趙凱麗，范賢，徐小明，朱冬冬

(1.合肥工業(yè)大學 汽車與交通工程學院，安徽 合肥 230009;2.合肥市軌道交通集團有限公司運營分公司，安徽 合肥 230001)

近年來，城市軌道交通以其準時高效、綠色環(huán)保等優(yōu)點受到居民青睞，逐漸成為城市公共交通的重要組成部分。相比于其他公共交通系統(tǒng)，軌道交通系統(tǒng)的單位運量所需能耗低，但是整個軌道交通系統(tǒng)的運營能耗絕對值高。軌道交通的運營能耗主要分為列車運行能耗和車站運營能耗。車站運營能耗主要是車站設(shè)備的能耗，通常為既定的能耗。而列車運行能耗的影響因素較多,據(jù)測算，占據(jù)城市軌道交通系統(tǒng)總能耗的一半左右[1]，降低列車運行能耗對減少軌道交通系統(tǒng)運營能耗具有重要意義。

如何有效降低列車運行能耗是一個較為復雜的優(yōu)化問題，相關(guān)研究大體上可劃分為時刻表優(yōu)化和列車速度曲線優(yōu)化。時刻表優(yōu)化主要是通過調(diào)整列車發(fā)車間隔、停留時間、運行時間等參數(shù)降低列車運行能耗。Chen等[2]通過調(diào)整列車的停留時間，降低牽引高峰功率值，避免多列車同時牽引的情況，使牽引負荷曲線更平滑。Xu等[3]、Gao等[4]提出一種雙目標時刻表優(yōu)化模型，降低單條線路上的列車運行能耗并減少乘客出行時間。速度曲線優(yōu)化是通過優(yōu)化列車的行駛策略，得出列車運行的最優(yōu)速度曲線。Ichikawa[5]最早利用龐特里亞金原理對列車在區(qū)間運行時的節(jié)能速度曲線進行了研究。Asnis等[6]通過極大值原理證明了列車在區(qū)間運行時的最優(yōu)速度曲線，包括最大加速、巡航、惰行和最大制動4個階段。Howlett[7]從不同角度對列車節(jié)能運行進行了大量研究，提出求解各階段轉(zhuǎn)換點的非線性優(yōu)化方法，為后續(xù)的列車速度曲線優(yōu)化奠定了基礎(chǔ)。馬超云等[8]通過在給定運行時間的前提下，選擇合適的惰行點，實現(xiàn)列車的節(jié)能運行。Lu等[9]考慮在滿足牽引速度特性、限速等約束下，找出速度轉(zhuǎn)換點，得出節(jié)能速度曲線。

部分研究人員考慮再生制動，這是一種能量回收機制，將列車制動時的動能轉(zhuǎn)化為電能，并加以回收利用?；谠偕苿樱琘ang等[10]通過決策列車的停留時間，提高同一供電區(qū)間內(nèi)再生能量的利用率，降低列車牽引能耗。Zhao等[11]以列車的停留時間和車頭時距為決策變量，協(xié)同相鄰列車的牽引、制動時間，最大化再生能量的利用。

在換乘的過程中，乘客需消耗額外的出行時間即換乘時間，換乘時間的長短是衡量軌道交通服務水平的一個重要指標。錢堃等[12]提出城市軌道交通換乘是指在不離開車站付費區(qū)及不另行購票的情況下，乘客在不同線路間改變乘坐列車車次的行為。Wong等[13]通過調(diào)整列車的到站時間、離站時間、運行時間以及停留時間優(yōu)化列車時刻表，最小化乘客的換乘等待時間。Wu等[14]基于均衡性的考慮，調(diào)整列車在首站的發(fā)車時間、運行時間、停留時間以及車頭時距，最小化線網(wǎng)中最大的換乘等待時間。Guo等[15]考慮高峰時段和非高峰時段的過渡期內(nèi)乘客的換乘效率，通過調(diào)整列車的到站時間、離站時間、區(qū)間運行時間、停留時間和車頭時距，協(xié)同列車在換乘站的到、發(fā)時間，減少乘客的換乘時間。

以上研究通過不同角度和方法對列車運行能耗和乘客換乘時間進行了優(yōu)化，但忽略了二者的相互影響?？紤]到列車時刻表可以直接影響列車運行能耗與乘客換乘時間，本文提出列車運行能耗和乘客換乘時間協(xié)同優(yōu)化模型，通過決策列車的在站停留時間，協(xié)調(diào)同一供電區(qū)間內(nèi)所有列車之間再生能量的匹配，提高再生能量的利用率，降低軌道交通系統(tǒng)總能耗。同時，通過對停留時間的調(diào)整，改變列車在換乘站的到、發(fā)時刻，提高換乘線路之間的銜接效率，從而減少乘客的換乘時間。如何平衡城市軌道交通系統(tǒng)運營成本與服務水平，是軌道交通運營公司面臨的重要課題。本文通過對列車時刻的優(yōu)化達到節(jié)能高效地運營列車的目的，可為軌道交通運營公司列車時刻表的編制提供參考。

