潘一飛，王家琪，陳波

(1.國(guó)網(wǎng)冀北電力有限公司 工程管理分公司，北京 100038；2. 華北理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河北 唐山 063210)

0 引言

隨著國(guó)民經(jīng)濟(jì)和電力電子技術(shù)的飛速發(fā)展, 越來越多的非線性電子設(shè)備和間歇性新能源接入電網(wǎng)，使得電網(wǎng)產(chǎn)生大量的諧波電流和諧波電壓。諧波會(huì)嚴(yán)重降低電能質(zhì)量，進(jìn)而影響到用電設(shè)備和電網(wǎng)的安全使用。目前，諧波、電磁干擾和功率因數(shù)降低被列為電力系統(tǒng)的三大公害。諧波不僅會(huì)造成繼電保護(hù)非正常頻繁啟動(dòng)，自動(dòng)化控制系統(tǒng)失靈和電動(dòng)機(jī)等電氣設(shè)備的損壞，還會(huì)對(duì)通信系統(tǒng)造成明顯的干擾，尤其是次數(shù)為3倍的諧波電流，對(duì)通訊線路的干擾影響很大。因此，對(duì)電力諧波的有效檢測(cè)和治理具有重要意義，得到工業(yè)界和學(xué)術(shù)界的廣泛重視[1-3]。根據(jù)國(guó)際電工委員會(huì)的定義，諧波是指頻率為基波頻率整數(shù)倍的分量。在工業(yè)生產(chǎn)實(shí)際場(chǎng)合，由于各種非線性因素的影響，諧波的頻率不一定是基波的整數(shù)倍。因此，通常把諧波分為諧波、間諧波和次諧波。諧波頻率為基波頻率的整數(shù)倍；間頻率為基波頻率的小數(shù)倍且頻率大于基波頻率，次諧波的頻率為基波頻率的小數(shù)倍且頻率小于基波頻率。

目前，常用的電力系統(tǒng)諧波檢測(cè)技術(shù)有以下幾種?；诟道锶~變換的諧波檢測(cè)精度較高[3]，但需要對(duì)一定時(shí)間內(nèi)的采樣值進(jìn)行傅里葉變換，計(jì)算量較大，而且測(cè)量精度受到采集頻率和時(shí)長(zhǎng)的影響。另外，由于截?cái)嘈?yīng)，結(jié)果會(huì)出現(xiàn)頻譜泄露和柵欄效應(yīng)，目前主要通過加窗、插值進(jìn)行修正?；谶x頻的諧波檢測(cè)技術(shù)[4]，基本原理是利用帶通或者帶阻濾波器的選頻特性，對(duì)某一特定頻段內(nèi)的諧波進(jìn)行檢測(cè)。該技術(shù)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本較低和輸出阻抗小等優(yōu)點(diǎn)，因此在諧波治理等工業(yè)實(shí)際中廣泛得到使用，其不足之處是只能檢測(cè)出固定頻率的諧波?；谒矔r(shí)無功功率理論的ip-iq諧波電流檢測(cè)方法是目前采用最多、實(shí)時(shí)性最好的檢測(cè)方法之一[5，6]。該方法的測(cè)量電路較為簡(jiǎn)單，具有較好的實(shí)時(shí)性。此外還有基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的諧波檢測(cè)技術(shù)、基于小波變換的諧波檢測(cè)技術(shù)、基于pisarenko法和music法的諧波檢測(cè)方法、基于虛擬磁勢(shì)法的諧波檢測(cè)技術(shù)和基于遺傳算法等智能算法諧波檢測(cè)技術(shù)等[7-10]。如前所述，對(duì)于基于選頻的諧波檢測(cè)技術(shù)和基于瞬時(shí)無功功率理論的ip-iq諧波電流檢測(cè)技術(shù)，數(shù)字濾波器是重要組成。該項(xiàng)研究針對(duì)上述2種方法研究了數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法，并利用matlab軟件進(jìn)行了仿真分析。

1 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

1.1 數(shù)字濾波器

濾波是抑制信號(hào)檢測(cè)，信號(hào)估計(jì)和干擾信號(hào)的有效手段，在電力系統(tǒng)諧波檢測(cè)等領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用。數(shù)字濾波器具有運(yùn)算精度高、系統(tǒng)穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)，是目前應(yīng)用最為廣泛的濾波工具。數(shù)字濾波器的基本運(yùn)算有移位、乘法和加法，通過對(duì)輸入的序列進(jìn)行特定的組合運(yùn)算，輸出所需的序列。根據(jù)數(shù)字濾波器單位沖激響應(yīng)的特點(diǎn)，數(shù)字濾波器可以分為有無限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器和有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器，2類系統(tǒng)各有優(yōu)缺點(diǎn)。

