李書明，呂 穎

(中國民航大學(xué) 航空工程學(xué)院，天津 300300)

0 引言

高壓壓氣機在每一單級盤轉(zhuǎn)子裝配完成后，同一個級別的葉片由于制造誤差在質(zhì)量上會存在一定的偏差，若隨機安裝則不可避免地造成單級輪盤葉片安裝后的剩余不平衡量較大，造成高壓壓氣機轉(zhuǎn)子失穩(wěn)，存在安全隱患。所謂優(yōu)化排序就是考慮葉片旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的質(zhì)量矩的大小，通過葉片安裝位置的調(diào)整，盡可能地減小安裝之后初始的剩余不平衡量，把單級葉片質(zhì)量分布的偏心或質(zhì)量矩矢量和絕對值控制在規(guī)定的許用值范圍內(nèi)。國內(nèi)工廠進行高壓壓氣機葉片裝配時，一般采用對稱安裝法，即測量完全部葉片質(zhì)量后，按質(zhì)量對稱分布安裝，但此種安裝方法通常仍然存在較大的剩余不平衡量。窮舉法、遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等都先后被用于葉片安裝排序的優(yōu)化。窮舉法是尋找最優(yōu)解(精度最高)的簡單算法，但運算量隨葉片數(shù)的增加呈指數(shù)上升，在葉片數(shù)目較大時沒有實用價值。遺傳算法是一種模擬自然界物種進化規(guī)律的算法，非常適合求解非線性問題，但在大規(guī)模數(shù)據(jù)測試下，運行時間較長，難以保證現(xiàn)場的實際工作需要[1]。蟻群算法廣泛應(yīng)用于求解TSP問題(Traveling Salesman Problem，旅行商問題)、指派問題、背包問題等，無需編碼且計算用時相對較短，在組合優(yōu)化問題中，蟻群算法的優(yōu)化性能要好于遺傳算法等算法。為了在運算精度和運算時間之間獲取一種較好的平衡，同時滿足現(xiàn)場應(yīng)用中的具體個案要求，本文擬在對葉片排序問題進行數(shù)學(xué)建模之后應(yīng)用改進的蟻群算法完成具體的優(yōu)化過程。

1 高壓壓氣機轉(zhuǎn)子葉片模型

1.1 葉片質(zhì)量矩力學(xué)模型

假設(shè)有一組葉片，葉片數(shù)量為n個，在輪盤的n個榫槽位置上安裝。不同葉片在不同位置上安裝時，對整個轉(zhuǎn)子的不平衡量的改變及影響程度不同,因此如何對葉片排序使得總的不平衡量小于許用不平衡量本身就是一個優(yōu)化問題[2]。

對于壓氣機轉(zhuǎn)子而言，葉片質(zhì)量矩的本質(zhì)就是引起轉(zhuǎn)子偏心的不平衡量，從而產(chǎn)生不平衡力和不平衡力矩。

(1)

1.2 數(shù)學(xué)模型

葉片排序的問題屬于指派問題，是組合優(yōu)化問題中的特殊一類線性規(guī)劃問題。將葉片編號i(i=1,2,3，…)分別安裝在位置p(p=1,2,3，…)上，葉片在此安裝位置上產(chǎn)生的不平衡量為矩陣Cip，Cip為i號葉片在p位置上，其質(zhì)量在x、y軸上投影分量平方和。問題的實質(zhì)是如何使得各個安裝位置上的各個不平衡量相加，使不平衡量總和達到最小值[3]。定義葉片安裝到目標(biāo)位置通過變量Xip表示：

則葉片排序問題可以表示為以下數(shù)學(xué)模型：

(2)

其中：Z為整級不平衡質(zhì)量總和。矩陣Xip的約束條件為：

(3)

此問題是NP(Nondeterministic Polynomial，非確定性多項式)問題中的一種，用窮舉法可以找到最優(yōu)解，但在數(shù)據(jù)量較大的時候，用窮舉法所花費的時間在工廠中是不能接受的，因此需要尋求一種相對高效且準(zhǔn)確的算法，才能滿足實際應(yīng)用的要求。

2 改進的蟻群算法原理及實現(xiàn)

2.1 算法原理

20世紀(jì)90年代，Dorigo M[4]對蟻群集體覓食的行為進行研究，發(fā)現(xiàn)蟻群們能通過同伴留下的信息來找到離食物最短的路徑，后將此行為抽象為人工蟻群算法。下面以旅行商問題TSP為例說明算法的基本框架。

設(shè)有m個城市，q只螞蟻；啟發(fā)函數(shù)ηij=1/dij，dij為城市i到城市j的距離；τij為t時刻i和j間的信息量；△τζij為螞蟻ζ訪問(i,j)釋放的信息量，初始時刻τij(0)=c(c為常數(shù))；Pζij(t)為螞蟻ζ由i向j的轉(zhuǎn)移概率[5]，由下式計算：

(4)

其中：tabuζ為螞蟻ζ已訪問的城市集合；α和β為信息量和自啟發(fā)量的重要程度因子。

當(dāng)所有螞蟻完成周游，環(huán)路上的信息素按式(5)進行全局更新：

τij(t+1)=(1-ρ)τij+△τij(t).

