華騰飛

在同一題設(shè)條件下得到的結(jié)論并不唯一，這就是我們常說的多解問題，求解此類問題時(shí)需要對(duì)問題進(jìn)行全方位的思考，采用分類的思想探討出現(xiàn)不同結(jié)論的所有可能情況，從而完整地解答問題.下面介紹幾種常見的多解題的基本類型，分析造成多解的原因，探究求解此類問題的方法.

一、隱含的條件導(dǎo)致多解 一些題目有隱含的條件，這就容易導(dǎo)致多解.我們應(yīng)仔細(xì)觀察、認(rèn)真推敲、深入分析題設(shè)條件，挖掘隱含的條件.

二、對(duì)稱圖形隱蔽多解

對(duì)于對(duì)稱圖形，一般情況下若圖形中的某個(gè)元素或部位符合題設(shè)條件，則其對(duì)稱元素或部位也符合條件，這樣就會(huì)導(dǎo)致多解.充分利用圖形的對(duì)稱性，挖掘出潛在的因素，從而使問題得到解決，

例3在半徑為5 cm的圓O內(nèi)有兩條互相平行的弦AB=6 cm，CD=8 cm，求這兩條弦之間的距離，

解析：根據(jù)圓的對(duì)稱性，圓內(nèi)兩條平行弦有在圓心同側(cè)和異側(cè)兩種可能的情形，因此應(yīng)分別求解.

（1）如圖1所示，當(dāng)兩弦AB、CD在圓心O的同側(cè)時(shí)，設(shè)過圓心垂直于兩弦的直徑交兩弦于點(diǎn)E、F，則兩弦間的距離EF=OE -OF=

（2）如圖2所示，當(dāng)兩弦AB、CD在圓心O的異側(cè)時(shí)，設(shè)過圓心垂直于兩弦的直徑交兩弦于點(diǎn)E、F，同理可得兩弦間的距離EF=OE+OF=7（cm）.

綜上可知答案為1 cm或7 cm.

例4 等腰△ABC的底邊BC=8 cm，腰長(zhǎng)為5 cm.一動(dòng)點(diǎn)JP在底邊上從點(diǎn)B向點(diǎn)C以0.25 cm/s的速度移動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到PA與腰垂直的位置時(shí)，求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

解析：作底邊的高AD，由等腰三角形的對(duì)稱性可知，PA與腰垂直有兩種情形，應(yīng)分別求解，

三、位置變化造成多解

對(duì)于動(dòng)態(tài)幾何問題，常常會(huì)因圖形變化而產(chǎn)生不同的結(jié)論，在求解此類問題時(shí)，務(wù)必要對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中每個(gè)時(shí)刻具有代表性的位置進(jìn)行分類討論，確保正確求解.

例5 如圖5，∠MAN=90°，點(diǎn)C在邊AM上.AC=4，點(diǎn)B為邊AN上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC， △A' BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱.點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)，交A'B所在直線于點(diǎn)F，連接A 'E.當(dāng)△A'EF為直角三角形時(shí)，AB的長(zhǎng)為

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解析：本題應(yīng)分以下兩種情況進(jìn)行討論.

除外），過D作AB的垂線與△ABC的直角邊相交于E，設(shè)AD=x，△ADE的面積為y.當(dāng)點(diǎn)D在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，

四、特殊圖形隱藏多解 某些特殊的幾何圖形常常隱藏著多解的可能，求解此類問題時(shí)應(yīng)根據(jù)圖形的特點(diǎn)，發(fā)掘出結(jié)論成立的每一種可能性，然后逐一進(jìn)行討論，

例7 已知矩形ABCD的長(zhǎng)大于寬的2倍，周長(zhǎng)為12，從它的一個(gè)頂點(diǎn)作一條射線，將矩形分成一個(gè)三角形和一個(gè)梯形，且這條射線與矩形一邊所成角的正切值等于1/2.設(shè)梯形較短的底邊長(zhǎng)為x，梯形面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍.

解析：設(shè)矩形的寬為m，從頂點(diǎn)A引射線與矩形的一邊所成的角為0，則有下述兩種情形，

五、點(diǎn)的位置不確定導(dǎo)致多解

在一些幾何圖形中，點(diǎn)的位置不同容易導(dǎo)致多解，因此我們?cè)谇蠼獯祟悊栴}時(shí)一定要認(rèn)真分析題意，找出所有的可能情況.

例8等腰三角形ABC中，頂角A為40°，點(diǎn)P在以A為圓心、BC長(zhǎng)為半徑的圓上，且BP=BA，則∠PBC的度數(shù)是____.

解析：點(diǎn)P的位置不確定，故應(yīng)分以下兩種情況進(jìn)行討論，