趙林夢(mèng)，胡支軍

(貴州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

1 引 言

全球經(jīng)濟(jì)發(fā)展的實(shí)踐表明, 創(chuàng)新型中小企業(yè)是經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要推動(dòng)力量.風(fēng)險(xiǎn)投資作為一種主要以高科技、高風(fēng)險(xiǎn)的創(chuàng)新型項(xiàng)目為投資目標(biāo)的資本形式, 在幫助創(chuàng)業(yè)企業(yè)解決融資難等問題上發(fā)揮著重要的作用.就創(chuàng)業(yè)企業(yè)而言，其投資項(xiàng)目的價(jià)值除了受市場(chǎng)不確定性的影響外，還會(huì)受到突發(fā)事件，如自然災(zāi)害、瘟疫、金融危機(jī)、新競(jìng)爭者的加入等的沖擊.這些突發(fā)事件會(huì)導(dǎo)致項(xiàng)目的價(jià)值發(fā)生離散的跳躍.如何測(cè)度這些不確定性與特定的跳躍風(fēng)險(xiǎn)對(duì)創(chuàng)業(yè)企業(yè)的價(jià)值以及投資閾值的影響，是評(píng)估創(chuàng)業(yè)投資時(shí)的一個(gè)重要課題.

從金融學(xué)角度看，創(chuàng)業(yè)企業(yè)融資決策通常涉及對(duì)創(chuàng)業(yè)企業(yè)的估值，創(chuàng)業(yè)企業(yè)家(EN)和風(fēng)險(xiǎn)投資家(VC)如何分割企業(yè)所有權(quán)也是其中的相關(guān)問題.考慮到創(chuàng)業(yè)企業(yè)前景的不確定性，EN和VC可以選擇通過預(yù)付股權(quán)或現(xiàn)金溢價(jià)，或者根據(jù)企業(yè)的業(yè)績基準(zhǔn)設(shè)置一個(gè)或有支付機(jī)制(Contingent Payment Mechanism，CPM)來解決關(guān)于項(xiàng)目估值和企業(yè)所有權(quán)的問題.或有支付機(jī)制(CPM)，文獻(xiàn)中也稱為或有Earn-outs, 是在并購交易中買賣雙方為解決估值分歧，依據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)未來業(yè)績等條件的達(dá)標(biāo)程度來調(diào)整支付款項(xiàng)的一項(xiàng)合約安排.在這種支付安排下，并購雙方通過將傳統(tǒng)的一次性支付轉(zhuǎn)變?yōu)檠悠谥Ц兜哪Ｊ?，以解決雙方的估值分歧.

目前關(guān)于創(chuàng)業(yè)融資決策或者在并購(M&A)環(huán)境下涉及CPMs的決策模型的文獻(xiàn)并不多見.Datar等(2001)[1]指出，CPM是一種收購方法，其中賣方收到的最終對(duì)價(jià)是基于其業(yè)務(wù)的未來表現(xiàn).Lukas等(2012)[2]對(duì)CPMs采用兩階段期權(quán)博弈方法，以考察不確定性和或有支付條款對(duì)最佳并購時(shí)機(jī)的影響.Barbopoulos和Sudarsanam(2012)[3]指出CPM可能出現(xiàn)在“媒體和娛樂”、“消費(fèi)品”、“高科技”、“醫(yī)療”和“電信”等行業(yè).Lukas和Heimann(2014)[4]通過一個(gè)具有信息不對(duì)稱特征的并購環(huán)境下的理論模型，推導(dǎo)出了一系列關(guān)于或有支付機(jī)制的可檢驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)命題.Choi(2016)[5]針對(duì)并購背景建立了一個(gè)兩階段博弈模型，目的是解決交易后期如何影響最優(yōu)或有支付機(jī)制的設(shè)計(jì)問題.謝藹瑩(2018)[6]針對(duì)信息不對(duì)稱和未來不確定性帶來較大風(fēng)險(xiǎn)的問題，結(jié)合相關(guān)并購案例研究或有支付可能產(chǎn)生的正面和負(fù)面效應(yīng).Tavares-G?rtner等(2018)[7]設(shè)計(jì)了一種實(shí)物期權(quán)方法對(duì)所確定的四種主要不同的CPM進(jìn)行估值，并展示了如何最優(yōu)地設(shè)計(jì)這些不同的CPM，以便在EN和VC之間不會(huì)產(chǎn)生利益沖突的情況下，最好地支持創(chuàng)業(yè)企業(yè)的成長戰(zhàn)略.

