肖鴻民，康宏亮

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

1 引 言

Bollersler等(2006)[1]利用5分鐘股票樣本找到了波動(dòng)率與股票對(duì)數(shù)價(jià)格的負(fù)相關(guān)關(guān)系.Jacod和Tadoror(2010)[2]在有限的增量前提下,利用瞬時(shí)波動(dòng)率估計(jì)作為中間變量,對(duì)杠桿效應(yīng)進(jìn)行了研究.Wang和Mykland(2014)[3]在連續(xù)時(shí)間條件下定義了杠桿效應(yīng)并對(duì)之進(jìn)行了非參數(shù)估計(jì),然而只是在連續(xù)時(shí)間下進(jìn)行討論,并未對(duì)非連續(xù)時(shí)間情況進(jìn)行說明.Vetter(2015)[4]基于瞬時(shí)波動(dòng)率估計(jì)量的增量,對(duì)積分波動(dòng)率的波動(dòng)進(jìn)行了非參數(shù)估計(jì).Xiu和 Kalnina(2015)[5]采用相似的方法,用自己定義的函數(shù)來代替波動(dòng)率過程,然而,這種方法的最大問題在于所選函數(shù)不能有效模擬波動(dòng)過程,尤其是在市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)噪聲的影響下.Eraker(2003)[6]對(duì)非連續(xù)時(shí)間下的杠桿效應(yīng)進(jìn)行了討論.但這種方法對(duì)于跳躍過程的假設(shè)有時(shí)并不恰當(dāng)。Bandi 與 Reno′(2012)[7]在文中提及了“co-jump leverage”,但并未對(duì)“co-jump leverage”的估計(jì)進(jìn)行證明.

目前對(duì)杠桿效應(yīng)的檢測(cè)性研究相對(duì)成熟,對(duì)杠桿效應(yīng)的度量方面的研究正處于探索階段,如何估計(jì)杠桿效應(yīng)已成為很有意義的研究課題.運(yùn)用估計(jì)方法來量化一般連續(xù)時(shí)間情況下的杠桿效應(yīng)(CLE),結(jié)合概率極限、隨機(jī)過程理論、臨近窗口和向下截?cái)嗨枷霕?gòu)造了連續(xù)部分杠桿效應(yīng)(CLE)估計(jì)量,說明了該估計(jì)量的相合性和漸近正態(tài)性,并給出了證明.

2 跳-擴(kuò)散模型的建立和杠桿效應(yīng)的定義

2.1 跳-擴(kuò)散模型的建立

定義在概率空間(Ω,F,(Ft)t≥0,P)上的對(duì)數(shù)資產(chǎn)價(jià)格過程(Xt)t≥0和波動(dòng)率過程(σt)t≥0滿足如下的It半鞅過程

(1)

(2)

(c)所有的樣本路徑

2.2 杠桿效應(yīng)的定義

(3)

(4)

(5)

3 CLE估計(jì)量的構(gòu)造

假定數(shù)據(jù)是等間隔Δn=T/n觀測(cè)的,且沒有測(cè)量誤差的存在,包含所有觀測(cè)時(shí)間點(diǎn)的所有分割如下

(6)

尋找一列窗口kn,kn為整數(shù).對(duì)正常數(shù)K,滿足

(7)

令

4 CLE估計(jì)量的相合性

定理1假定

(a)X是連續(xù)的并且σ2的跳躍部分有有限的總變差，

(b)式(1)、式(2)和式(7)的假設(shè)成立.

當(dāng)(a)，(b)成立時(shí),則有

5 CLE估計(jì)量的漸近正態(tài)性

(a)X是連續(xù)的并且σ2的跳躍部分有有限的總變差,

(b)式(1)和式(2)的假設(shè)成立.

當(dāng)(a),(b)成立時(shí),有

其中B是標(biāo)準(zhǔn)wiener過程且與F獨(dú)立,且

6 定理的證明

將波動(dòng)率過程表述為

(9)

定理2的證明如下.

首先,證明截?cái)嗾`差和離散誤差依概率收斂到零, 而波動(dòng)率誤差依概率收斂到極限過程.

因?yàn)?/p>

不難證明

考慮函數(shù)F(xi,xj)=xi(xj)2和如下的向量：

當(dāng)r<1,m=s=1,s′=p′=2,對(duì)l=1,2,

第三步證明

由Cauchy-Schwardz 不等式

第四步定義

根據(jù)連續(xù)性條件, 得

并且

上式右邊第一項(xiàng)為Op(knΔn).對(duì)于第二項(xiàng), 當(dāng)j>r時(shí), 根據(jù)連續(xù)性條件, 可得

接下來證明

進(jìn)一步, 令

易證得

因此, 根據(jù)連續(xù)性條件得

四階矩的計(jì)算比較繁瑣, 只給出部分結(jié)果，并省略這些結(jié)果的計(jì)算過程.

=KtΔn→0,

當(dāng)M=W或M=B時(shí), 根據(jù)連續(xù)性條件, 可得

因此, 結(jié)論已成立.

基于這些結(jié)果,可得

定理 1 的證明

7 結(jié) 論