程小靜

(陜西理工大學，陜西 漢中 723099)

極限貫穿高等數(shù)學內(nèi)容的始終，其中數(shù)列極限[1]是初學高等數(shù)學最難理解而又重要的問題之一，是學生從初等數(shù)學到高等數(shù)學不得不跨越的門檻，因此，很多課堂創(chuàng)新、教學模式變革[2]的探索都以數(shù)列極限為例，因此，數(shù)列極限非常重要，相對于數(shù)列極限無窮小數(shù)列就容易理解多了。本文針對這一教學重難點采取首先引入無窮小數(shù)列的定義與性質(zhì)，再由無窮小數(shù)列的定義給出數(shù)列極限的定義，結(jié)合無窮小數(shù)列的性質(zhì)討論數(shù)列極限的性質(zhì)，來分散難點，是對高等數(shù)學內(nèi)容嘗試的一種新的教學模式和變革。

1 無窮小數(shù)列的定義和性質(zhì)

1.1 無窮小數(shù)列的定義

②關于ε：具有二重性，即任意性、相對固定性。

③關于N：特定的項數(shù)與ε有關。

⑥無窮小數(shù)列的幾何意義：任給ε>0，總能找到正整數(shù)N，使從第N+1項開始中的所有項都落在0的ε領域內(nèi)，這表明無窮小數(shù)列從某項起越來越密集在0的任意鄰近，而在這鄰域之外至多有N項：(見圖1)。

圖1 無窮小數(shù)列的幾何意義

1.2 無窮小數(shù)列的性質(zhì)

1.2.1 無窮小數(shù)列必有界

首先，說明數(shù)列有界性的定義。

其次，證明性質(zhì)無窮小數(shù)列必有界。

1.2.2 有限個無窮小數(shù)列的和、差、積仍為無窮小數(shù)列

以兩個無窮小數(shù)列的和仍為無窮小數(shù)列為例證明.

1.2.3 常數(shù)或有界數(shù)列與無窮小數(shù)列的乘積仍為無窮小數(shù)列

以有界數(shù)列與無窮小數(shù)列的乘積仍為無窮小數(shù)列為例證明。

說明有界數(shù)列與無窮小數(shù)列的乘積仍為無窮小數(shù)列，常數(shù)與無窮小數(shù)列的乘積仍為無窮小數(shù)列類似證明。

2 數(shù)列極限的定義和性質(zhì)

2.1 數(shù)列極限的定義

②關于ε，N同無窮小數(shù)列定義中的相同。

④數(shù)列極限的幾何意義。這里借助無窮小數(shù)列定義的幾何意義完全可以嘗試讓學生自己總結(jié)數(shù)列極限的幾何意義，注意強調(diào)數(shù)列極限存在與否同樣與數(shù)列的前有限項無關。

2.2 數(shù)列極限的性質(zhì)

2.2.1 收斂數(shù)列的極限是唯一的

為無窮小數(shù)列，說明A=B故收斂數(shù)列的極限是唯一的。

2.2.2 收斂數(shù)列是有界的

3 解決數(shù)列極限實際教學中存在的困難

盡管對于數(shù)列的研究大多是通過算式來表述的，但算式的表述在教學中有時并不能非常地直觀說明數(shù)列的性質(zhì)，所以，需要借助文字來描述數(shù)列極限，在教學中做到使學生可以深入認知數(shù)列極限，讓學生觀察數(shù)列動圖，以求對數(shù)列進行定性描述。

如果用語言描述的方法概括數(shù)列極限現(xiàn)象，得到：

對于數(shù)列極限的描述都是從已知到未知進行的，在這一過程中伴隨著簡單到復雜的現(xiàn)象。在教學實踐過程中，盡管數(shù)列極限對于學生來說是一個全新的概念，但在描述數(shù)列極限過程中運用到的絕對者不等式卻在較早以前的學習中就有涉及到，并不復雜。絕對值不等式的表示在數(shù)列極限中是一個關鍵的因素，可以認為，數(shù)列極限事實上就是初級絕對值不等式的實際應用。為排除學生在學習數(shù)列極限過程中的困難，可以帶領其去認知數(shù)列極限和ε-N的演變過程，所以，在教學實踐過程中定義數(shù)列極限大致可分為四步，即將數(shù)列極限教學分為幾個分步驟進行，在教學過程中教師不應該直接給出數(shù)列極限的定義，而是通過每一個步驟與學生共同探索。