隨機(jī)過程選擇在實(shí)物期權(quán)估值中起著核心作用，它不僅會(huì)影響項(xiàng)目價(jià)值，還會(huì)影響投資規(guī)則.以往關(guān)于創(chuàng)業(yè)投資的研究大都是假設(shè)項(xiàng)目的投資價(jià)值為連續(xù)(擴(kuò)散)隨機(jī)過程，投資期間沒有考慮突發(fā)事件發(fā)生的可能性.例如，Berk等(2004)[8]將未來現(xiàn)金流量風(fēng)險(xiǎn)分成系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)與技術(shù)的特定風(fēng)險(xiǎn)來評(píng)估創(chuàng)投的價(jià)值與風(fēng)險(xiǎn)溢酬.陽軍等(2012)[9]假設(shè)產(chǎn)品需求服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用實(shí)物期權(quán)理論方法推導(dǎo)出不變產(chǎn)出和可變產(chǎn)出條件下企業(yè)最優(yōu)投資時(shí)機(jī)和投資規(guī)模的解析表達(dá)式.Lukas等(2016)[10]假設(shè)項(xiàng)目價(jià)值服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，基于 EN和VC之間的期權(quán)執(zhí)行博弈提出一個(gè)創(chuàng)業(yè)融資的動(dòng)態(tài)模型，分析了多階段融資以及經(jīng)濟(jì)和技術(shù)不確定性對(duì)最優(yōu)合約的影響.Tavares-G?rtner等(2018)[7]假設(shè)創(chuàng)業(yè)企業(yè)的利潤流服從連續(xù)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)，證明了最優(yōu)投資時(shí)機(jī)與CPM的選擇無關(guān).Tavares-G?rtner等(2018)[11]基于EN和VC對(duì)創(chuàng)業(yè)企業(yè)的成長前景持有相同和不同的觀點(diǎn)，建立了一個(gè)實(shí)物期權(quán)模型來確定促使EN和VC同時(shí)對(duì)創(chuàng)業(yè)企業(yè)行使增長期權(quán)的最優(yōu)股權(quán)結(jié)構(gòu).Chang等(2020)[12]研究了創(chuàng)業(yè)企業(yè)的項(xiàng)目價(jià)值存在多種可能的概率分布且EN和VC對(duì)項(xiàng)目付出的努力具有互補(bǔ)效應(yīng)時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)投資最優(yōu)合約設(shè)計(jì)問題.

隨著社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、環(huán)境等領(lǐng)域的系統(tǒng)復(fù)雜性日益增加，創(chuàng)業(yè)企業(yè)投資項(xiàng)目的價(jià)值除了受不確定性的影響外，還會(huì)受到金融危機(jī)、自然災(zāi)害、重大疫情或新競(jìng)爭者的加入等突發(fā)事件的沖擊(穆慶榜(2016)[13])，導(dǎo)致項(xiàng)目價(jià)值運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)過程呈現(xiàn)出不規(guī)則的離散跳躍，幾何布朗運(yùn)動(dòng)等連續(xù)型隨機(jī)過程并不能完全刻畫項(xiàng)目價(jià)值的真實(shí)變化情況.因此很有必要在分析中引入“泊松(Poisson)跳躍”過程來模擬這種由突發(fā)事件所導(dǎo)致的價(jià)值跳躍，更加真實(shí)地描述投資項(xiàng)目價(jià)值變化的隨機(jī)過程，進(jìn)而克服基于幾何布朗運(yùn)動(dòng)等擴(kuò)散過程的投融資決策的不足.

針對(duì)現(xiàn)有基于CPM的創(chuàng)業(yè)融資決策模型的不足，拓展Tavares-G?rtner等(2018)[7]的研究，假設(shè)創(chuàng)業(yè)企業(yè)的利潤流服從帶Poisson跳躍的幾何布朗運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用實(shí)物期權(quán)方法研究突發(fā)事件影響下創(chuàng)業(yè)企業(yè)的最優(yōu)融資決策問題，設(shè)計(jì)最優(yōu)的或有支付機(jī)制就很有必要了.