(5)

其中：△τij為信息素增量；ρ為信息素?fù)]發(fā)因子。

在蟻周系統(tǒng)的模型中：

(6)

其中：Q為信息素強度常數(shù)；Lζ為第ζ只螞蟻完成一次循環(huán)過程所經(jīng)過的總路徑長度。最后計算每只螞蟻走過的路徑長度，保存最短路徑。

葉片優(yōu)化指派問題的本質(zhì)就是葉片和安裝位置的配對，通過將安裝位置的序號固定，將找到最小值變?yōu)檎业阶顑?yōu)安裝序號的問題。這里將矩陣Cij看成是蟻群算法從城市i到城市j間的距離，就可以將TSP問題轉(zhuǎn)化成指派問題。

2.2 算法改進

改進的蟻群算法是按葉片的位置序號從小到大來確定列坐標(biāo)，改變傳統(tǒng)蟻群算法編碼方式[6]，將原始蟻群算法的城市之間的距離改為效率矩陣Cij，再讓螞蟻能做到逐列搜索，并按照行坐標(biāo)(葉片的編號)找到解。先隨機給定螞蟻第一列的一個行坐標(biāo)作為初始解，并將此解納入禁忌表，再搜索第二列得到下個行標(biāo)，直到搜索完所有列，得到帶有行標(biāo)的一個序列，也就找到了一個解。改進蟻群算法流程如圖1所示。

圖1 改進蟻群算法流程圖

2.3 算法仿真及結(jié)果分析

前文已經(jīng)介紹了高壓壓氣機的葉片單級的平衡原理，通常只對葉片進行質(zhì)量的測量。工廠在葉片的選配上，會將質(zhì)量差值較大的幾片葉片排除，選取質(zhì)量相近的葉片進行配平。以某航空發(fā)動機公司的V2500第4級葉片38個質(zhì)量數(shù)據(jù)來驗證算法的可行性，工廠裝配方案見表1，工廠葉片裝配示意圖見圖2。

表1 V2500第4級葉片廠商裝配順序

圖2 工廠葉片裝配示意圖

圖2中，經(jīng)廠商軟件計算后得到的許用靜不平衡質(zhì)量為0.500 g，剩余不平衡質(zhì)量為0.480 g，不平衡量所在位置在圖中黑色箭頭所標(biāo)的位置上，角度為174°(規(guī)定十二點鐘方向為0°)。

針對表1中所列出的算例數(shù)據(jù)，通過使用MATLAB R2016b對改進的蟻群算法編程并進行模擬仿真，將計算的結(jié)果和工廠中所得數(shù)據(jù)的最優(yōu)解進行了比較。算法的起始參數(shù)設(shè)置為種群大小popsize=38，α=1，β=5，ρ=0.1，Q=1。

不同的迭代次數(shù)計算后收斂性與計算用時不同，收斂性決定了計算結(jié)果為最優(yōu)解的可能性。經(jīng)檢驗迭代次數(shù)為300時算法可穩(wěn)定收斂。取迭代次數(shù)為300計算最優(yōu)解結(jié)果，計算平均用時為5.78 s，如圖3所示。

圖3 迭代300次的仿真結(jié)果

根據(jù)廠商提供的實際數(shù)據(jù)進行了20次仿真優(yōu)化計算，得到剩余不平衡質(zhì)量解的分布，如表2所示。

表2 改進的蟻群算法20次計算結(jié)果

實驗最優(yōu)解結(jié)果為0.008 9 g，不平衡質(zhì)量存在的角度為40.439°，不平衡質(zhì)量僅為廠商裝配方案的1.85%。從實驗結(jié)果可得知，此優(yōu)化方案結(jié)果明顯優(yōu)于發(fā)動機廠商所提供的裝配方案，且計算速度較快。優(yōu)化計算后的最優(yōu)裝配方案如表3所示。

表3 V2500第4級葉片改進蟻群算法裝配順序

3 結(jié)論

利用改進的蟻群算法對航空發(fā)動機高壓壓氣機的轉(zhuǎn)子葉片進行單級質(zhì)量矩的優(yōu)化排序，可以看出改進的蟻群算法能夠很好地應(yīng)用于質(zhì)量優(yōu)化排序問題上。使用改進的蟻群算法進行排序計算用時短，因此可以方便地應(yīng)用于工廠的安裝中。同時，算法計算的優(yōu)化排序策略可以為廠商在安裝葉片的時候，提供一種使得轉(zhuǎn)子更為穩(wěn)定的方案。通過改進的蟻群算法優(yōu)化后的V2500壓氣機葉片，剩余不平衡量減少了98.15%，不平衡量大大減少。