3.1 對數(shù)列的特點進行觀察

在向?qū)W生示例上述算式以后，開始引導其從前所學過的數(shù)列知識，最早的數(shù)列學習可以回溯到初中數(shù)學，但初中數(shù)學中的數(shù)列學習只涉及到數(shù)列的首項、尾項、項數(shù)，為初級的等差數(shù)列、等比數(shù)列等。而在本次學習的數(shù)列極限中，更關注的是數(shù)列的變化趨勢，通過這樣的引導使學生主動發(fā)現(xiàn)一些數(shù)列極限的規(guī)律，對于數(shù)列知識較為扎實的學生來說，可以很容易發(fā)現(xiàn)有的數(shù)列極限存在越來越大的變化趨勢，有的數(shù)列極限處于擺動狀態(tài)，而有的數(shù)列存在趨近于某一常數(shù)的現(xiàn)象。為更加直觀地引導學生繼續(xù)分析，教師可以通過數(shù)軸將數(shù)列標注出來，同時，教師需要對學生發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行及時地總結(jié)概括：部分數(shù)列存在一致的現(xiàn)象，例如，隨著n的數(shù)值不斷增加，數(shù)值會與常數(shù)1越來越接近，此時學生會意識到數(shù)列極限的這種現(xiàn)象與曾經(jīng)學習過的函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性、函數(shù)周期性極為相似，將數(shù)列極限與函數(shù)性質(zhì)進行對比，可以發(fā)現(xiàn)隨著n的無限增大，數(shù)列值會與某一常數(shù)無限接近。

3.2 引用學過知識并及時予以糾正

教師需要糾正學生在數(shù)列極限中不可以用“無限增大”“無限接近”等非專業(yè)用語，再一次引導學生回憶初中數(shù)學中的函數(shù)單調(diào)性，對于函數(shù)單調(diào)性的描述為“隨著自變量的變化，函數(shù)值也隨之變化”，在高中數(shù)學中，將函數(shù)值的變化描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，即定義區(qū)域內(nèi)的某區(qū)間任意點x1，x2，若x1＜x2，則存在f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)，即將定義過程進行直觀描述。由此可以做出如下定義：對于數(shù)列和常數(shù)A，任意指定正數(shù)ε，終有一個時刻恒成立。

3.3 證明數(shù)列極限

3.4 深化概念

前三步對于數(shù)列極限的定義還僅局限于概念層面，為使學生可以更進一步地了解數(shù)列極限的本質(zhì)屬性，需要通過以下幾方面強化學生的數(shù)列極限認知：

(2)在進行數(shù)列極限解析過程中，要求教師重點分析定義中的關鍵詞，并使學生清楚了解定義中每個字在定義中的意義，尤其要重點解釋ε的雙重性、絕對值的穩(wěn)定性或相對穩(wěn)定性，以及N對于ε的依賴性。

(3)教師還可以通過變式教學清楚地表示數(shù)列極限的個本質(zhì)屬性，同時，配合數(shù)列舉例，再配合沒有極限的發(fā)散例子，以反襯的方式通過非本質(zhì)屬性表現(xiàn)數(shù)列極限的本質(zhì)屬性，使學生更加清晰、形象地了解數(shù)列極限的本質(zhì)屬性，加深印象。

4 結(jié)論

通過引入無窮小數(shù)列的定義和性質(zhì)為數(shù)列極限提供了一個新的教學模式與思路，通過具體的無窮小數(shù)列引導學生深刻理解任意小正數(shù)，進而理解任意小正數(shù)與正整數(shù)的依賴關系。甚至利用無窮小數(shù)列學生可以自己總結(jié)數(shù)列極限定義的幾何意義，完全可以嘗試利用無窮小數(shù)列的性質(zhì)來證明數(shù)列極限的性質(zhì)。這一新的教學模式不但使學生更容易掌握數(shù)列極限的深層內(nèi)涵，增加師生間的雙向互動，而且對于強化學生自身學習能力，增加學生學習高等數(shù)學的興趣，都是傳統(tǒng)教學內(nèi)容無法比較的。