2 突發(fā)事件影響下基于CPM的創(chuàng)業(yè)企業(yè)融資決策實(shí)物期權(quán)模型

Tavares-G?rtner等(2018)[7]假設(shè)創(chuàng)業(yè)企業(yè)的利潤流服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)擴(kuò)散過程，考察了作為創(chuàng)業(yè)企業(yè)融資決策的一種資本籌集策略CPM.Dixit和Pindyck(1994)[14]指出，帶有離散跳躍的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型很適合模擬企業(yè)的現(xiàn)金流.例如，一家企業(yè)的收益會(huì)受到一些不可預(yù)測(cè)但相當(dāng)大的變化的影響，這些變化是對(duì)好消息或壞消息的反應(yīng).因此，不同于文獻(xiàn)[7]的模型，在描述包含突發(fā)事件的現(xiàn)實(shí)不確定性時(shí)，將其設(shè)定為帶“跳躍”的幾何布朗運(yùn)動(dòng).本節(jié)首先建立刻畫突發(fā)事件影響下的企業(yè)利潤流的跳躍-擴(kuò)散模型，然后推導(dǎo)出EN和VC持有的企業(yè)成長機(jī)會(huì)的期權(quán)價(jià)值，為研究CPM如何影響其結(jié)果做好基礎(chǔ)性工作.

2.1 變量描述與模型建立

考慮一家由一個(gè)EN擁有的創(chuàng)業(yè)企業(yè)，通過擴(kuò)大當(dāng)前的利潤流(用eEXP>1表示)和給定的資本支出(用k> 0表示)，使企業(yè)產(chǎn)生正的利潤并保持成長機(jī)會(huì).假設(shè)EN和創(chuàng)業(yè)企業(yè)都無法獲得債務(wù)融資，這種資本支出應(yīng)當(dāng)通過由擁有有限資源的EN和外部融資人支持的一輪股權(quán)融資來提供資金，而外部融資人被認(rèn)為是一個(gè)不受資金限制的VC.假設(shè)VC可以提供EN所需的部分資金.

使用以下符號(hào)表示相關(guān)的變量：

ki表示EN提供給創(chuàng)業(yè)企業(yè)的初始資本，

ka表示EN愿意向創(chuàng)業(yè)企業(yè)投入的額外資本，

k表示創(chuàng)業(yè)企業(yè)執(zhí)行成長戰(zhàn)略所需的資本支出總額，

(k-ka)是VC投入創(chuàng)業(yè)企業(yè)的資本.

假定雙方在進(jìn)行某輪股權(quán)融資后根據(jù)各自對(duì)創(chuàng)業(yè)企業(yè)的出資額來決定其對(duì)企業(yè)的所有權(quán).經(jīng)股權(quán)融資后EN持有的股權(quán)表示為0

創(chuàng)業(yè)企業(yè)的項(xiàng)目價(jià)值(或利潤)受外部市場(chǎng)環(huán)境及其經(jīng)營狀況的影響.假設(shè)項(xiàng)目產(chǎn)生連續(xù)時(shí)間利潤流(t)，服從帶Poisson跳躍的混合布朗運(yùn)動(dòng)

dπ=απdt+σπdz+φπdq

(1)

其中α和σ分別為漂移參數(shù)和瞬時(shí)波動(dòng)率參數(shù).

在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，α=r-δ，r>0是無風(fēng)險(xiǎn)利率，δ>0是資產(chǎn)收益率，從而α為風(fēng)險(xiǎn)中性下的漂移，dz是標(biāo)準(zhǔn)維納過程的增量.dq為突發(fā)事件變化過程服從平均到達(dá)(發(fā)生)率為的Poisson過程的增量，并且dz和dq相互獨(dú)立，即E(dzdq)=0.因此，dq=0的概率為1-λdt，而dq=1的概率為λdt，換句話說，在充分短的時(shí)間區(qū)間dt內(nèi)，項(xiàng)目價(jià)值π發(fā)生跳躍的概率是λdt.φ 表示跳躍的幅度，滿足-1≤ φ≤0，其中負(fù)號(hào)表示向下跳躍，模型(1)也稱為跳躍-擴(kuò)散過程.最后，假定EN和VC認(rèn)為項(xiàng)目價(jià)值(t)服從相同的隨機(jī)過程，即EN和VC對(duì)項(xiàng)目的價(jià)值具有同質(zhì)信念.

如式(1)所示，在企業(yè)利潤流的動(dòng)態(tài)過程中加入的一個(gè)跳躍成分，用來描述突發(fā)事件對(duì)企業(yè)利潤流的影響.這種企業(yè)盈利的一般設(shè)置使得能夠在更符合實(shí)際經(jīng)濟(jì)環(huán)境的情景下研究創(chuàng)業(yè)企業(yè)的融資決策，得到比Tavares-G?rtner等(2018)[7]報(bào)告的更為穩(wěn)健的結(jié)果.

