文 張大偉
我們常會遇到一些用常規(guī)方法不太容易解決或者解決的過程比較煩瑣的問題。這些問題表面看上去與圓無關(guān),但在仔細(xì)思考之后,我們會發(fā)現(xiàn)如果構(gòu)造適當(dāng)?shù)膱A,往往能促使問題轉(zhuǎn)化,獲得“柳暗花明”的效果。下面我們總結(jié)出兩種模型,用于發(fā)現(xiàn)圖形中隱藏的圓。
例1如圖1,在四邊形ABCD中,BA=BD=BC,∠ABC=80°,則∠ADC=________°。
【分析】由條件“BA=BD=BC”出發(fā),一方面我們可以想到BA=BD,BD=BC,再利用“等邊對等角”得到∠A=∠ADB,∠BDC=∠C,從而推出∠ADC=∠A+∠C,最后利用“四邊形內(nèi)角和等于360°”求出∠ADC的度數(shù)。另一方面,我們可以結(jié)合圓的定義(到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合)聯(lián)想到利用圓來解決。點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)C在同一個(gè)圓上,根據(jù)圓周角的性質(zhì)就可以求出∠ADC的度數(shù)。
解:∵BA=BD=BC,
∴點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心,AB為半徑的同一個(gè)圓上。
如圖2所示,在優(yōu)弧AMC上取一點(diǎn)E,則∠AEC=∠ABC=40°。
∵四邊形AECD是圓B的內(nèi)接四邊形,
∴∠AEC+∠ADC=180°,
∴∠ADC=180°-∠AEC=140°。
例2如圖3,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn),且AE=2,點(diǎn)F是邊BC上的任意一點(diǎn),把△BEF沿EF翻折,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為G,連接AG、CG,則四邊形AGCD的面積的最小值為________。
【分析】經(jīng)過分析,我們不難發(fā)現(xiàn),四邊形AGCD的面積與點(diǎn)G到AC的距離有關(guān)。由翻折可知GE=BE,那么我們可以確定點(diǎn)G是在以點(diǎn)E為圓心,BE長為半徑的圓上運(yùn)動,不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)EG⊥AC時(shí),四邊形AGCD的面積最小。再用銳角三角函數(shù)求出點(diǎn)G到AC的距離(也可以用相似),最后把點(diǎn)G到AC的距離代入之前表示面積的式子中即可得出結(jié)論。
解:∵四邊形ABCD是矩形,
∴CD=AB=3,AD=BC=4,∠ABC=∠D=90°,
根據(jù)勾股定理,可得AC=5。
∵AB=3,AE=2,
∴點(diǎn)F在BC上的任何位置時(shí),點(diǎn)G始終在AC的下方。
設(shè)點(diǎn)G到AC的距離為h。
∵S四邊形AGCD=S△ACD+S△ACG=AD×CD+AC×h=,
∴要使四邊形AGCD的面積最小,即只要h最小。
∵點(diǎn)G是以點(diǎn)E為圓心,BE=1為半徑的圓在矩形ABCD內(nèi)部的部分點(diǎn),
∴當(dāng)EG⊥AC時(shí),h最小,即點(diǎn)E、G、H在一條直線上。
由折疊知∠EGF=∠ABC=90°,
延長EG交AC于H,則EH⊥AC,
在Rt△ABC中,sin∠BAC=,
在Rt△AEH中,AE=2,sin∠BAC=,
∴EH=AE=,∴h=EH-EG=,
∴S四邊形AGCD最小=。
以上兩道例題,都有共同的特點(diǎn):出現(xiàn)了公共端點(diǎn)和等長線段。我們由公共端點(diǎn)想到圓的圓心,由等長線段想到圓的半徑,從而根據(jù)圓的定義“到定點(diǎn)(圓心)的距離等于定長(半徑)的點(diǎn)的集合”構(gòu)造出輔助圓,得以巧妙地解題。這個(gè)模型,我們可以稱之為“共端點(diǎn)等線段”模型。
例3如 圖5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4。點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動點(diǎn),且滿足∠PAC=∠PCB,求線段BP長的最小值。
【分析】根據(jù)已知條件可以推出∠APC=90°,根據(jù)“直角對直徑”可以判斷出點(diǎn)P在以AC為直徑的⊙O上。連接OB與⊙O交于點(diǎn)P,此時(shí)PB最小,再利用勾股定理求出OB,從而解決問題。
解:∵在△ABC中,∠ACB=90°,
∴∠ACP+∠PCB=90°。
∵∠PAC=∠PCB,
∴∠CAP+∠ACP=90°,
∴∠APC=90°,
∴點(diǎn)P在以AC為直徑的⊙O上。
連接OB、BP、OP,則BP+OP≥OB。
當(dāng)點(diǎn)O、P、B三點(diǎn)共線時(shí)取等號,即連接OB與⊙O交于點(diǎn)P,此時(shí)PB最小。
在Rt△CBO中,
∵∠OCB=90°,BC=4,OC=3,
∴OB==5。
∵BP+OP≥OB,
∴BP≥OB-OP=5-3=2。
∴BP最小值為2。
例4如圖7,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=1,P為△ABC內(nèi)一個(gè)動點(diǎn),∠PAB=∠PBC,求CP的最小值。
【分析】根據(jù)已知條件可以推出∠APB=135°,從而確定點(diǎn)P在以AB為弦的⊙O上運(yùn)動。連接OA、OB,可證四邊形OACB是正方形,然后用勾股定理求出OC=。再連接OC、OP、CP,發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)O、P、C在一條直線上時(shí),PC有最小值。
解:∵在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=1,
∴∠CAB=∠CBA=45°。
∵∠PAB=∠PBC,∠CBA=∠PBC+∠PBA=45°,∴∠PAB+∠PBA=45°,
∴∠APB=180°-(∠PAB+∠PBA)=135°,
∴點(diǎn)P在以AB為弦的⊙O上。
∵∠APB=135°,∴∠AOB=90°,
∴∠OAB=∠OBA=45°,
∴∠CAO=∠CAB+∠OAB=90°,
同理∠CBO=90°,
∴四邊形ACBO為矩形。
又∵OA=OB,∴四邊形AOBC為正方形,
∴OA=OB=1,∴OP=1,OC=。
當(dāng)點(diǎn)O、P、C在一條直線上時(shí),PC有最小值,∴PC的最小值=OC-OP=。
以上兩個(gè)例題,都有共同的特點(diǎn):∠P保持不變,∠P的對邊長d保持不變,則∠P的頂點(diǎn)P的軌跡是圓弧。根據(jù)圓周角的有關(guān)性質(zhì),我們可以構(gòu)造出輔助圓,這個(gè)模型可以被稱為“定角對定邊”模型。