文 張大偉

我們常會(huì)遇到一些用常規(guī)方法不太容易解決或者解決的過程比較煩瑣的問題。這些問題表面看上去與圓無關(guān)，但在仔細(xì)思考之后，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)如果構(gòu)造適當(dāng)?shù)膱A，往往能促使問題轉(zhuǎn)化，獲得“柳暗花明”的效果。下面我們總結(jié)出兩種模型，用于發(fā)現(xiàn)圖形中隱藏的圓。

例1如圖1，在四邊形ABCD中，BA=BD=BC，∠ABC=80°，則∠ADC=________°。

【分析】由條件“BA=BD=BC”出發(fā)，一方面我們可以想到BA=BD，BD=BC，再利用“等邊對(duì)等角”得到∠A=∠ADB，∠BDC=∠C，從而推出∠ADC=∠A+∠C，最后利用“四邊形內(nèi)角和等于360°”求出∠ADC的度數(shù)。另一方面，我們可以結(jié)合圓的定義（到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合）聯(lián)想到利用圓來解決。點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)C在同一個(gè)圓上，根據(jù)圓周角的性質(zhì)就可以求出∠ADC的度數(shù)。

解：∵BA=BD=BC，

∴點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑的同一個(gè)圓上。

如圖2所示，在優(yōu)弧AMC上取一點(diǎn)E，則∠AEC=∠ABC=40°。

∵四邊形AECD是圓B的內(nèi)接四邊形，

∴∠AEC+∠ADC=180°，

∴∠ADC=180°-∠AEC=140°。

例2如圖3，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，且AE=2，點(diǎn)F是邊BC上的任意一點(diǎn)，把△BEF沿EF翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，連接AG、CG，則四邊形AGCD的面積的最小值為________。

【分析】經(jīng)過分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，四邊形AGCD的面積與點(diǎn)G到AC的距離有關(guān)。由翻折可知GE=BE，那么我們可以確定點(diǎn)G是在以點(diǎn)E為圓心，BE長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)EG⊥AC時(shí)，四邊形AGCD的面積最小。再用銳角三角函數(shù)求出點(diǎn)G到AC的距離（也可以用相似），最后把點(diǎn)G到AC的距離代入之前表示面積的式子中即可得出結(jié)論。

解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD=AB=3，AD=BC=4，∠ABC=∠D=90°，

根據(jù)勾股定理，可得AC=5。

∵AB=3，AE=2，

∴點(diǎn)F在BC上的任何位置時(shí)，點(diǎn)G始終在AC的下方。

設(shè)點(diǎn)G到AC的距離為h。

∵S四邊形AGCD=S△ACD+S△ACG=AD×CD+AC×h=，

∴要使四邊形AGCD的面積最小，即只要h最小。

∵點(diǎn)G是以點(diǎn)E為圓心，BE=1為半徑的圓在矩形ABCD內(nèi)部的部分點(diǎn)，

∴當(dāng)EG⊥AC時(shí)，h最小，即點(diǎn)E、G、H在一條直線上。

由折疊知∠EGF=∠ABC=90°，

延長(zhǎng)EG交AC于H，則EH⊥AC，

在Rt△ABC中，sin∠BAC=，

二、“定邊對(duì)定角”模型

在Rt△AEH中，AE=2，sin∠BAC=，

∴EH=AE=，∴h=EH-EG=，

∴S四邊形AGCD最小=。

以上兩道例題，都有共同的特點(diǎn)：出現(xiàn)了公共端點(diǎn)和等長(zhǎng)線段。我們由公共端點(diǎn)想到圓的圓心，由等長(zhǎng)線段想到圓的半徑，從而根據(jù)圓的定義“到定點(diǎn)（圓心）的距離等于定長(zhǎng)（半徑）的點(diǎn)的集合”構(gòu)造出輔助圓，得以巧妙地解題。這個(gè)模型，我們可以稱之為“共端點(diǎn)等線段”模型。

例3如 圖5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4。點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAC=∠PCB，求線段BP長(zhǎng)的最小值。

【分析】根據(jù)已知條件可以推出∠APC=90°，根據(jù)“直角對(duì)直徑”可以判斷出點(diǎn)P在以AC為直徑的⊙O上。連接OB與⊙O交于點(diǎn)P，此時(shí)PB最小，再利用勾股定理求出OB，從而解決問題。

解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，

∴∠ACP+∠PCB=90°。

∵∠PAC=∠PCB，

∴∠CAP+∠ACP=90°，

∴∠APC=90°，

∴點(diǎn)P在以AC為直徑的⊙O上。

連接OB、BP、OP，則BP+OP≥OB。

當(dāng)點(diǎn)O、P、B三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，即連接OB與⊙O交于點(diǎn)P，此時(shí)PB最小。

在Rt△CBO中，

∵∠OCB=90°，BC=4，OC=3，

∴OB==5。

∵BP+OP≥OB，

∴BP≥OB-OP=5-3=2。

∴BP最小值為2。

例4如圖7，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，P為△ABC內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠PAB=∠PBC，求CP的最小值。

【分析】根據(jù)已知條件可以推出∠APB=135°，從而確定點(diǎn)P在以AB為弦的⊙O上運(yùn)動(dòng)。連接OA、OB，可證四邊形OACB是正方形，然后用勾股定理求出OC=。再連接OC、OP、CP，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)O、P、C在一條直線上時(shí)，PC有最小值。

解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，

∴∠CAB=∠CBA=45°。

∵∠PAB=∠PBC，∠CBA=∠PBC+∠PBA=45°，∴∠PAB+∠PBA=45°，

∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=135°，

∴點(diǎn)P在以AB為弦的⊙O上。

∵∠APB=135°，∴∠AOB=90°，

∴∠OAB=∠OBA=45°，

∴∠CAO=∠CAB+∠OAB=90°，

同理∠CBO=90°，

∴四邊形ACBO為矩形。

又∵OA=OB，∴四邊形AOBC為正方形，

∴OA=OB=1，∴OP=1，OC=。

當(dāng)點(diǎn)O、P、C在一條直線上時(shí)，PC有最小值，∴PC的最小值=OC-OP=。

以上兩個(gè)例題，都有共同的特點(diǎn)：∠P保持不變，∠P的對(duì)邊長(zhǎng)d保持不變，則∠P的頂點(diǎn)P的軌跡是圓弧。根據(jù)圓周角的有關(guān)性質(zhì)，我們可以構(gòu)造出輔助圓，這個(gè)模型可以被稱為“定角對(duì)定邊”模型。