2.2 企業(yè)家持有CPM的期權(quán)價(jià)值

根據(jù)Dixit和Pindyck(1994)[14]的或有權(quán)益分析方法，EN持有的投資于創(chuàng)業(yè)企業(yè)成長機(jī)會(huì)的期權(quán)價(jià)值EN()滿足式(2)所示的常微分方程.

(2)

上式左邊最后一項(xiàng)為創(chuàng)業(yè)企業(yè)的當(dāng)前利潤流，而其余的項(xiàng)表示創(chuàng)業(yè)企業(yè)持有的增長期權(quán).假設(shè)EN(0)=0，則方程(2)的解的一般形式為

(3)

其中A是待定常數(shù)，是式(4)所示非線性方程的根.

(4)

(5)

(6)

條件(5)表示EN決定投資成長機(jī)會(huì)時(shí)獲得的收益.條件(6)保證了EN()在>0連續(xù)可微.

2.3 風(fēng)險(xiǎn)投資家持有CPM的期權(quán)價(jià)值

(7)

考慮到VC(0)=0，方程(7)的解的一般形式為

試驗(yàn)組45（100.00）的滿意度對(duì)比對(duì)照組滿意程度35（77.78）更高，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＜0.05）。

VC(π)=Bπβ，

(8)

其中B為待定常數(shù)，為非線性方程(4)的正根.相應(yīng)的邊界條件為

(9)

(10)

3 突發(fā)事件影響下四種CPM類型的創(chuàng)業(yè)企業(yè)最優(yōu)融資策略

本節(jié)討論求解使得EN和VC愿意共同支持創(chuàng)業(yè)企業(yè)成長機(jī)會(huì)的利潤觸發(fā)點(diǎn)和最優(yōu)或有支付.研究發(fā)現(xiàn)，EN和VC持有的投資期權(quán)的價(jià)值和利潤觸發(fā)值均與刻畫突發(fā)事件的兩個(gè)參數(shù)和有關(guān).

類似于Tavares-G?rtner等(2018)[7]的方法，將CPM視為二元式看漲期權(quán)，而不是股票的普通看漲期權(quán)，因?yàn)樗鼈兊幕貓?bào)實(shí)際上是不連續(xù)的，即要么是固定金額，要么是線性依賴于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值的可變金額.因此可以把固定數(shù)額的CPM定義為現(xiàn)金或空手看漲二元式期權(quán)，如果創(chuàng)業(yè)企業(yè)達(dá)到或超過給定的績效基準(zhǔn)，EN應(yīng)當(dāng)獲得固定數(shù)額的現(xiàn)金.

當(dāng)CPM是按確定的期限到期時(shí)，或有支付可以被建模為傳統(tǒng)的二元式期權(quán)[15].對(duì)于按期到期的或有支付，假設(shè)該期限是由雙方共同決定的，并由t >0給出.

當(dāng)或有支付是當(dāng)企業(yè)業(yè)績達(dá)到基準(zhǔn)業(yè)績時(shí)到期，或有支付應(yīng)當(dāng)被建模為二元式障礙期權(quán)[16].

3.1 基于確定期限支付固定數(shù)額CPM的融資策略

根據(jù)上述分析，支付日期為確定期限的固定數(shù)額或有支付(記為CPMFT)可以被建模為現(xiàn)金或空手看漲期權(quán)，其價(jià)值如式(11)所示.

CPMFT=θFTe-rtN(d2FT)，

(11)

其中

(12)

其中

(13)

類似地，通過聯(lián)立求解方程(9)、(10)和(11)可以推導(dǎo)出在CPMFT下，VC持有的投資于成長機(jī)會(huì)的期權(quán)價(jià)值和利潤觸發(fā)點(diǎn)為

其中

(14)

(15)

(16)

不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)λ=0或φ=0，即不考慮突發(fā)事件對(duì)項(xiàng)目價(jià)值的影響時(shí)，式(15)與式(16)相同.

3.2 基于確定期限支付可變數(shù)額CPM的融資策略

這種類型的CPM可以被視為資產(chǎn)或空手看漲期權(quán)，如式(17)所示.

