華騰飛
在同一題設(shè)條件下得到的結(jié)論并不唯一,這就是我們常說的多解問題,求解此類問題時(shí)需要對(duì)問題進(jìn)行全方位的思考,采用分類的思想探討出現(xiàn)不同結(jié)論的所有可能情況,從而完整地解答問題.下面介紹幾種常見的多解題的基本類型,分析造成多解的原因,探究求解此類問題的方法.
一、隱含的條件導(dǎo)致多解 一些題目有隱含的條件,這就容易導(dǎo)致多解.我們應(yīng)仔細(xì)觀察、認(rèn)真推敲、深入分析題設(shè)條件,挖掘隱含的條件.
二、對(duì)稱圖形隱蔽多解
對(duì)于對(duì)稱圖形,一般情況下若圖形中的某個(gè)元素或部位符合題設(shè)條件,則其對(duì)稱元素或部位也符合條件,這樣就會(huì)導(dǎo)致多解.充分利用圖形的對(duì)稱性,挖掘出潛在的因素,從而使問題得到解決,
例3在半徑為5 cm的圓O內(nèi)有兩條互相平行的弦AB=6 cm,CD=8 cm,求這兩條弦之間的距離,
解析:根據(jù)圓的對(duì)稱性,圓內(nèi)兩條平行弦有在圓心同側(cè)和異側(cè)兩種可能的情形,因此應(yīng)分別求解.
(1)如圖1所示,當(dāng)兩弦AB、CD在圓心O的同側(cè)時(shí),設(shè)過圓心垂直于兩弦的直徑交兩弦于點(diǎn)E、F,則兩弦間的距離EF=OE -OF=
(2)如圖2所示,當(dāng)兩弦AB、CD在圓心O的異側(cè)時(shí),設(shè)過圓心垂直于兩弦的直徑交兩弦于點(diǎn)E、F,同理可得兩弦間的距離EF=OE+OF=7(cm).
綜上可知答案為1 cm或7 cm.
例4 等腰△ABC的底邊BC=8 cm,腰長(zhǎng)為5 cm.一動(dòng)點(diǎn)JP在底邊上從點(diǎn)B向點(diǎn)C以0.25 cm/s的速度移動(dòng),當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到PA與腰垂直的位置時(shí),求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.
解析:作底邊的高AD,由等腰三角形的對(duì)稱性可知,PA與腰垂直有兩種情形,應(yīng)分別求解,
三、位置變化造成多解
對(duì)于動(dòng)態(tài)幾何問題,常常會(huì)因圖形變化而產(chǎn)生不同的結(jié)論,在求解此類問題時(shí),務(wù)必要對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中每個(gè)時(shí)刻具有代表性的位置進(jìn)行分類討論,確保正確求解.
例5 如圖5,∠MAN=90°,點(diǎn)C在邊AM上.AC=4,點(diǎn)B為邊AN上一動(dòng)點(diǎn),連接BC, △A' BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱.點(diǎn)D,E分別為AC,BC的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng),交A'B所在直線于點(diǎn)F,連接A 'E.當(dāng)△A'EF為直角三角形時(shí),AB的長(zhǎng)為
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解析:本題應(yīng)分以下兩種情況進(jìn)行討論.
除外),過D作AB的垂線與△ABC的直角邊相交于E,設(shè)AD=x,△ADE的面積為y.當(dāng)點(diǎn)D在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),求y與x的函數(shù)關(guān)系式,
四、特殊圖形隱藏多解 某些特殊的幾何圖形常常隱藏著多解的可能,求解此類問題時(shí)應(yīng)根據(jù)圖形的特點(diǎn),發(fā)掘出結(jié)論成立的每一種可能性,然后逐一進(jìn)行討論,
例7 已知矩形ABCD的長(zhǎng)大于寬的2倍,周長(zhǎng)為12,從它的一個(gè)頂點(diǎn)作一條射線,將矩形分成一個(gè)三角形和一個(gè)梯形,且這條射線與矩形一邊所成角的正切值等于1/2.設(shè)梯形較短的底邊長(zhǎng)為x,梯形面積為y,試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量x的取值范圍.
解析:設(shè)矩形的寬為m,從頂點(diǎn)A引射線與矩形的一邊所成的角為0,則有下述兩種情形,
五、點(diǎn)的位置不確定導(dǎo)致多解
在一些幾何圖形中,點(diǎn)的位置不同容易導(dǎo)致多解,因此我們?cè)谇蠼獯祟悊栴}時(shí)一定要認(rèn)真分析題意,找出所有的可能情況.
例8等腰三角形ABC中,頂角A為40°,點(diǎn)P在以A為圓心、BC長(zhǎng)為半徑的圓上,且BP=BA,則∠PBC的度數(shù)是____.
解析:點(diǎn)P的位置不確定,故應(yīng)分以下兩種情況進(jìn)行討論,