圓是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,也是中考的考查熱點(diǎn)。教材中的例題蘊(yùn)含著豐富的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思想方法,往往是中考命題人的重要素材。下面對(duì)蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)“2.5直線與圓的位置關(guān)系”的例2進(jìn)行深入剖析和延展,以幫助同學(xué)們鞏固知識(shí)和方法,積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。
例題如圖1,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AB是⊙O的直徑,∠CAD=∠ABC。判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由。
【分析】直線與圓相切,需要滿足兩個(gè)條件:①直線經(jīng)過半徑的外端;②直線垂直于這條半徑。結(jié)合本題,點(diǎn)A在⊙O上,所以只需證明AD⊥AB,即∠BAC+∠CAD=90°。條件中已有∠CAD=∠ABC,所以只需證明∠BAC+∠ABC=90°。我們知道,直徑所對(duì)的圓周角是直角,根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°,易證∠BAC+∠ABC=90°。
【解析】直線AD與⊙O相切。
∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠ABC=90°。
∵∠CAD=∠ABC,
∴∠BAC+∠CAD=90°,
即AD⊥AB。
又∵點(diǎn)A在⊙O上,
∴直線AD與⊙O相切。
變化1如圖2,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,∠CAD=∠ABC。判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由。
【分析】根據(jù)前面的分析,我們可以作直徑AE,并連接CE。接下來只要證明AD⊥AE,即∠EAC+∠CAD=90°即可。根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等,易知∠ABC=∠AEC。這樣,問題就轉(zhuǎn)化為例題了。
【解析】如圖3,作直徑AE,連接CE,
∴∠ABC=∠AEC。
下面的做法可參考例題,略。
【總結(jié)】此題雖然將例題中的直徑AB一般化,但是∠ABC和∠AEC都是⌒AC所對(duì)的圓周角,故而∠ABC和∠AEC相等,所以結(jié)論仍然成立。同時(shí),我們也可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)∠CAD和⌒AC所對(duì)的圓周角相等時(shí),直線AD與⊙O相切。
變化2如圖2,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,若直線AD與⊙O相切,請(qǐng)說明∠CAD=∠ABC。
【分析】我們可以作直徑AE,連接CE(圖3),易得AD⊥AE,即∠EAC+∠CAD=90°。根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角,易知∠EAC+∠AEC=90°,所以∠CAD=∠AEC=∠ABC。
【解析】如圖3,作直徑AE,連接CE。
∵直線AD與⊙O相切,
∴AD⊥AE,
∴∠EAC+∠CAD=90°。
∵AE是直徑,
∴∠EAC+∠AEC=90°,
∴∠CAD=∠AEC。
∵∠AEC=∠ABC,
∴∠CAD=∠ABC。
【總結(jié)】觀察變化1和變化2的條件和結(jié)論,不難發(fā)現(xiàn)它們是互逆命題。若∠CAD和所對(duì)的圓周角相等,則直線AD與⊙O相切;若直線AD與⊙O相切,則∠CAD和所對(duì)的圓周角相等。
變化3如圖4,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,延長(zhǎng)BC交直線AD于點(diǎn)E,若直線AD與⊙O相切,請(qǐng)說明AE2=EC·EB。
【分析】根據(jù)變化2的經(jīng)驗(yàn),我們可知∠CAE=∠ABC;再由∠AEC是△EAC和△EBA的公共角,易得△EAC∽△EBA;最后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系就可以解決問題。
【解析】由變化2知,∠CAE=∠ABC。
又∵∠AEC=∠AEC,
∴△EAC∽△EBA。
∴AE2=EC·EB。
【總結(jié)】根據(jù)變化2,我們得到∠CAE=∠ABC,這就為相似三角形的證明提供了條件,同時(shí),我們也發(fā)現(xiàn)切線長(zhǎng)AE是EC和EB的比例中項(xiàng)(圖5)。
變化4如圖6,AF、CB是⊙O的兩條弦,延長(zhǎng)FA、BC交于點(diǎn)E,請(qǐng)說明EC·EB=EA·EF。
【分析】觀察圖5和圖6,我們不難發(fā)現(xiàn)圖5的直線EA繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度與⊙O產(chǎn)生了兩個(gè)交點(diǎn)形成圖6。我們依然可以構(gòu)造含有EC、EB、EA和EF的相似三角形來證明結(jié)論:①如圖7,連接AC和FB,證明△EAC∽△EBF;②如圖8,連接AB和CF,證明△EAB∽△ECF;③如圖9,作直線EG與⊙O相切于點(diǎn)G,根據(jù)變化3的經(jīng)驗(yàn)可知EG2=EC·EB,同理可得EG2=EA·EF,所以結(jié)論成立。
【解析】方法1:如圖7,連接AC和FB。
∵四邊形ACBF是⊙O的內(nèi)接四邊形,
∴∠CAF+∠B=180°。
∵∠CAF+∠EAC=180°,
∴∠B=∠EAC。
又∵∠E=∠E,∴△EAC∽△EBF,
∴。
∴EC·EB=EA·EF。
方法2:如圖8,連接AB和CF。
∵∠E=∠E,∠EFC=∠EBA,
∴△EAB∽△ECF,
∴EC·EB=EA·EF。
方法3:作直線EG與⊙O相切于點(diǎn)G,
由變化3知,EG2=EC·EB。
同理可得EG2=EA·EF。
∴EC·EB=EA·EF。
【總結(jié)】將切線進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓?,讓直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn),問題重新散發(fā)出生命力。方法1和方法2是常規(guī)思路,而方法3著眼于變化3和變化4之間的聯(lián)系,作出圓的切線,讓等式兩邊的式子進(jìn)行等量代換,實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。