CPMVT=mVTπ(eEXP-1)e-δtN(d1VT)，

(17)

其中

通過聯(lián)立求解方程(5)、(6)、(17)可以獲得EN投資于成長機(jī)會(huì)的期權(quán)價(jià)值，而通過聯(lián)立求解方程(9)、(10)、(17)則可以獲得VC投資于成長機(jī)會(huì)的期權(quán)價(jià)值，以及雙方各自的最優(yōu)利潤觸發(fā)值，如下式所示.

其中

(18)

并且

其中

(19)

(20)

3.3 基于目標(biāo)實(shí)現(xiàn)時(shí)刻支付固定數(shù)額CPM的融資策略

根據(jù)Rubinstein和Reiner(1991)[17]，假定觸發(fā)或有支付的業(yè)績基準(zhǔn)大于或等于其當(dāng)前水平，到期日為目標(biāo)實(shí)現(xiàn)時(shí)刻且支付固定數(shù)額的或有支付(記為CPMFH)可以被看作向上敲入現(xiàn)金或空手看漲二元式障礙期權(quán)，其價(jià)值如式(21)所示.

(21)

其中

(22)

(23)

(24)

其中

(25)

以及

其中

(26)

(27)

3.4 基于目標(biāo)實(shí)現(xiàn)時(shí)刻支付可變數(shù)額CPM的融資策略

對(duì)于在達(dá)到業(yè)績基準(zhǔn)時(shí)(at hit)到期并支付變動(dòng)數(shù)額的或有支付機(jī)制(記為CPMVH)，假設(shè)業(yè)績基準(zhǔn)大于或等于其當(dāng)前水平，可以將這種類型的CPM視為向上敲入資產(chǎn)或空手看漲二元式障礙期權(quán).采用類似于Tavares-Grtner等(2018)[7]的方法，得到其價(jià)值如式(28)所示.

(28)

其中a，b和z分別由式(22)、式(23)和式(24)定義.進(jìn)一步，由式(5)、式(6)、式(28)和式(9)、式(10)、式(28)可求得EN和VC投資成長機(jī)會(huì)的期權(quán)價(jià)值和他們的最優(yōu)投資利潤觸發(fā)值分別為

其中

(29)

以及

其中

(30)

(31)

3.5 CPM與最優(yōu)投資時(shí)機(jī)

(32)

(33)

(34)

(35)

從中不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)每一種CPM類型，由于EN和VC的最優(yōu)投資時(shí)機(jī)具有關(guān)于刻畫突發(fā)事件的兩個(gè)參數(shù)和的相同的表達(dá)式，因此，在考慮突發(fā)事件的影響時(shí)，雙方共同投資的最優(yōu)時(shí)機(jī)仍與CPM的類型無關(guān).

下面考慮雙方共同投資時(shí)或有支付的價(jià)值，用CPMF表示固定數(shù)額或有支付，通過聯(lián)立求解式(3)、式(5)和式(6)，可以獲得EN投資于企業(yè)成長機(jī)會(huì)的利潤觸發(fā)值為

同樣，通過聯(lián)立求解式(8)、式(9)和式(10)，得到VC投資企業(yè)成長機(jī)會(huì)的利潤觸發(fā)值為

(36)

(37)

總的來說，或有支付對(duì)于EN表示其持有的關(guān)于投資成長機(jī)會(huì)的期權(quán)的資產(chǎn)，對(duì)于VC則表示其持有的關(guān)于投資成長機(jī)會(huì)的期權(quán)的同等負(fù)債，當(dāng)控制影響可變或有支付的隨機(jī)參數(shù)時(shí)，最優(yōu)投資時(shí)機(jī)不受或有支付機(jī)制設(shè)計(jì)的影響.但是，在考慮突發(fā)事件的情況下，不同類型的最優(yōu)或有支付均受Poisson跳躍過程的參數(shù)的影響.

接下來，將通過數(shù)值分析來說明本節(jié)獲得的解析結(jié)果背后的經(jīng)濟(jì)意義，并討論突發(fā)事件的兩個(gè)參數(shù)對(duì)最優(yōu)投資時(shí)機(jī)的影響.