1 問題描述

地鐵的制動系統(tǒng)包括電制動和機械制動，電制動是列車通常采取的一種制動方式，分為電阻制動和再生制動。電阻制動是指列車的牽引電機處在發(fā)電工況時，將列車制動時的動能轉(zhuǎn)化為電能，再通過電阻將其以熱能的形式消耗。該制動方式會導致隧道溫度上升，增加空調(diào)及通風系統(tǒng)的用電量，造成資源浪費。不同于電阻制動，再生制動是將列車制動時轉(zhuǎn)化的電能反饋到接觸網(wǎng)中回收再利用，可有效節(jié)約電能。城市軌道交通一般站間距短，列車加速、制動操作頻繁，故再生制動是比較理想的制動方式。本文基于再生制動增加同一供電區(qū)間加速、制動列車的重疊時間，使再生能量能夠及時被同一供電區(qū)間內(nèi)的正在加速的列車使用，從而減少牽引列車從變電所消耗電能。

隨著城市軌道交通的大規(guī)模建設(shè)和人們的出行需求不斷增加，網(wǎng)絡化運營成為城市軌道交通發(fā)展的必然趨勢。人們?yōu)榱送瓿梢淮纬鲂?，通常需要綜合使用多條線路，形成了軌道交通換乘。換乘時間主要包括乘客通過換乘通道的走行時間和換乘等待時間，而走行時間往往取決于乘客自身和換乘站的布局形式，在優(yōu)化上具有一定的局限性，故換乘時間的優(yōu)化主要是減少換乘等待時間。本文通過優(yōu)化列車時刻表協(xié)調(diào)列車在換乘站的到、發(fā)時刻，提高各線路在換乘站的銜接效率，實現(xiàn)乘客換乘時間最小化。

由于軌道交通線路通常被分為多個供電區(qū)間，在本研究中，所有單向列車均由該區(qū)間所在的變電站供電，在同一方向上，線路上所有列車在每一個供電區(qū)間的運行模式相同。

2 優(yōu)化模型

為建模和求解方便，本文做出如下假設(shè)：

(1)乘客在每個車站的到達率和換乘到其他線路的換乘率是已知的；

(2)列車的容量足夠大，當列車到達換乘站時，可以容納站臺上所有需要換乘的乘客，不存在乘客等待下一趟列車的情況；

(3)同一列車在不同循環(huán)中的停站時間和區(qū)間行駛策略相同，為了計算方便，我們假設(shè)同一列車在不同循環(huán)中的同一車站和同一區(qū)間的停站時間和駕駛策略相同且固定；

(4)反饋到電網(wǎng)中的再生能量能夠立即被同一供電區(qū)的加速列車所使用，若反饋的再生能量沒能被及時吸收，則被接觸網(wǎng)中的電阻所消耗。

線路r示意圖見圖1。

圖1 線路r示意圖Fig.1 Schematic of line r

2.1 參數(shù)

表1列出了本文所用的輸入?yún)?shù)。

表1 輸入?yún)?shù)Table 1 Input parameters

續(xù)表1

2.2 變量

(1)

(2)

(3)

2.3 目標函數(shù)

2.3.1 列車運行能耗

(4)

式中,(c-1)·Tr為列車i執(zhí)行c循環(huán)之前的(c-1)個循環(huán)所需的運行時間,(i-1)·hr為列車i與第一列列車之間的車頭時距。

記N=|Sr|/2，則第i列車離開r下行線路車站n(n∈{sr2,sr3,…,sr(N-1)})的時刻為：

(5)

同理，第i列車在其第c個循環(huán)中離開r上行線路首站n(n=sr(N+1))的時刻為：

(6)

第i列車在其第c個循環(huán)中離開r上行線路車站n(n∈{sr(N+2),sr(N+3),...,sr2(N-1)})的時刻為：

(7)

根據(jù)(n,n+1)區(qū)間的實際速度曲線，第i列車在其第c個循環(huán)中，列車在該區(qū)間內(nèi)t時刻的速度為：

(8)

(9)

若列車在區(qū)間運行時行駛策略不變，則區(qū)間運行能耗是一個常數(shù)。第i列車在其第c個循環(huán)的區(qū)間(n,n+1)運行時所需能耗為：

(10)

整個系統(tǒng)所需電能總量為:

(11)

(12)

