張立，周傳明，陳偉民，陳建挺

(上海船舶運輸科學(xué)研究所 航運技術(shù)與安全國家重點實驗室，上海 200135)

CFD技術(shù)是船舶水動力領(lǐng)域的關(guān)鍵技術(shù)之一，是船舶性能評估、線型優(yōu)化等方面的重要且高效的工具[1]。CFD方法雖然高效，但是其計算效率和精度受到使用人員的經(jīng)驗、計算模型設(shè)置等因素的影響，甚至在某些情況下出現(xiàn)較大誤差[2-3]。因此，針對CFD計算精度的分析就顯得十分必要。

關(guān)于CFD不確定度分析,早期的研究大多是基于網(wǎng)格收斂性的CFD不確定度分析，如針對特定湍流模型和特定壁面條件下，對結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格或非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的數(shù)值模擬過程進行不確定度分析[4-6]；使用不同的湍流方法對船模CFD計算結(jié)果進行驗證和確認[7]，來比較不同湍流模型之間的不確定度分析的差異；有部分研究通過方差分析的方式對CFD數(shù)值模擬進行不確定度分析[8-9]，此方法所依賴的前提是數(shù)值模擬結(jié)果隨著因素變化呈現(xiàn)正態(tài)分布趨勢，但是這種前提并未得到驗證。因此，CFD不確定度的分析方法仍然處于探討階段，一套統(tǒng)一的分析方法并未建立。近期的研究趨向通過提升分析因素的維度來比較CFD不確定度分析之間的差異，如不同船型、不同尺度、不同湍流模型及不同壁面條件等維度。

針對CFD計算結(jié)果在不同壁面條件(Y+)下的不確定度差異問題，考慮基于1艘模型長度為7.455 2 m的標準船模，基于k-ε湍流模型，設(shè)置不同壁面條件(Y+=60、120、240)，并分別設(shè)置3套不同密度的網(wǎng)格尺寸，對其進行船模阻力CFD模擬，在前序進行多維度仿真的基礎(chǔ)上，參考ITTC關(guān)于CFD模擬的不確定度規(guī)程，對數(shù)值模擬結(jié)果進行不確定度分析，即驗證和確認(V&V)。

1 原理

1.1 CFD計算方法

CFD湍流模型分為DNS、LES、RANS等。RANS方法通過簡化N-S方程，控制方程和連續(xù)性方程如下式所示。該方法降低了計算難度，也提升了計算速度，深受工業(yè)界青睞。

(i,j=1、2、3)

(1)

在計算船模阻力時，將速度進口、壓力出口、自由液面、船體壁面等作為邊界條件。

1.2 分析要素的選擇

基于RANS方法的湍流模型有很多變體，不同的湍流模型具有不同的適用性，在求解數(shù)值結(jié)果時，湍流模型的選擇對結(jié)果產(chǎn)生重要影響。網(wǎng)格密度對計算結(jié)果收斂性有明顯影響。離散格式主要對計算效率造成影響，但對結(jié)果精度的影響十分有限。在近壁面處的流動，由于是從黏性底層到湍流的轉(zhuǎn)化，需要壁面函數(shù)處理。RANS方法通過壁面函數(shù)控制近壁面處流動問題，通過壁面函數(shù)結(jié)合湍流模型求解計算域，通過引入無量綱數(shù)值Y+進行控制。對于時間步長，當(dāng)設(shè)置的時間步長滿足相應(yīng)的庫朗數(shù)要求之后，近似認為時間步長對結(jié)果的影響可以消除。根據(jù)文獻[8]，除了湍流模型外，船模阻力仿真結(jié)果主要受網(wǎng)格密度、近壁面處理的影響，因此，本文針對不同近壁面條件，設(shè)置不同網(wǎng)格密度分析其不確定度。

2 CFD不確定度分析方法

對于數(shù)值模擬結(jié)果S和真值T之間的誤差δS，可以分為模型誤差δM和數(shù)值誤差δN，見圖1。

圖1 CFD模擬的誤差示意

其中，模型誤差是對物理問題進行描述時候帶來的誤差，數(shù)值誤差是因為數(shù)值求解過程中因數(shù)學(xué)方程求解帶來的誤差[10]。因此，CFD數(shù)值模擬時需要分別進行分析，分析過程分為2個步驟(V&V)：①驗證，評估數(shù)值結(jié)果的不確定度；②確認，評估數(shù)值結(jié)果的正確性。通常意義上的V&V是一個分析過程，這與船模試驗不確定度分析有所不同。

2.1 驗證

當(dāng)對船模阻力進行CFD模擬，其數(shù)值結(jié)果因不同的湍流模型、網(wǎng)格密度、近壁面條件、時間步長及其他因素等多種因素影響。因此，當(dāng)湍流模型和Y+一定的時候，CFD模擬的不確定度表示為

(2)

式中：UI、UG、UP分別為迭代誤差、網(wǎng)格收斂性、以及其他因素的不確定度。

迭代誤差是由于每個計算步驟中的當(dāng)前解與精確解之間的誤差造成的，截斷誤差主要是因為數(shù)值求解過程中高階項的舍入造成的。

對于迭代誤差，當(dāng)計算結(jié)果是取一段較長時間的均值，且計算結(jié)果為單調(diào)收斂的趨勢，則該項誤差為小量，迭代誤差可按照收斂結(jié)果上下界之半(yU-yL)/2來計算。其中yU、yL分別為計算收斂結(jié)果的上下限。