4 數(shù)值模擬及敏感性分析

本節(jié)通過一個(gè)數(shù)值例子來說明突發(fā)事件影響下基于或有支付的融資決策的相關(guān)結(jié)論.利用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，給出最優(yōu)或有支付和最優(yōu)投資時(shí)機(jī).分別研究當(dāng)前利潤流、利潤流波動(dòng)率、業(yè)績基準(zhǔn)對(duì)投資機(jī)會(huì)價(jià)值的影響，以及突發(fā)事件的跳躍幅度(或影響規(guī)模)和平均發(fā)生率對(duì)最優(yōu)投資時(shí)機(jī)的影響.

4.1 參數(shù)設(shè)置

借鑒相關(guān)文獻(xiàn)設(shè)定影響創(chuàng)業(yè)企業(yè)投資期權(quán)價(jià)值及其標(biāo)的利潤觸發(fā)點(diǎn)的參數(shù)[7,9,14]，相關(guān)參數(shù)的具體取值見表1.根據(jù)式(4)可求得的數(shù)值解，同時(shí)，經(jīng)計(jì)算可得QEN=65.4%以及QVC=34.6%.

表1 參數(shù)設(shè)置

4.2 結(jié)果分析

表2給出了在考慮突發(fā)事件的影響下，當(dāng)創(chuàng)業(yè)企業(yè)的利潤流服從式(1)的跳躍-擴(kuò)散過程時(shí)，根據(jù)第3節(jié)中的理論結(jié)果計(jì)算得到的相應(yīng)最優(yōu)固定數(shù)額或有支付*、最優(yōu)可變數(shù)額或有支付m*以及最優(yōu)利潤觸發(fā)點(diǎn)π*.

表2 最優(yōu)CPM

表2的數(shù)值結(jié)果顯示，當(dāng)企業(yè)利潤流服從跳躍-擴(kuò)散過程，且雙方同意業(yè)績基準(zhǔn)在短期內(nèi)可達(dá)到時(shí)，確定期限支付的CPM比業(yè)績基準(zhǔn)實(shí)現(xiàn)時(shí)刻支付的CPM產(chǎn)生更高的支付數(shù)額或支付倍數(shù).最后一列數(shù)據(jù)顯示，最優(yōu)決策時(shí)投資時(shí)機(jī)與或有支付機(jī)制的類型無關(guān)，這驗(yàn)證了3.5節(jié)的結(jié)論.

不同的或有支付機(jī)制價(jià)值不同，其潛在的投資機(jī)會(huì)價(jià)值也不同，表2的結(jié)果也驗(yàn)證了這一點(diǎn).對(duì)于固定數(shù)額CPM，支付日期分別為固定期限和業(yè)績目標(biāo)實(shí)現(xiàn)時(shí)刻，會(huì)支付不同的數(shù)額.對(duì)于可變數(shù)額CPM，在確定期限和業(yè)績目標(biāo)實(shí)現(xiàn)時(shí)刻支付的CPM，其支付倍數(shù)也是不同的.下面從EN的角度分析主要參數(shù)對(duì)投資機(jī)會(huì)價(jià)值和最優(yōu)投資時(shí)機(jī)的影響.

4.2.1 當(dāng)前利潤流和投資機(jī)會(huì)價(jià)值

假設(shè)m=4.0，=150，圖1說明了EN在π<π*范圍內(nèi)所擁有的投資機(jī)會(huì)的價(jià)值的直觀含義.其中，虛線表示在固定期限支付的或有支付機(jī)制，而實(shí)線則表示在目標(biāo)實(shí)現(xiàn)時(shí)刻支付的或有支付機(jī)制.

圖1 企業(yè)利潤流與EN持有的投資機(jī)會(huì)的價(jià)值

可變金額CPM比固定金額CPM更有價(jià)值，因?yàn)榭勺償?shù)額CPM可能產(chǎn)生正的支付或更低的盈利水平，并且當(dāng)盈利能力超過其基本閾值時(shí)，可能產(chǎn)生比固定金額CPM更高的收益.

4.2.2 利潤流波動(dòng)率和投資機(jī)會(huì)價(jià)值

本節(jié)討論利潤流波動(dòng)率如何影響每一種或有支付機(jī)制下投資成長機(jī)會(huì)的期權(quán)的價(jià)值.假設(shè)m=4.0，=150，0=20.

圖2表明，利潤流的變化遵循跳躍擴(kuò)散模型的情況下，波動(dòng)性增加會(huì)給投資機(jī)會(huì)帶來額外的價(jià)值，并且可變或有支付對(duì)利潤流波動(dòng)率的變化更敏感.對(duì)于可變數(shù)額或有支付，波動(dòng)率越高投資機(jī)會(huì)價(jià)值越大，表明波動(dòng)率較高的企業(yè)更應(yīng)該選擇可變或有支付，而對(duì)于固定數(shù)額或有支付，較高水平的波動(dòng)性下的投資機(jī)會(huì)價(jià)值趨于穩(wěn)定.