如前所述，供電區(qū)間內(nèi)制動列車產(chǎn)生的再生能量可被同一供電區(qū)間的牽引列車使用。因此，任意[t,t+1]時間段內(nèi)供電區(qū)間u∈U內(nèi)再生能量利用量為：

(13)

記解為x時，整個系統(tǒng)運營期間內(nèi)的再生能量總利用量為：

E′(x)=∑u∈U∑1≤t≤TE′(u,x,t) ，

(14)

則系統(tǒng)所需的總運行能耗為E(x)=E-E′(x)。

2.3.2 換乘等待時間

本文基于先到先服務(first in first out,FIFO)規(guī)則[16]，分析乘客換乘情況。由假設(shè)(1)得，當列車到達換乘車站時，車上需要下車換乘至其他線路的乘客數(shù)量是已知的。由假設(shè)(2)得，不存在乘客需要等待下一趟列車的情況。

由于一條線路包括下行和上行方向，故2條可換乘線路之間存在8種換乘場景。當乘客從線路r換乘到r′時，將會有4種場景，分別是乘客從r下行線路上的列車換乘到r′下行線路上的列車和r′上行線路上的列車，以及從r上行線路上的列車換乘到r′下行線路上的列車和r′上行線路上的列車。

(15)

(16)

當乘客從r下行線路上列車i的第c個循環(huán)換乘到r′下行線路上列車i′的第c′個循環(huán)時，換乘時間為圖2中A1，A2，A3的總面積，記乘客從r下行線路上列車i的第c個循環(huán)換乘到r′下行線路上列車i′的第c′個循環(huán)的換乘時間為S1：

圖2 換乘站內(nèi)換乘乘客隨時間變化的示意圖Fig.2 Change in transfer of passengers over time at the transfer station

(17)

式中,t1和t2分別為r下行線路上列車i在其第c個循環(huán)到達和離開換乘站的時刻,t3和t4分別為r′下行線路上列車i′在其第c′個循環(huán)到達和離開換乘站的時刻。

類似地，可計算出乘客從r下行線路列車i的第c個循環(huán)換乘到r′上行線路列車i′的第c′個循環(huán)的換乘時間S2，以及從r上行線路列車i的第c個循環(huán)換乘到r′下行線路列車i′的第c′個循環(huán)的換乘時間S3和換乘到r′上行線路列車i′的第c′個循環(huán)的換乘時間S4。

(18)

則系統(tǒng)總換乘時間為:

W(x)=∑r∈R∑r′∈R,r≠r′Wrr′(x) 。

(19)

2.4 優(yōu)化模型

由于運行能耗和換乘時間的單位和量綱具有差異性，此處對每一個目標函數(shù)進行歸一化處理如下：

(20)

本文采用線性加權(quán)和法將雙目標優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為單目標優(yōu)化模型，模型如下：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

3 求解算法

遺傳算法是基于自然界進化規(guī)律演化而來的隨機搜索方法，可有效地解決最優(yōu)化問題，廣泛應用于交通運輸領(lǐng)域[3，10]。本文采用遺傳算法，對上述列車運行能耗和乘客換乘時間協(xié)同優(yōu)化模型進行求解。

3.1 初始化種群

為了提高算法的執(zhí)行效率，本文在算法設(shè)計上采用實數(shù)編碼方式，染色體上的基因由各條線路及線路上各站的停留時間組成，如圖3所示，l為線路集合R中的線路數(shù)量。在當前時刻表的在站停留時間基礎(chǔ)上調(diào)整變化范圍，生成初始解。為保證總停留時間不變，在生成初始解時，一條染色體上的其他基因在其范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生，最后一個基因大小為總基因之和與其他站點的基因和之差。這種初始解的生成方式，可能導致列車在最后一個車站的停留時間超出允許的范圍，此時的解是不可行解。我們在生成初始種群時直接將不可行的解舍棄，保證初始種群中的染色體都是可行解。

圖3 染色體示意圖Fig.3 Diagram of the chromosome

3.2 選擇

選擇操作是一種優(yōu)勝劣汰的過程。應用評估函數(shù)(21)計算上一代種群中每個染色體的適應度，并采用輪盤賭方法選擇適應度高的染色體。

3.3 交叉

交叉操作是進行染色體之間的信息交換、更新解的過程。由于采用的是實數(shù)編碼，對于上一步選出的新種群，采用順序交叉法，將相鄰染色體進行兩兩交叉。產(chǎn)生隨機數(shù)r，交叉概率為Pc，當r≤Pc時，將相鄰染色體之間進行線性組合交叉操作，交換信息，得到新的子代染色體。值得注意的是，如果父代的染色體是可行解，那么采用這種交叉方式得到的新的染色體必定是可行的解。