IIR數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)可表示為：

IIR數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)可表示為：

(1)

其中M、N為自然數(shù)，分別為分子和分母的階數(shù)，且N>M，ai和bj為系數(shù)。濾波器設(shè)計(jì)就是根據(jù)要求，確定M、N、ai和bj。式(1)對(duì)應(yīng)的差分方程為：

(2)

可以看出，對(duì)輸入序列和輸出序列的延時(shí)，通過加權(quán)和相加運(yùn)算即可得到濾波后的輸出序列。具體可采用直接型、級(jí)聯(lián)型或并聯(lián)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)濾波器，不同的結(jié)構(gòu)決定不同的IIR數(shù)字濾波器特性。例如，直接型實(shí)現(xiàn)方法需要的寄存單元最少，但是不易調(diào)整；級(jí)聯(lián)型實(shí)現(xiàn)方式采用了模塊化結(jié)構(gòu)，能夠方便地微調(diào)濾波器的零極點(diǎn)分布進(jìn)而微調(diào)濾波特性，但是存在誤差逐級(jí)放大的可能，即由于運(yùn)算中的舍入處理，使誤差不斷累積會(huì)產(chǎn)生微弱的寄生振蕩；并聯(lián)型結(jié)構(gòu)同樣具有模塊化的設(shè)計(jì)，性能調(diào)整方面不如級(jí)聯(lián)型靈活，但是誤差累積較小。

FIR數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)可以表示為：

(3)

對(duì)應(yīng)的差分方程為：

(4)

式中：x(n)為輸入序列，y(n)為輸出序列，h(n)為濾波器的單位沖激響應(yīng)，長(zhǎng)度為N?？梢钥闯觯現(xiàn)IR濾波器的特點(diǎn)是其單位沖激響應(yīng)h(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為N點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列。如果h(n)具有偶對(duì)稱或奇對(duì)稱特性，則濾波器具有嚴(yán)格的線性相位特性。FIR濾波器的實(shí)現(xiàn)可以直接用卷積運(yùn)算，即直接型，也可以采用級(jí)聯(lián)型、格型等實(shí)現(xiàn)方法。

在相同的帶寬要求下，IIR濾波器的階次顯著低于FIR濾波器，因此運(yùn)算量較小，實(shí)時(shí)性好。與 FIR數(shù)字濾波器相比，IIR擁有更高的選頻特性，更低的通帶群延遲，在實(shí)現(xiàn)相同頻率特性的情況下占據(jù)更少的乘法單元，能廣泛地應(yīng)用于高選頻、低延遲以及快速處理等領(lǐng)域；但是必須基于相位的非線性之上，往往選擇性越好，其相位非線性就越嚴(yán)重。FIR濾波器可以實(shí)現(xiàn)良好的線性相位響應(yīng)，對(duì)于后期的諧波治理非常有效。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)檢測(cè)的實(shí)時(shí)性要求較高時(shí)可選擇IIR濾波器，而對(duì)于相位特性要求較高的諧波檢測(cè)場(chǎng)合可以選擇FIR濾波器。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和電子、電路的發(fā)展，可以在通用平臺(tái)上利用軟件實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器，也可用采用專用的數(shù)字硬件實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)性要求高的專用數(shù)字濾波器。

1.2 IIR數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)

對(duì)于IIR數(shù)字濾波器，最常用的設(shè)計(jì)方法是借助于模擬濾波器，即先設(shè)計(jì)模擬濾波器，然后采用合適的方法轉(zhuǎn)化為數(shù)字濾波器，設(shè)計(jì)難度較低。模擬濾波器已經(jīng)較為成熟，如巴特沃斯型、切比雪夫型和橢圓型濾波器等，有大量的規(guī)范性圖表可供查閱，因此可以充分利用這些豐富的資源方便、快捷地設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器[11]。

以巴特沃斯型數(shù)字帶通濾波器設(shè)計(jì)為例，說明IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟。首先，根據(jù)模擬頻帶變換公式，將數(shù)字帶通濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)化為模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)；其次，將技術(shù)指標(biāo)代入巴特沃斯函數(shù)模型設(shè)計(jì)出通帶截止頻率為1的模擬低通濾波器；接著將歸一化模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為帶通模擬濾波器；最后，根據(jù)采樣頻率，利用沖激響應(yīng)不變法等方法將模擬帶通濾波器轉(zhuǎn)化為數(shù)字帶通濾波器，并進(jìn)行檢驗(yàn)。這里給出基于matlab的設(shè)計(jì)程序和結(jié)果(見圖1)，其中帶通濾波器的通帶截止頻率為130 Hz和170 Hz，阻帶截止頻率為110 Hz和190 Hz，模擬信號(hào)采樣頻率1 000 Hz，通帶最大衰減為2 dB，阻帶最小衰減微20 dB。

clear all

fs=1000; % 采樣頻率

fp1=130; % Hz

fp2=170; % Hz

fst1=110;

fst2=190;

det1=2; %通帶最大衰減

det2=20;%阻帶最小衰減

Wbpp1=fp1*2*pi;

