陳飛躍，陳 煜，楊 蓉，龔海文

(1.保險(xiǎn)職業(yè)學(xué)院 金融系，湖南 長(zhǎng)沙 410114；2.長(zhǎng)沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410114)

1 引 言

分離交易可轉(zhuǎn)債(Separable and Convertible Bonds)是上市公司公開(kāi)發(fā)行的 “認(rèn)股權(quán)”和“債券”分離交易的可轉(zhuǎn)換公司債券[1].分離交易可轉(zhuǎn)債賦予持有人在債券到期前規(guī)定的時(shí)間內(nèi)按照約定的執(zhí)行價(jià)格和行權(quán)比例購(gòu)買(mǎi)上市公司股票的權(quán)利.當(dāng)然，到期前若股票市價(jià)低于行權(quán)價(jià)格，則投資者將放棄認(rèn)股權(quán).當(dāng)分離交易可轉(zhuǎn)債的持有人行使了期權(quán)后，依舊持有債券，仍可定期獲取利息，到期收回本金，故分離交易可轉(zhuǎn)債具有一次發(fā)行兩次融資的優(yōu)點(diǎn).投資者最初購(gòu)買(mǎi)分離交易可轉(zhuǎn)債，對(duì)發(fā)行人來(lái)說(shuō)屬于“債權(quán)融資”，若投資者后來(lái)行使了期權(quán)，繳納認(rèn)股款則屬于“股權(quán)融資”.而普通可轉(zhuǎn)債的持有人在債券到期前一旦執(zhí)行轉(zhuǎn)換，則其債權(quán)就不復(fù)存在了.因此，人們通常認(rèn)為分離交易可轉(zhuǎn)債是一種“買(mǎi)債券送權(quán)證”的新型衍生金融工具.

20世紀(jì)70年代美國(guó)證券市場(chǎng)通過(guò)金融創(chuàng)新，率先提出了分離交易可轉(zhuǎn)債概念，經(jīng)過(guò)40多年的發(fā)展，目前分離交易可轉(zhuǎn)債已成為美國(guó)證券市場(chǎng)比較成熟的一種新型衍生證券.Ingersoll[2,3]最早將Black-Sholes 期權(quán)定價(jià)公式用于可轉(zhuǎn)債定價(jià)，通過(guò)分析投資者的最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略以及發(fā)行人的最優(yōu)贖回策略，得到了可轉(zhuǎn)債定價(jià)的顯示表達(dá)式.Finnerty[4]通過(guò)對(duì)機(jī)構(gòu)投資者進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)，分離交易可轉(zhuǎn)附帶權(quán)證帶來(lái)的折價(jià)發(fā)行會(huì)增加投資者的稅收負(fù)擔(dān)，從而會(huì)使投資者望而卻步.近年來(lái)，國(guó)內(nèi)一些學(xué)者也積極探討了可轉(zhuǎn)債的定價(jià)問(wèn)題.李爭(zhēng)華[5]以寶鋼分離交易可轉(zhuǎn)債為例，利用稀釋效應(yīng)的期權(quán)定價(jià)模型詳細(xì)研究了其定價(jià)問(wèn)題，得出結(jié)論：寶鋼分離交易可轉(zhuǎn)債的“債券”定價(jià)比較合理，但“權(quán)證”定價(jià)稍許偏高于其實(shí)際價(jià)格.駱樺、沈紅梅[6]基于國(guó)內(nèi)可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)的實(shí)際情況，應(yīng)用Black-Shocles模型推導(dǎo)出分離交易可轉(zhuǎn)債定價(jià)的表達(dá)式，并分析了分離交易可轉(zhuǎn)債帶來(lái)的股權(quán)稀釋效應(yīng).我國(guó)學(xué)者江良、林鴻熙等[7]探討了基于隨機(jī)利率模型下可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)問(wèn)題，研究表明：常數(shù)利率和隨機(jī)利率對(duì)可轉(zhuǎn)換債券價(jià)格的影響不存在顯著的差異.