3.4 變異

對于交叉后產(chǎn)生的新種群，通過變異操作進一步更新解。產(chǎn)生隨機數(shù)r，變異概率為Pm，當r≤Pm時，該條染色體進行變異操作，為了保證列車在車站的總的停留時間不變，隨機選取3組，每組2個，共6個變異基因點進行變異操作。每一組基因中的一個基因在其停留時間上下限范圍內(nèi)進行變異，而另一個基因用于調(diào)整，以保證總停留時間不變，由此產(chǎn)生新的個體。但這種變異方式可能造成用于調(diào)整的基因超出停留時間允許的范圍，此時，我們重新選擇變異的基因點進行變異操作，直到變異后的染色體對應于一個可行解。

4 算例

本節(jié)以北京地鐵亦莊線和5號線為例展開算例研究。亦莊線有14個車站，6個變電站，如圖4所示；5號線有23個車站，12個變電站，如圖5所示。宋家莊站為兩條線路之間唯一的換乘站。

圖4 北京地鐵亦莊線示意圖Fig.4 Map of the Yizhuang Line of Beijing metro

圖5 北京地鐵5號線示意圖Fig.5 Map of Beijing metro Line 5

給定列車時刻表規(guī)劃時間段長度T=3c,c=4572，種群大小為200，最大迭代次數(shù)為100代，列車的在站停留時間變化區(qū)間為[-10,10]，其他參數(shù)見表2。

表2 參數(shù)設(shè)置Table 2 Parameters used in case studies

當前亦莊線運營數(shù)據(jù)見表3，且基于本文模型計算得出系統(tǒng)總能耗為28 682.46 kW·h，總乘客換乘時間為9 083.37 h。在算例中，當權(quán)重設(shè)置為σ1=0.5,σ2=0.5時，得出優(yōu)化后的時刻表，如表4所示。為了更直觀地反映模型的有效性，本文分別列出了3組不同權(quán)重組合的優(yōu)化結(jié)果，并與當前時刻表對應的結(jié)果相比較，如表5所示。當σ1=0.5,σ2=0.5時優(yōu)化后的系統(tǒng)總能耗為27 204.10 kW·h，總換乘時間為7 479.45 h，較優(yōu)化前，系統(tǒng)總能耗降低了5.15%，總換乘時間降低了17.66%。當σ1=1,σ2=0時，優(yōu)化的系統(tǒng)總能耗為26 901.19 kW·h，總乘客換乘時間為9 169.73 h，較優(yōu)化前，總能耗降低了6.21%，而此時總換乘時間較優(yōu)化前增加了0.95%。當σ1=0,σ2=1時，優(yōu)化后的地鐵系統(tǒng)總能耗為27 854.68 kW·h，總乘客換乘時間為7 339.48 h，較優(yōu)化前，總能耗降低了2.89%，總換乘時間降低了19.20%。

表3 亦莊線當前時刻表的在站停留時間Table 3 The dwell time on the current timetable of Yizhuang Line

表4 優(yōu)化后的列車在站停留時間Table 4 Optimized train dwell time at stations

表5 不同時刻表的列車運行能耗和乘客換乘時間的值Table 5 The values of train energy consumption and passenger transfer time in different timetables

表6列出了4組不同權(quán)重組合下得到的目標函數(shù)值?？梢钥闯?，系統(tǒng)總能耗的歸一化目標值隨著其權(quán)重的增加而減小，即再生能源的利用量隨著其權(quán)重的增加而提高，從而系統(tǒng)能耗逐漸減少。乘客換乘時間的歸一化目標值隨著其權(quán)重的減小而增大，即乘客換乘時間逐漸增大。實際應用中，可依據(jù)具體需要，調(diào)整兩個目標的權(quán)重大小得到理想的優(yōu)化結(jié)果。

表6 不同的權(quán)重組合下的目標函數(shù)值Table 6 Objective function values with different weight combinations

5 結(jié)論

本文首先提出了列車運行能耗和乘客換乘時間協(xié)同優(yōu)化模型，旨在降低軌道交通系統(tǒng)總能耗及減少乘客的換乘時間，然后采用遺傳算法對模型進行求解，最后結(jié)合北京亦莊線和5號線運營數(shù)據(jù)開展了算例研究。實驗結(jié)果顯示，當設(shè)置權(quán)重為σ1=0.5,σ2=0.5時，得出優(yōu)化后的時刻表，與當前時刻表相比，軌道交通系統(tǒng)總能耗減少5.15%，乘客換乘時間降低17.66%，驗證了模型和算法的有效性。需要說明的是，本文將乘客的到達率和換乘率等參數(shù)均假設(shè)為給定常數(shù)，而實際中這些參數(shù)是隨機的，這也是下一步工作中將考慮改進的問題。