Wbpp2=fp2*2*pi;

Wbpst1=fst1*2*pi;

Wbpst2=fst2*2*pi;

Wlpp=Wbpp2-Wbpp1;

W0=sqrt(Wbpp1*Wbpp2);

Wlpst=min(abs((Wbpst1^2-W0^2)/Wbpst1),abs((Wbpst2^2-W0^2)/Wbpst2));

[N,Wc]=buttord(Wlpp,Wlpst,det1,det2,'s');

[Z,P,K]=buttap(N);

[Bap,Aap]=zp2tf(Z,P,K);

[b,a]=lp2bp(Bap,Aap,W0,Wlpp);

[bz,az] = impinvar(b,a,fs);

[H,W]=freqz(bz,az);

figure

plot(W*fs/(2*pi),abs(H),'k');

grid

xlabel('頻率/Hz');

ylabel('幅度響應(yīng)');

設(shè)計(jì)出的濾波器的階數(shù)為11，濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子和分母系數(shù)分別為[1.11E-13,3.04E-05,7.12E-05,-6.20E-4,9.88E-4,-2.58E-4,-6.41E-4,5.46E-4,-9.73E-05,-1.88E-05]和 [1,-5.46,16.15,-31.50,44.57,-47.15,37.87,-22.75,9.91,-2.85,0.44]。可以看出，IIR濾波器幅度響應(yīng)滿足設(shè)計(jì)要求，假設(shè)現(xiàn)在存在一個(gè)3倍基頻的諧波分量，x(t)=5cos(50*2pi*t)+0.5cos(150*2pi*t)，利用上述濾波器即可進(jìn)行有效檢測(cè)。需要說明的是，IIR數(shù)字濾波器的相位特性難以有效控制，對(duì)于相位要求較高的場(chǎng)合，需要在濾波器后加一個(gè)相位校準(zhǔn)網(wǎng)絡(luò)。

圖1 數(shù)字帶通濾波器的幅度響應(yīng)

對(duì)于帶阻、高通IIR數(shù)字濾波器，由于頻帶混疊只能采用雙線性變換法進(jìn)行數(shù)字化，在指標(biāo)轉(zhuǎn)化之前，需要對(duì)設(shè)計(jì)指標(biāo)進(jìn)行修正。下面為基于雙線性變換法的IIR帶阻濾波器設(shè)計(jì)程序和結(jié)果(見圖2)，其中帶阻濾波器的阻帶截止頻率為130 Hz和170 Hz，通帶截止頻率為120 Hz和180 Hz，模擬信號(hào)采樣頻率1 000 Hz，通帶最大衰減為2 dB，阻帶最小衰減微20 dB。

clear all

fs=1000;

Wbsp1=120*2*pi;

Wbsp2=180*2*pi;

Wbsst1=130*2*pi;

Wbsst2=170*2*pi;

det1=3; %通帶最大衰減

det2=20; %阻帶最小衰減

Wbsp1=fs*2*tan(Wbsp1/fs/2);

Wbsp2=fs*2*tan(Wbsp2/fs/2);

Wbsst1=fs*2*tan(Wbsst1/fs/2);

Wbsst2=fs*2*tan(Wbsst2/fs/2);

Wlpp=(Wbsp2*Wbsp1)/(Wbsp2-Wbsp1);

W0=sqrt(Wbsp1*Wbsp2);

Wlpst=min(abs((Wbsst1*W0^2)/(W0^2-Wbsst1^2)),abs((Wbsst2*W0^2)/(W0^2-Wbsst2^2)));

[N,Wc]=buttord(Wlpp,Wlpst,det1,det2,'s');

[Z,P,K]=buttap(N);

[Bap,Aap]=zp2tf(Z,P,K);

B=Wbsp2-Wbsp1;

[b,a]=lp2bs(Bap,Aap,W0,B);

[bz,az] = bilinear(b,a,fs); %,bz，az是H(z)的分子、分母系數(shù)。

[H,W]=freqz(bz,az);

plot(W*fs/(2*pi),abs(H),'k');

grid

xlabel('頻率/Hz');

ylabel('幅度響應(yīng)');

圖2 數(shù)字帶阻濾波器的幅度響應(yīng)