以上可轉(zhuǎn)債定價(jià)問(wèn)題研究均以股票市價(jià)服從標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)為假設(shè)前提.Peter[8]首先提出分形市場(chǎng)假說(shuō)，通過(guò)分析股票價(jià)格和外匯匯率等金融資產(chǎn)的波動(dòng)，發(fā)現(xiàn)金融市場(chǎng)存在分形結(jié)構(gòu)和非周期循環(huán)的特點(diǎn).同時(shí)，行為金融學(xué)的大量實(shí)證研究也表明：股票、外匯、基金等金融資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程具有自相似性、長(zhǎng)期依賴(lài)性、長(zhǎng)記憶性等特征，并不是隨機(jī)波動(dòng)的，金融資產(chǎn)的對(duì)數(shù)收益率并不服從正態(tài)分布，而是呈現(xiàn)出“尖峰厚尾”的特點(diǎn).由于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是一種高斯過(guò)程，具有自相似性、厚尾性、長(zhǎng)期相關(guān)性以及加法不變性等性質(zhì)，這些性質(zhì)使得分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)能較好地?cái)M合股票、外匯、基金等金融資產(chǎn)的變化過(guò)程.Duncan等[9]、Hu和?ksendal[10]、Elliott和Van等[11]在這方面做了一些開(kāi)創(chuàng)性貢獻(xiàn)，他們利用Malliavin隨機(jī)分析理論和Wick積的概念，把分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的積分定義為FWIS隨機(jī)積分(Fractional Wick ItSkorohold integral，F(xiàn)WIS integral)，并證明了基于FWIS積分框架和Wick自融資策略的分?jǐn)?shù)B-S金融市場(chǎng)模型中無(wú)強(qiáng)套利機(jī)會(huì)，并且金融市場(chǎng)是完備的，隨后，Necula[12]在FWIS積分框架下，分別利用擬條件期望和delta對(duì)沖法推導(dǎo)出分?jǐn)?shù)B-S公式.陳飛躍[1]構(gòu)建了股票價(jià)格遵循分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下分離交易可轉(zhuǎn)債的定價(jià)模型，并推導(dǎo)出了其風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)公式.

然而，Hurst參數(shù)H>1/2的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)既不是馬爾科夫過(guò)程，也不是半鞅，不能用通常定義的隨機(jī)積分進(jìn)行分析,從而分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)在金融上的應(yīng)用并非易事.Bj?rk和Hurt[13]的研究表明Wick資產(chǎn)組合導(dǎo)致無(wú)套利，但定義自融資交易策略受到嚴(yán)格的限制.因此，盡管基于Wick積分的分形市場(chǎng)被認(rèn)為一個(gè)完美的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，但其在金融中的適用性受到限制.當(dāng)Hurst參數(shù)H>1/2時(shí)，混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)特殊的長(zhǎng)記憶過(guò)程.為了克服用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)描述金融資產(chǎn)價(jià)格變化時(shí)存在的缺陷，同時(shí)考慮金融資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程所具有的長(zhǎng)記憶性特征，使用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)能更好地來(lái)刻畫(huà)金融資產(chǎn)的價(jià)格變化過(guò)程.Sun[14]關(guān)于混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下的歐式匯率期權(quán)定價(jià)研究結(jié)果支持了以上結(jié)論.

目前，國(guó)內(nèi)外還很少有文獻(xiàn)研究混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下分離交易可轉(zhuǎn)債的定價(jià)問(wèn)題.本文假定股票價(jià)格變動(dòng)由混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)和市場(chǎng)利率服從Vasicek過(guò)程的條件下，建立了分離交易可轉(zhuǎn)債定價(jià)的金融市場(chǎng)偏微分方程.通過(guò)求解偏微分方程、并利用無(wú)套利定價(jià)原理得到了分離交易可轉(zhuǎn)債定價(jià)的顯示解，從而為研究分形市場(chǎng)中金融衍生品估值方法提供參考.用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)偏微分方程刻畫(huà)股價(jià)變化，其中表征收益率長(zhǎng)程自相關(guān)性的Hurst參數(shù)H滿(mǎn)足1/2

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 分離交易可轉(zhuǎn)債的構(gòu)成要素

分離交易可轉(zhuǎn)債通常包括：標(biāo)的股票、票面利率、行權(quán)價(jià)格、附權(quán)證比例、行權(quán)比例、行權(quán)期限等要素.

1)標(biāo)的股票：即分離交易可轉(zhuǎn)債發(fā)行公司發(fā)行的股票，如“江西銅業(yè)可轉(zhuǎn)債”的標(biāo)的股票就是江西銅業(yè)股票.

2)票面利率：就是分離交易可轉(zhuǎn)債發(fā)行時(shí)規(guī)定的債券部分的利率，由于分離交易可轉(zhuǎn)債包含了認(rèn)股權(quán)證，故其票面利率通常低于普通債券利率和銀行利率.

3)執(zhí)行價(jià)格：即行權(quán)價(jià)格，是投資者在行使認(rèn)購(gòu)權(quán)時(shí)購(gòu)買(mǎi)標(biāo)的股票的協(xié)議價(jià)格.

4)附權(quán)證比例：是指發(fā)行人給投資者購(gòu)買(mǎi)的每份分離交易可轉(zhuǎn)債免費(fèi)派送的股票權(quán)證的數(shù)量.