圖2 利潤流波動(dòng)率與EN持有的投資機(jī)會(huì)的價(jià)值

4.2.3 業(yè)績基準(zhǔn)和投資機(jī)會(huì)價(jià)值

由于業(yè)績基準(zhǔn)影響獲得或有支付的可能性，因此預(yù)期二者之間會(huì)出現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系.假設(shè)m=4.0，=150，0=20.對(duì)一系列高于預(yù)期利潤增長的業(yè)績基準(zhǔn)(即eBEN>eEXP)，圖3顯示了EN持有的投資于成長機(jī)會(huì)的期權(quán)價(jià)值之間的關(guān)系.

圖3 業(yè)績基準(zhǔn)與EN持有的投資機(jī)會(huì)的價(jià)值

雙方約定的基準(zhǔn)越高，EN實(shí)際獲得或有支付的可能性就越低，亦即其投資機(jī)會(huì)的價(jià)值越低.

4.2.4 利潤流跳躍幅度和最優(yōu)投資時(shí)機(jī)

針對(duì)四種類型的CPM，考察Poisson跳躍過程的跳躍幅度參數(shù)對(duì) EN投資的最優(yōu)利潤觸發(fā)點(diǎn)(最優(yōu)投資時(shí)機(jī))的影響.假設(shè)m=4.0，=150，0=20.圖4顯示了EN投資的利潤觸發(fā)點(diǎn)與跳躍幅度的關(guān)系.跳躍幅度越大，利潤觸發(fā)點(diǎn)越小(負(fù)號(hào)表示利潤流跳躍方向，即向下).較大意味著投資機(jī)會(huì)的價(jià)值較小(利潤流將會(huì)下降較大的比例)，立即投資的機(jī)會(huì)成本較小，因此，跳躍幅度越大，EN更傾向立即投資而不是等待.

圖4 跳躍幅度與投資時(shí)機(jī)

4.2.5 事件平均發(fā)生率和最優(yōu)投資時(shí)機(jī)

圖5 事件發(fā)生率與投資時(shí)機(jī)

5 結(jié) 論

引入Poisson跳躍過程描述突發(fā)事件的發(fā)生導(dǎo)致企業(yè)的利潤流出現(xiàn)的離散跳躍，應(yīng)用實(shí)物期權(quán)方法通過數(shù)理推導(dǎo)給出了四種不同類型或有支付下的最優(yōu)或有支付數(shù)額表達(dá)式與最優(yōu)投資時(shí)機(jī).

研究發(fā)現(xiàn)，考慮突發(fā)事件的影響時(shí)，雙方同時(shí)投資的最優(yōu)時(shí)機(jī)與或有支付機(jī)制的類型選擇無關(guān).數(shù)值分析結(jié)果表明，在業(yè)績基準(zhǔn)實(shí)現(xiàn)時(shí)刻支付的或有支付比在確定期限支付的或有支付具有更高的價(jià)值，可變數(shù)額或有支付比固定數(shù)額或有支付具有更高的投資機(jī)會(huì)價(jià)值.波動(dòng)率越高投資機(jī)會(huì)價(jià)值越大，對(duì)于固定數(shù)額或有支付，較高水平的波動(dòng)性下投資機(jī)會(huì)價(jià)值趨于穩(wěn)定.突發(fā)事件的平均發(fā)生率越大，雙方共同投資的時(shí)機(jī)越早.利潤流跳躍幅度越大，共同投資的時(shí)機(jī)也越早.

研究結(jié)果可以幫助提高創(chuàng)業(yè)企業(yè)家和風(fēng)險(xiǎn)投資家之間達(dá)成協(xié)議的可能性，促進(jìn)創(chuàng)業(yè)企業(yè)順利融資.但是對(duì)現(xiàn)實(shí)情況的考慮還可以更加深入一些.創(chuàng)業(yè)企業(yè)家和風(fēng)險(xiǎn)投資家對(duì)創(chuàng)業(yè)企業(yè)的利潤增長有不同預(yù)期，突發(fā)事件對(duì)利潤流的影響為隨機(jī)影響等，可以進(jìn)一步展開系統(tǒng)深入的研究.