(jīng)解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法和策略，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來(lái)我們六年的數(shù)學(xué)思考學(xué)習(xí)其實(shí)是有聯(lián)系的，很多地方用到的方法都是相同的，構(gòu)建數(shù)學(xué)思考的知識(shí)框架。

以上是我對(duì)這一節(jié)課的思考，經(jīng)歷了“思考—實(shí)踐—再思考—再實(shí)踐”這樣“三思三實(shí)踐”的過(guò)程。如果我們一線教師對(duì)每堂課的研究都能緊扣“三思三實(shí)踐”，相信教師們對(duì)教材的理解、對(duì)學(xué)生的了解一定能提高很 多。