5)行權(quán)比例：是指每份股票權(quán)證可以認(rèn)購(gòu)發(fā)行公司股票的數(shù)量.

6)行權(quán)期限：通常是指分離交易可轉(zhuǎn)債發(fā)行之后，發(fā)行人規(guī)定的從某時(shí)點(diǎn)開(kāi)始至債券到期日之間持有人可以行使認(rèn)股權(quán)的這段時(shí)間.

2.2 分離交易可轉(zhuǎn)債的價(jià)值

分離交易可轉(zhuǎn)債的價(jià)值等于“債券”價(jià)值與“股票看漲期權(quán)”價(jià)值之和，其到期時(shí)的價(jià)值為

其中，M表示分離交易可轉(zhuǎn)債的票面價(jià)值，Pb=MeiT表示按票面利率i連續(xù)復(fù)利計(jì)息得到的債券到期時(shí)的價(jià)值，Cv表示執(zhí)行價(jià)格，T表示到期時(shí)間,ST表示T時(shí)刻的標(biāo)的股票的價(jià)格，α表示附權(quán)證比例，β表示行權(quán)比例.

2.3 混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的定義

1)定義 設(shè)(Ω,F,P)是一完備概率空間，混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是由相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)組成的一個(gè)線性組合，由下式給出(t∈R+):

證明見(jiàn)參考文獻(xiàn)[15].

3 混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下分離交易可轉(zhuǎn)債定價(jià)的金融市場(chǎng)模型

3.1 模型假設(shè)

1)金融市場(chǎng)無(wú)摩擦，即稅收和交易費(fèi)可以忽略不計(jì)；

2)所有證券可以無(wú)限制的細(xì)分，證券交易是連續(xù)進(jìn)行的，且交易頭寸和交易方向都不受限制，無(wú)最大持有定額限制；

3)所有投資者可以及時(shí)免費(fèi)獲得充分的市場(chǎng)信息，市場(chǎng)不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；

4)暫不考慮分離交易可轉(zhuǎn)債的違約風(fēng)險(xiǎn).

3.2 金融市場(chǎng)模型

1)由于可轉(zhuǎn)債不是短期衍生證券，從而不將市場(chǎng)利率設(shè)為常數(shù)，假定市場(chǎng)利率服從Vasicek過(guò)程，即

dr(t)=k(θ-r(t))dt+δdB2(t).

(1)

其中k為均值回復(fù)率，θ為利率均值，k,θ,δ均為正常數(shù)，B2(t)是一標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)；

2)假定標(biāo)的股票的價(jià)格{S(t)或St,t≥0}滿(mǎn)足如下隨機(jī)微分方程(SDE)：

(2)

(3)

根據(jù)Nualart和Taqqu[16]中的Wick It公式：

從而對(duì)?T>t>0，有

(4)

3.3 引理1 隨機(jī)微分方程(1)的解為：對(duì)t≤u≤T，有

證明由方程(1)可得：dr(t)+k·r(t)dt=kθdt+δ·dB2(t)，等式兩邊同時(shí)乘以ek·t，則有

ek·tdr(t)+k·r(t)·ek·tdt=ek·tkθdt+ek·tδ·dB2(t).

對(duì)t≤u≤T，上述等式兩邊在[t,u]積分，得到

將上式右邊最后一個(gè)二重積分交換積分次序可得

(5)

由文獻(xiàn)[17]可知

即，Z(t,T)～N(0,σ2(t,T)).

4 分離交易可轉(zhuǎn)債價(jià)值的主要結(jié)論

4.1 引理2設(shè)Z1～N(0,1),Z2～N(0,1)，Cov(Z1,Z2)=ρ，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,c,d,s，有下式成立：

4.2 定理假定股票價(jià)格變動(dòng)由混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)，且市場(chǎng)利率遵循Vasicek過(guò)程，則分離交易可轉(zhuǎn)債在到期前任意時(shí)刻t的理論價(jià)值為

(6)

證明由無(wú)套利定價(jià)原理(風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理)可知，

記上式中的第一項(xiàng)為V1，第二項(xiàng)為V2，先計(jì)算第一項(xiàng)V1，

注意到：Z(t,T)～N(0,σ2(t,T))，B1(T)-B1(t)～N(0,T-t)，

于是，由引理1得

(7)

再計(jì)算V2，

(8)

將式(8)中的兩項(xiàng)分別記為V21，V22，則V21與V1的計(jì)算方法相同，可得：

(9)

由式(5)可得

(10)

將V1,V21,V22分別代入V(t,T,r(t),St)中，得

V(t,T,r(t),St)=