對(duì)于其他類型的IIR濾波器，設(shè)計(jì)過程基本相同。此外，基于切比雪夫型和橢圓型濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，matlab軟件也提供了相應(yīng)的函數(shù)可供查閱，因此設(shè)計(jì)非常簡(jiǎn)便。

1.3 FIR數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)

與IIR濾波器相比，F(xiàn)IR濾波器能在設(shè)計(jì)任意幅頻特性的同時(shí)保證嚴(yán)格的線性相位特性，可以較好地用于ip-iq諧波電流檢測(cè)中。窗函數(shù)法是設(shè)計(jì)FIR數(shù)字低通濾波器最常用的方法，此外還有頻域采樣法、最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法等[12，13]。采用窗函數(shù)法來設(shè)計(jì)FIR數(shù)字低通濾波器，設(shè)計(jì)步驟為：(1)根據(jù)濾波器指標(biāo)計(jì)算出理想低通濾波器的數(shù)字截止頻率；(2)根據(jù)阻帶衰減指標(biāo)，選擇合適的窗函數(shù)，并根據(jù)過渡帶的寬度計(jì)算出濾波器的長(zhǎng)度N；(3)寫出理想濾波器的沖激響應(yīng)表達(dá)式，寫出窗函數(shù)的表達(dá)式；(4)利用窗函數(shù)截取理想FIR濾波器的沖激響應(yīng)，得到FIR數(shù)字低通濾波器的沖激響應(yīng)h。需要說明是的，需要根據(jù)濾波器類型調(diào)整N的奇偶性。這里給出設(shè)計(jì)程序和結(jié)果(見圖3和圖4)，其中低通濾波器的通帶截止頻率為170 Hz，阻帶截止頻率為190 Hz，模擬信號(hào)采樣頻率1 000 Hz，通帶最大衰減為2 dB，阻帶最小衰減微50 dB。

clear all

fp=170;

fst=190;

det1=1;

det2=50;

fs=1000;%采樣頻率

wp=2*pi*fp/fs;

wst=2*pi*fst/fs;

wc=(wp+wst)/2;

det=50;

dw=abs(wp-wst);

N=round(6.6*pi/dw);

tao=(N-1)/2;

n=0:N-1;

hd=wc/pi*sinc(wc/pi*(n-(N-1)/2));

wn=0.54-0.46*cos(2*pi*n/(N-1));

h=hd.*wn;

% h=fir1(N-1,wc/pi,hamming(N));

figure

freqz(h,1);

圖3 FIR數(shù)字低通濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)

圖4 FIR數(shù)字低通濾波器的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)

圖3為FIR數(shù)字低通濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)，濾波器的階數(shù)為165，顯著高于與上述IIR濾波器的階次。圖4為FIR數(shù)字低通濾波器的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)，可以看出濾波器幅度響應(yīng)滿足設(shè)計(jì)要求，相位響應(yīng)滿足線性的設(shè)計(jì)要求。采用上述方法可以設(shè)計(jì)任意類型和指標(biāo)值的數(shù)字濾波器。完成濾波器的設(shè)計(jì)后，可以選擇DSP或FPGA等器件進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，然后即可用于實(shí)際諧波檢測(cè)中[14]。

一般情況下，由于理想數(shù)字濾波器的單位沖激序列是無限長(zhǎng)的，是非因果序列，在物理上是不可實(shí)現(xiàn)。因此，為使物理上可實(shí)現(xiàn)，需要對(duì)理想數(shù)字濾波器的單位沖激序列截取一段來逼近給定的頻率響應(yīng)，這會(huì)改變?cè)瓉頌V波器的性能指標(biāo)，出現(xiàn)“吉布斯效應(yīng)”，造成很大的誤差。為了改善這種情況，要求窗函數(shù)主瓣寬度盡可能窄，以獲得最小的過渡帶；旁瓣相對(duì)值盡可能小，以使得通帶波紋小，且阻帶衰減增大。使用窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí)，需要根據(jù)給定濾波器指標(biāo)，選擇合適的窗函數(shù)和窗的寬度N。采用矩形窗是最直接簡(jiǎn)單的方法，但采用矩形窗會(huì)產(chǎn)生很大的“吉布斯效應(yīng)”，且矩形窗的第一旁瓣僅比主瓣衰減13 dB。故在實(shí)際應(yīng)用設(shè)計(jì)中，一般采用其他窗函數(shù)。目前幾種主要的窗函數(shù)分別為：矩形窗、三角形窗、漢寧窗、哈明窗、布萊克曼窗和凱澤窗等。

3 結(jié)論

針對(duì)基于選頻的諧波檢測(cè)技術(shù)和基于瞬時(shí)無功功率理論的ip-iq諧波電流檢測(cè)方法，給出了基于matlab軟件的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法，為電力有源濾波器諧波檢測(cè)中數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)提供了參考。