按照三角分布計算，迭代誤差不確定度為

(3)

目前的CFD不確定度分析方法中，截斷誤差根據(jù)網(wǎng)格收斂性進行分析，通過定義統(tǒng)一的網(wǎng)格增長比，劃分多套網(wǎng)格，分析其收斂性，然后通過外推法對結(jié)果進行估計[11]。

因此，通過上文的分析，便可以對數(shù)值模擬的結(jié)果進行驗證。

2.2 確認

對數(shù)值模擬的結(jié)果進行確認的過程，也是將數(shù)值結(jié)果與試驗結(jié)果和真值進行比較的過程。確認是利用基準試驗數(shù)據(jù)評估數(shù)值模擬的模型不確定度UM的過程。試驗結(jié)果D和數(shù)值模擬S之間的誤差即為比較誤差E，即

E=D-S

(4)

其中，試驗結(jié)果D帶有測量不確定度，S取值SGF，即為細化網(wǎng)格的數(shù)值模擬結(jié)果。

數(shù)值模擬結(jié)果S包含模型誤差δM和數(shù)值誤差δN，即

E=D-S=δD-(δM+δN)

(5)

數(shù)值模擬結(jié)果的確認過程的不確定度UV為

(6)

式中：UD為試驗結(jié)果的不確定度；UN為驗證過程中的數(shù)值不確定度。

通過式(4)～(6)，便可以比較UV和E的結(jié)果是否得到確認。當(dāng)UV>|E|，則UV在該層次得到確認；如果UV?|E|，則表明數(shù)值結(jié)果偏離試驗值較遠，需要改進計算模型。

3 標準船模阻力結(jié)果分析

針對標準船模的CFD阻力結(jié)果進行不確定度分析，通過湍流模型、網(wǎng)格密度和Y+3個方面對數(shù)值結(jié)果進行驗證，同時結(jié)合所進行的試驗結(jié)果對CFD不確定度進行確認。

在湍流模型選擇上，選擇標準k-ε湍流模型；網(wǎng)格劃分方面，使用三維非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格總數(shù)的加細比約為rG=2；Y+值的增速rY+=2,見表1。

3.1 計算模型

船模主尺度，船模速度及相關(guān)參數(shù)見表2。

表1 CFD不確定度分析計算設(shè)置

表2 船模主尺度

3.2 驗證

通過設(shè)計計算矩陣，對船模阻力進行CFD模擬，半船計算結(jié)果見表3。

表3 標準k-ε湍流模型的計算結(jié)果

3.2.1 驗證方法

此前的計算結(jié)果中，與常規(guī)的CFD不確定度分析不同：選擇2個維度上的分析，需要分別進行驗證。收斂因子RG為

(7)

式中：SGF、SGM、SGC分別表示細網(wǎng)格、中網(wǎng)格和粗網(wǎng)格的結(jié)果。當(dāng)0

(8)

誤差修正因子CG為

(9)

根據(jù)ITTC(2017)建議，當(dāng)誤差修正因子CG<1時，

UG=[2|1-CG|+1]·δRE

(10)

當(dāng)CG遠小于或者遠大于1時，網(wǎng)格的不確定度為

UG=[|CG|+|1-CG|]·δRE

(11)

3.2.2 數(shù)值不確定度

根據(jù)式(2)計算得到驗證過程中的不確定度UV，見表4。

表4 不同Y+值計算結(jié)果的數(shù)值不確定度

3.3 確認

對相同條件的船模進行拖曳水池試驗，總阻力測量結(jié)果RT=22.789×(1±0.32%)，其中0.32%為試驗結(jié)果的不確定度。在得到數(shù)值不確定度之后，確認過程的不確定度UV見表5。

表5 確認過程的不確定度

表5表明，當(dāng)Y+=60時，由于UV

3.4 改進數(shù)值模擬的方法

如圖2所示，整體而言，本文數(shù)值模擬結(jié)果的誤差在3%以內(nèi)，與其他相關(guān)文獻相比，本文的數(shù)值模擬結(jié)果具有較高精度。但是，Y+=60的結(jié)果并未得到確認，而Y+=120和240的結(jié)果得到了驗證和確認。從不確定度分析的角度上，Y+=60的分析過程應(yīng)當(dāng)使用更多套的網(wǎng)格進一步分析，同時也說明當(dāng)Y+值選擇不合適的時候，即使對網(wǎng)格進行加密并不一定能獲得收斂結(jié)果或高精度結(jié)果。因此，在進行數(shù)值模擬時，Y+值要與湍流模型相匹配。

圖2 k-ε計算結(jié)果誤差

4 結(jié)論

1)Y+值對不確定度分析結(jié)果產(chǎn)生了明顯影響，即使采用相同的網(wǎng)格收斂驗證方案，不同Y+值時的不確定度分析結(jié)果不相同。

2)從本文的數(shù)值模擬結(jié)果發(fā)現(xiàn)，Y+值對數(shù)值模擬的結(jié)果影響比網(wǎng)格密度的影響更大；針對k-ε湍流模型，并非Y+值選擇越小，計算結(jié)果精度便越高。需經(jīng)過多次校驗，合理設(shè)置計算模型才能夠提高計算結(jié)果的精度。

3)通過比較結(jié)果，使用多套網(wǎng)格增加網(wǎng)格收斂性的驗證，能夠提升計算結(jié)果的可信程度。